利用三角方法證明平面幾何問題

浙江省紹興市魯迅中學(xué) (312000) 陳少春 虞關(guān)壽

利用三角方法證明平面幾何問題

浙江省紹興市魯迅中學(xué) (312000) 陳少春 虞關(guān)壽

三角法證明平面幾何問題就是利用正弦定理、余弦定理將平面幾何中的邊角關(guān)系互相轉(zhuǎn)化、通過三角函數(shù)的變形公式達(dá)到證題的目的．本文通過一些數(shù)學(xué)競賽試題，作一些探索．

1.證明平面幾何中線段相等或成比例關(guān)系

圖1

例1 如圖1，在銳角三角形ABC中，∠BAC≠60°，過點B，C分別作三角形ABC的外接圓的切線BD，CE，且滿足BD=CE=BC．直線DE與AB，AC的延長線分別交于點F，G．設(shè)CF與BD交于點M，CE與BG交于點N．證明：AM=AN．(2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

例2 如圖2，PA,PB為圓O的切線，點C在劣弧AB上(不含點A,B)．過點C作PC的垂線l，與∠AOC的平分線交于點D，與∠BOC的平分線交于點E．求證：CD=CE．(2013年西部數(shù)學(xué)競賽試題)

圖2 圖3

圖4

例3 如圖4，銳角△ABC的外接圓為圓O，過點A作圓O的切線l，l與直線BC交于點D，E是DA延長線上一點，F(xiàn)是劣弧BC上一點，直線EF與優(yōu)弧AB交于點G，直線FB，GC分別與l交于點P、Q，證明：AD=AE的充要條件為AP=AQ．(第五屆陳省身杯試題)

例4 如圖5，AB是圓ω的一條弦，P為弧AB內(nèi)一點，E、F為線段AB上兩點，滿足AE=EF=FB.連接PE、PF并延長與圓ω分別相交于點C、D.求證：EF·CD=AC·BD．(2013年全國高中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖5 圖6

例5 如圖7，已知ΔABC的內(nèi)切圓與三邊BC、CA、AB分別切于點D、E、F，AD與EF交于點G．證明：EB平分∠CEF的充分必要條件是FG=4GE．(2014年中等數(shù)學(xué)第六期)[1]

圖7

評注：①三角法解決平面幾何的關(guān)鍵是敏銳的發(fā)現(xiàn)角度、邊之間的關(guān)系．

②三角法的最大優(yōu)點是添加的輔助線較少，當(dāng)圖形比較簡單、角與角之間的聯(lián)系比較緊密、邊角關(guān)系處理比較方便時，三角法不失為一種好方法．

2.證明平面幾何中的不等式

例6 在ΔABC中，已知I為內(nèi)心，記ΔABC的外接圓、內(nèi)切圓半徑分別為R、r．證明：AI2+BI2+CI2≥6Rr．(2014年中等數(shù)學(xué)第6期)[1]

評注：利用三角法證明不等式問題需要比較扎實的三角函數(shù)基礎(chǔ)，一些三角定理(張角定理、角平分線定理、斯德瓦特定理)和三角恒等式要會熟練運用，常用的恒等式有：

[1]數(shù)學(xué)奧林匹克問題[J]．中等數(shù)學(xué)，2014(6)．

[2]黃志軍譯．第23屆韓國數(shù)學(xué)奧林匹克(2010)[J]．中等數(shù)學(xué)，2011(增刊2)．