風險項目投資組合決策的貝葉斯評價與選擇策略

2017-03-14 08:39:45胡支軍李志霞

中國管理科學 2017年2期

關鍵詞：價值模型

胡支軍，彭飛，李志霞

(1. 貴州大學數學與統計學院，貴州貴陽 550025；2. 貴州省公共大數據重點實驗室，貴州貴陽 550025；3. 華南師范大學經濟管理學院，廣東廣州 510631)

風險項目投資組合決策的貝葉斯評價與選擇策略

胡支軍1,2，彭飛3，李志霞1

(1. 貴州大學數學與統計學院，貴州貴陽 550025；2. 貴州省公共大數據重點實驗室，貴州貴陽 550025；3. 華南師范大學經濟管理學院，廣東廣州 510631)

項目投資組合選擇是許多風險投資公司的重要決策問題，風險投資公司利用有限的資源通過選擇和執行項目組合試圖創造價值，而風險投資家的行為偏好直接影響最優項目組合選擇的結果。通常，風險項目的價值是不確定的，因此風險投資家必須基于對風險項目未來價值的事前估計進行投資決策。在展望理論框架下，構建了考慮風險投資家損失厭惡心理特征的風險項目投資組合優化模型，給出了處理項目組合選擇中價值估計不確定性的貝葉斯方法，并應用Monte Carlo模擬將模型轉化為線性整數規劃問題。研究發現，相對于直接基于事前價值估計的投資組合選擇，對項目價值事前估計不確定性的貝葉斯建模可以給出更加精確的價值估計，并使用所獲得的修正估計進行投資組合決策，可以幫助選擇具有更高的事后期望效用的項目組合，消除估計的事前期望效用與事后實現的期望效用之間的預期間隔，降低風險投資家預期的決策后失望程度。

項目投資組合；損失厭惡；貝葉斯建模；決策分析

1 引言

隨著經濟全球化與市場競爭的激烈化，風險項目投資組合愈來愈成為理論和實踐關注的熱點問題，科學地做出風險資本的投資組合決策對提高風險投資機構的投資效率乃至加速我國風險投資業的發展具有重要的戰略意義。在現實的經濟活動當中，為使投資風險最小或投資回報最大，風險投資機構通常會對不同領域、不同性質的項目進行組合投資，其目的在于規避項目運行中的系統風險或獲取較高的投資回報率。如果項目選擇不當就會阻礙個人或組織的發展，甚至帶來災難性的損失。因此，對于風險投資公司(或風險投資家)來說如何有效的分配有限的資源，通過選擇和執行項目投資組合，獲得最大的投資收益就顯得非常重要。

通常情況下，某些項目被選擇是基于對它們事后(Ex post)將提供多少價值的事前(Ex ante)估計而進行的。關于風險項目的未來價值的估計可以通過例如凈現值計算、內部收益率法(IRR)、成本-效益研究或多屬性決策分析等方法獲得[1-2]。然而，在必須做出投資決策的時刻，項目的真實價值是未知的，只能獲得某個預測。顯然，預測值越高的項目越有可能被選擇。在實際投資過程中，風險項目通常由于關聯或依賴于某些不確定的未來事件而使得其未來價值具有不確定性，而風險投資家必須在給定的資源和其他相關約束下,基于對風險項目未來價值的事前估計做出投資決策。為了降低不確定性并改進決策過程，風險投資家會設法從各種渠道獲得關于項目未來價值的預測，例如通過咨詢掌握數據的專家，并可以根據某個經驗模型獲得一個后驗估計值。由于這些估計通常是不確定的，對項目未來價值的預測會有隨機誤差，因此風險投資家實際上難以在滿足相關的預算和其他資源約束下選擇具有最高的事后價值總和的項目組合。特別地，即使事前的價值估計是無偏的，而最終所選擇的項目組合所實現的事后價值通常可能會低于其所包含的那些項目的事前估計值，也即所選擇的投資組合很有可能是事后次優的。換句話說，在投資期末，項目的真實價值實現時，風險投資家可能會遭受所謂的決策后的失望(Post-decision disappointment)[3-4]。

現有的關于多項目投資組合的研究主要是在均值-風險模型框架下開展的。例如，Zhang Qun等[5]討論了當無法獲取歷史數據時，基于專家對項目年度現金流入與流出和初始投資支出的評價的資本預算問題，建立了最優項目選擇的一個均值-風險指數模型。Hall等[6]討論了當僅具有每個項目的不確定收益的部分概率分布信息時的項目選擇問題，決策者選擇備選項目組合的一個可行子集使得投資組合收益不能達到某個給定目標的風險最小化。徐維軍等[7]在可信性測度下，建立了具有破產風險約束的多項目投資組合優化模型。于超與樊治平[8]則提出了一種涉及多個行業的考慮決策者后悔厭惡的風險投資項目選擇方法。

在金融優化領域，對資產收益不確定性的貝葉斯(Bayesian)建模研究已有較長的歷史[1, 9]。特別地，作為對最近的市場信息的反應，Bayesian分析被用于修正模型參數，以更好地預測證券價格，并進一步幫助投資者做出最優證券投資組合決策[10]。然而，證券投資組合優化與項目投資組合選擇在許多方面是不同的。首先，風險項目沒有可以從市場中觀察的市場價格，而且，項目的價值通常由專家的評價進行估計。其次，項目投資的決策變量為二元0-1變量，即要么選擇要么拒絕[11]，而證券投資組合本質上可以對任意的證券投資小數數量的資金。最后，盡管不同證券的價格可能是相關的，但大多數情況下對證券的投資并沒有邏輯上的相互依賴性。但是在項目投資組合中，由于邏輯關系，項目之間可能會有多種形式的相互依賴性。例如，某兩個項目可能是相互排斥(項目A和B只能選擇其一)的或相互依賴的(如果項目B是項目A的后繼項目，則只有當A被選擇時才能選擇B)。由于上述這些差異，在項目投資組合選擇中更需要對估計的不確定性做出精細的分析。

最近，Vilkkumaa等[12]證明了，與基于事前價值估計的直接投資組合選擇相比較而言，對風險項目價值估計的不確定性進行Bayesian建模并將所獲得的Bayes修正估計應用于投資組合選擇可以：(1) 幫助選擇可能預期提供更高事后價值的項目投資組合；(2)消除實現的事后投資組合價值與估計的事前投資組合價值之間的預期間隔(Gap)，從而降低決策者可能會經歷的失望的程度。但是，Vilkkumaa等[12]的研究假定決策者是風險中性的，決策目標是最大化項目投資組合的期望價值，對具有內在價值不確定性的項目組合進行比較時并沒有考慮決策者的風險態度。行為金融學研究表明，風險投資家對項目投資組合的風險偏好通常會影響投資績效和決策行為。

傳統的Von-Neumann期望效用理論認為投資者是對同等數量的收益和損失的心理感受是一樣的,風險厭惡型投資者的決策目標是最大化期末財富的期望效用。Kahneman與Tversky[13]提出的展望理論(Prospect theory)則發現投資者在做投資決策時，關注的是期末財富相對于某個給定的參照點的變化，即盈利或損失，投資者對于相同規模的盈利和損失的心理反應是不一樣的，對損失更加敏感，即投資者是損失規避的。近年來，在損失厭惡框架下討論投資組合問題引起了許多研究者的興趣[14]。例如，Fulga[15]在均值-風險框架下給出了考慮投資者損失厭惡偏好的投資組合優化問題。金秀與王佳等[16,17]研究了動態損失厭惡投資組合模型的最優資產配置和績效表現。張茂軍等[18]從風險約束的視角研究了基金管理者呈損失厭惡的投資決策問題。然而，現有的基于損失厭惡的投資組合研究主要局限于證券市場，對于其它資產類型(例如房地產、不動產以及一般的項目投資)的相關研究還極為少見。

由于根據歷史數據或專家評估對風險環境下項目的未來價值所作出的預測通常與項目最終實現的價值具有較大的差異，本文在文獻[3,4,12]研究的基礎上，將風險投資家的損失厭惡心理引入項目投資組合選擇過程，構建了基于風險投資家損失規避心理特征的風險項目組合投資優化模型，并采用Bayes方法對項目真實價值的事前估計進行修正；進一步，本文提出了求解優化模型的Monte Carlo方法，該方法通過模擬項目的未來價值，可以克服在某些場合下樣本數據可能不足的缺陷。理論分析與模擬計算表明：(1)與Simith等[3],Chen和Dyer[4]和Vilkkumaa等[12]的基于風險中性的投資組合模型不同的是，本文發現風險投資家的損失規避行為對其投資組合策略具有重要的影響；(2)對風險項目價值估計的不確定性進行顯式的Bayesian建模并將所獲得的Bayes修正估計應用于投資組合選擇，可以幫助風險投資家選擇可能預期提供更高的事后效用值的項目組合，降低風險投資家的決策后的失望程度，從而可以更有效地選擇項目組合。本文的研究結果可以為風險投資家的投資組合決策提供一定的理論依據和方法。

2 風險環境下的項目投資決策模型

考慮1,…，m個備選項目集合，風險投資家的目標是從這些項目集中選擇一個子集，在滿足相關的約束下，最大化所選擇的項目組合的期望效用值。例如，投資的總成本不能超過給定的預算閾值。其它可能的約束包括項目間的相互排斥(例如，只有當項目B沒有被選擇時才能選擇項目A，反之亦然)，或項目間的邏輯依賴性(例如，僅當項目B被選擇時，才能選擇項目A)。這個投資組合選擇可表示為具有0-1元素的決策向量z=[z1,…，zm]，使得只有當項目i被選擇時zi=1。

項目的真實價值為v=[v1,…，vm]T，這些價值是隨機變量V=[V1,…，Vm]T～f(v)的實現值，僅當在投資期末這些項目被執行后，它們才會被實現和觀測到。在下文中，假設分布f(v)是已知的。

具有損失厭惡風險偏好的風險投資家的效用函數定義為下面的分段線性函數[14]：

(1)

其中λ>1為損失厭惡系數，X表示投資組合的期末價值，V0是盈利和損失的參照點。(1)式表明，在參照點附近，損失的斜率大于盈利的斜率，即風險投資家對一定數量的損失比對相同數量的盈利更加敏感，λ越大意味著對損失的厭惡程度越高。

用Z表示所有滿足給定約束的可行投資組合構成的集合，在進行投資決策的時刻，如果風險投資家可以觀察到項目的真實價值v，則其最優投資組合z(v)將通過求解下面的優化問題而確定：

(2)

其中u(·)為風險投資家的由(1)式定義的損失厭惡效用函數。

(3)

首先，利用Matlab軟件，由Vi～N(10,42)生成項目P7,…,P12真實價值的一組實現值vi分別為9.62,6.67,11.18,4.66,12.86,16.49,7.65,18.73,9.45,10.46,14.27,10.24，則根據模型(2)，可求得最優投資組合z(v)是選擇{P3,P5,P6,P8,P11}，其所實現的項目總效用值u(z(v)v)為23.53。

從這個例子可以發現，(a)基于估計值vE的投資組合z(vE)所實現的事后項目總效用值(20.19)低于最優投資組合z(v)所實現的總效用值(23.53);(b) 投資組合z(vE)包含了“激進型”項目P10和P12，這兩個項目由于具有較高的估計值而被選取，但它們沒有被最優投資組合z(v)選取；(c)投資組合z(vE)的事前總價值估計為(87.57)，比其實際所實現的事后總價值(70.19)高24.8%, 從而決策者將經歷決策后的失望。

正式地，本文給出了下面的定理1，其詳細的證明過程參見附錄。

定理1 設VE是V的一個條件無偏估計，則:

E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]≤0

其中，z(VE)是問題(3)的最優解。進一步，設z(V)是問題(2)的最優解，若P(z(V)≠z(VE))>0，則有E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]<0。

定理1表明，在平均的意義下，投資組合z(VE)事后實際所實現的項目總效用值不會超過其事前估計的效用值。而且，如果選擇“錯誤的”項目(除非估計是完全精確的，否則總是會這樣)的概率大于零，則基于事前估計值所選擇的項目組合在投資期末實際所實現的效用值u(z(VE)V)，與該項目組合的估計的效用值u(z(VE)VE)之間的預期間隔是嚴格小于零的。特別地，即使對項目真實價值的估計是無偏的，由于那些價值被高估的項目更有可能被選擇，從而使得事后所選擇的投資組合的效用值也會被系統地高估，導致風險投資家將經歷決策后的失望。而且，對項目真實價值的事前估計的不確定性越高，在投資期末預期的失望也就越大。

3 項目投資組合中不確定性的貝葉斯建模

Smith等[3-4,12]的研究發現，與從多個備選方案中只選擇一個方案的問題類似，對風險環境下的項目投資組合選擇問題，投資者決策后的失望可以通過應用Bayesian建模對項目價值的事前估計值進行修正而得到減輕。

給定vE，投資者的決策問題是選擇投資組合z，最大化損失厭惡效用函數u(zE[V|VE=vE])。因此，根據項目的事前估計值vE，可通過下面的式子:

(4)

基于Bayes估計值vB，最大化風險投資家期望效用的投資組合可由下面的優化問題確定:

(5)

(6)

本文指出，在相當一般的假設下，基于Bayes估計vB的投資組合所實現的事后效用值，將與直接基于事前估計值vE的投資組合所實現的事后效用值至少一樣多。正式地，本文證明了下面的定理2。

定理2 設VE,V及z(VE)的含義如定理1中所示，則有:

E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]≤0

其中，VB由(6)式給出，z(VB)是模型(5)的最優解。進一步，若z(vE)≠z(vB)發生的概率大于0，則有E[u(z(vE)V)-u(z(vB)V)]<0.且:

E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]<0

這是一個直觀的結果，因為根據模型(5)，z(vB)最大化投資組合的期望效用。而且，如果使用Bayes估計vB有非零的概率導致與直接使用估計值vB選擇不同的投資組合，則基于Bayes估計的投資組合z(vB)將會獲得嚴格更高的效用。

一般情況下，項目價值的后驗分布沒有封閉的表達式。但是，如果考慮項目的真實價值和估計值的分布是共軛分布的情形，則可以獲得Bayes估計的一個封閉的解析表達式[3,12]。例如，假定項目的真實價值與估計值服從自共軛正態分布，使得對每個項目i有:

從而,(4)式的Bayes估計變為:

(7)

在某些場合，先驗分布f(v)可能不是正態的。例如，項目價值可能是非對稱分布的，其概率分布的大部分數據點集中于較小的值。對這種情形，一種可能的先驗分布是非對稱三角分布[20]，它僅需估計vi的三個參數，即最大值、最小值以及最可能值(眾數)。此外，風險投資家也可以估計每個項目i的價值vi的百分位數，然后通過應用核光滑方法[21]將所導致的階梯函數轉換為連續分布函數。

可以證明，實際上不需要對先驗分布f(v)和似然分布f(vE|v)或者問題的相關約束作出任何特定的假設(例如，正態分布)，Bayes估計可以消除所選擇的投資組合實現的事后期望效用值與估計的期望效用值之間的預期間隔。正式地，本文給出下面的定理3。

定理3 設V,VE,VB及z(·)的含義如定理2中所示，則下式

E|u(z(vB)V)-u(z(vB)vB)|VE=vE]=0

對所有的vE成立，而且有

E|u(z(VB)V)-u(z(VB)VB)]=0.

在實際應用中，如果先驗分布和似然分布是共軛的，則應用Bayesian法則可以獲得每個項目i的后驗分布的解析表達式[19]。如果先驗分布和似然分布不是共軛的，則需要對后驗分布進行近似。這可以通過以下方式實現[12]，首先，從先驗分布f(v)抽取L個樣本值vi(l)(l=1,…,L)對Vi的分布離散化，然后，對應于每個vi(l),從VE|Vi=vi(l))的似然分布抽取K個樣本值vE(l,k),k=1,…,K。從而，即可通過在離散聯合分布中令VE=vE并標準化所導致的邊際分布函數，獲得相應于初始估計vE的后驗分布。如果離散化足夠稠密，則對備選項目的價值獨立分布的問題，這種方法運行效果良好。但如果備選項目之間的價值與估計值都具有依賴性，在一個稠密的多維網格的每一個點抽取充分大數量的數據可能需要付出相當高的計算努力，此時可以應用韋來生等[19]和Ruppert等[23]給出的模擬和數值積分策略。

4 基于損失厭惡的風險投資組合優化模型

進一步假設，投資于風險項目i可以獲得的收益(價值)為Vi，因此，考慮風險投資家損失厭惡心理特征的項目投資組合優化模型可描述為:

(8)

其中，效用函數u(·)為由模型(1)所定義的分段線性函數。

由于通常難以獲得模型(8)中目標函數的解析表達式，可以考慮采用MonteCarlo模擬方法進行求解[18,24]。該方法的基本思想是根據隨機變量的分布函數、均值和方差等統計特征，利用隨機數生成算法，產生表示項目收益率的隨機數，將原問題(8)轉化為確定性的優化問題，然后再應用確定性優化問題的求解算法求出原問題的近似解。下面給出問題(8)的具體求解過程。

(9)

Xj-V0=(Xj-V0)+-(Xj-V0)-

可將模型(8)轉化為下面的線性混合整數規劃問題：

(10)

此外，為了考察風險投資家的損失厭惡行為對投資組合決策的影響，我們還求解如下的最大化項目組合總期望價值的投資組合優化模型[12]:

(11)

根據模型(10)和(11)，若風險投資家的投資目標是項目組合的預期總價值，則期末投資組合的期望值為E(zV)，而當風險投資家為損失厭惡時，投資組合的目標函數是E(zV-V0)+-λE(zV-V0)-。比較這兩個目標函數可知，在具有相同的預算約束下，風險投資家的損失厭惡系數λ是導致模型(10)和模型(11)的目標不相同的關鍵因素。也即模型(8)中的目標函數反映了當風險投資家面臨一定數量的損失時所承受的痛苦要大于相同數量的盈利所帶來的快樂。因此，本文建立的模型體現了風險投資家的損失厭惡心理特征，而文獻[12]的模型以項目投資組合的期望值為目標則反映了風險投資家在做決策時是風險中性的。

5 數值算例

5.1 損失厭惡對投資組合選擇的影響分析

為了檢驗損失厭惡型風險項目投資組合優化模型(10)以及對項目價值估計不確定性的Bayesian建模在實際應用中的有效性，本文應用Monte Carlo隨機模擬產生備選項目的價值數據，并分別計算模型(10)和模型(11)的最優投資組合方案。

表1 損失厭惡行為對投資組合的影響

5.2 項目估計的不確定性對投資組合選擇的影響分析

下面的圖1給出了當估計誤差的標準差τ變化時，運行Monte Carlo模擬1000次，求解模型(10)獲得的投資組合所估計的平均效用值Eu(z(VE)VE及其所實現的事后平均效用值Eu(z(VE)V的變化情況。從圖1不難看出，隨著項目價值的估計誤差δi的標準差τ的增大，決策后的失望程度也增大。也就是說，項目價值事前估計的不確定性越大，不僅使得風險投資家難以識別那些具有高真實價值的項目，而且也使得風險投資家更可能會選擇那些具有高的估計值的項目，從而預期的失望也就越大，這也就通過數值模擬檢驗了定理1的合理性。例如，在圖1中，當τ=0.8時，所選擇的投資組合估計的平均效用值為22.22，比其所實現的事后平均效用值13.53要高64.23%。

圖1 估計誤差的標準差增大時模型(10)的投資組合對應的期望效用估計值與實現值

圖2 基于Bayes估計值的投資組合所估計的期望效用值與實現的期望效用值

5.3 Bayes建模對投資組合業績的影響分析

圖3 分別基于直接估計值與基于Bayes估計值的投資組合的業績表現

6 結語

傳統的投資組合問題以Von-Neumann期望效用理論為基礎，大量的實證研究發現，投資者在做投資決策時會偏離期望效用理論，不一定完全厭惡風險，而經常表現出諸如損失厭惡、框架依賴、過度自信等非理性行為。行為決策理論的研究使得人們認識到，投資者的行為偏好對資產配置起著重要的作用。本文從行為金融學的角度考慮風險投資家的損失厭惡偏好，在Vilkkumaa等[12]研究的基礎上，構建了基于損失規避決策行為的風險項目投資組合優化模型。考慮到對風險項目未來價值估計的不確定性，應用Bayesian建模對風險項目的事前價值估計進行修正，研究發現Bayes修正估計傾向于給出更加精確的項目價值估計。同時，利用Monte Carlo隨機模擬算法，將所構建的投資組合模型轉化為容易求解的整數線性規劃問題，對基于損失厭惡的投資組合模型與基于風險中性的投資組合模型進行了比較分析，發現風險投資家的損失規避心理對其投資決策具有重要的影響。此外，本文還從理論上證明了，對任意的先驗分布和似然分布，與直接基于事前估計值的投資組合相比，對項目價值估計的不確定性進行Bayesian建模并將所獲得的Bayes修正值用于構造投資組合，可以幫助風險投資家選擇能夠提供更高的事后效用值的投資組合，并減少其可能會經歷的決策后失望，消除估計的事前效用值與實現的事后效用值之間的預期間隔。最后，通過Monte Carlo模擬檢驗了相關的理論結果。

需要指出的是，本文的分析基于假設項目價值的先驗分布f(v)與似然分布f(vE|v)是已知的。由于項目投資組合對許多風險投資機構是一種經常性的活動，因此，可能會具有關于項目價值和價值估計的歷史數據，從而可以利用這些歷史數據對先驗分布和似然分布進行估計[19,25]。但是，在風險投資實踐中，某些風險項目通常沒有或只有少量歷史信息，如果風險投資家沒有任何關于備選項目的先驗信息，則此時可以應用僅基于評價信息的無信息先驗方法來計算后驗分布[26]。此外，如果先驗分布和似然分布是共軛的，則可以應用Bayes定理獲得每個項目i的后驗分布f(vi|vE)的封閉表達式。但如果先驗分布與似然分布不是共軛的，此時Bayes后驗分布的確定需要計算高維積分。為了降低計算工作量,可以結合Markov鏈-Monte Carlo(MCMC)方法，對先驗分布進行抽樣，確定后驗分布的離散值，通過離散值進行統計推斷給出所求解的近似值[19,23]。

本文只考慮了單階段投資決策問題，并且假設對每個項目的投資成本是確定的，但在實際投資活動中，風險投資公司為了規避風險可能會根據市場環境的變化而采用分階段投資策略，項目的投資成本也可能會隨時間而發生變化。因此，可以進一步研究同時考慮項目價值和成本的不確定性的多階段投資組合問題。此外，在項目投資過程中還要面臨背景風險，且背景風險與項目風險之間通常具有一定的相關性[27]，如何構建同時考慮背景風險和項目風險的多階段項目投資決策模型也是值得深入研究的問題。

附錄：定理1的證明

【證明】對于給定的v和vE，有：

u(z(vE)v)-u(z(vE)vE)≤u(z(v)v)-u(z(vE)vE)

≤u(z(v)v)-u(z(v)vE)

(12)

其中，第一個不等式成立是因為z(v)是問題(2)的最優解，第二個不等式成立是因為z(vE)是問題(3)的最優解.因此，在V=v的條件下，隨機變量VE的分布為f(vE|v)，對(12)式求期望可得：

E[u(z(vE)v)-u(z(VE)VE)VE)|V=v]

≤E[u(z(v)v)-u(z(v)VE)|V=v]

(13)

其中，最后一個等式成立是由于假設對項目價值的估計是條件無偏估計。由于對所有的v，(13)式都成立，因此有E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]≤0.

此外，如果有可能選擇了非最優的項目，即P(z(V)≠z(VE))>0，則(12)式的第一個不等式對某些v和vE嚴格成立.因此，如果這個事件發生的概率為正，則對相應的v，不等式(13)嚴格成立，從而E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]<0.

定理2的證明

【證明】：對于給定的vE，則Bayes估計值vB，以及問題(3)和(5)的最優解z(vE)和z(vB)都是固定的，從而u(z(vE)V)-u(z(vB)V)的條件期望為：

E[u(z(vE)V)-u(z(vB)V)|VE=vE]

=u(z(vE)vB)-u(z(vB)vB)≤0

(14)

其中第二個等式是根據vB的定義，最后的不等式成立是因為z(vB)是問題(5)的最優解. 因此，對vE積分即可得E[u(z(VE)V)-u(z(vB)V)]≤0.

如果對某些vE，有z(vE)≠z(vB)成立，則對vB=E[V|VE=vE]，有：

u(z(vE)vB)-u(z(vB)vB)<0

因此，若P(z(VE)≠z(vB))>0，則不等式(14)嚴格成立，即：

E[u(z(VE)V)-u(z(vB)V)]<0

定理3的證明

【證明】：對給定的一組估計值vE，相應的Bayes估計值vB和問題(5)的最優解z(vB)也是固定的.對u(z(vB)V)-u(z(vB)vB)求條件期望可得：

E[u(z(vB)V)-u(z(vB)vB)]|VE=vE

由于vB是確定的，所以第一個等式成立，根據vB的定義，第二個等式也成立.對vE積分，即可得到E[u(z(VB)V)-u(z(VB)VB)]VB)]=0.

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Bayesian Evaluation and Selection Strategies in Venture Project Portfolio Decision Analysis

HU Zhi-jun1,2, PENG Fei3, LI Zhi-xia1

(1.School of Mathematics and Statistics，Guizhou University，Guiyang 550025，China;2. Guizhou Provincial Key Laboratory of Public Big Data，Guiyang 550025，China;3. School of Economics and Management，South China Normal University，Guangzhou 510631，China)

The venture capital market plays a significant role in providing capital to a new feasible business idea(new product, service, or retail concept) and businesses of different type. Project portfolio selection is an important decision in many venture capital companies, and practically all venture capitalists(VC) seek to creat value by selecting and executing portfolios of venture projects that consume resourse, and behavioral factors of the VC directly influences the result of the optimal portfolio selection. Most studies on project portfolio selection focus on identifying the “right” project portfolio under various criteria, such as reward and risk.In this paper a portfolio approach is taken to analyze the investment strategy of aVC. Considering the psych-ological characteristics of VC’s loss aversion from the perspective of prospect theory, a more practical portfolio optimization model that maximizes the expected utility of VC is constructed, and the model is transformed into a linear mixed integer programming problem by the Monte Carlo simulation method.Typically, the value of venture capital project is uncertain,and thus venture capitalist must take decisions based on ex ante estimates about what this future value will be. Due to estimation uncertainties, it is difficult to identify the truly best projects, whereby the selected portfolio is typically suboptimal. Furthermore, it can be shown that the value of the selected portfolio is systematically overestimated, causing the VC to experience post-decision disappointment. The phenomenon underlying post-decision disappointment is, in short, that the more the value of a project has been overestimated, the more probable it is that this project will be selected. In this paper, a Bayesian model framework to account for value uncertainties in project portfolio selection is developed. Our analytical and simulation results show that, in comparison with the straightforward portfolio selection based on ex ante value estimates, the explicit Bayesian modeling of estimation uncertainties tends to give more accurate project value estimates, resulting in a higher expected portfolio utility value, and eliminate the expected gap between the realized ex post portfolio utility value and the estimated ex ante portfolio utility value. Moreover, our results have shown that the Bayesian revision of value estimates decrease the level of disappointment that the VC can expect to experience.With the proposed Bayesian framework VC can gather more precise information about projects’ value and mitigate the experienced post-decision disappointment. Apart from the debiasing of value estimates, our frame-work could be extended by developing a model that accounts both value and cost uncertainties. This way number of targets of application could be substantially increased.

projects portfolio selection; loss aversion; Bayesian modeling; decision analysis

1003-207(2017)02-0030-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.02.004

2015-12-07；

2016-03-30

國家自然科學基金資助項目(71361003，71271090)；貴州省自然科學基金項目([2011]2102)；貴州省教育廳人文社科規劃項目(13S5D005)

胡支軍(1975-)，男(漢族)，貴州人，貴州大學數學與統計學院，教授，博士，研究方向：金融優化、決策分析等，E-maili:zjhu@gzu.edu.cn.

F830，O221