高中物理常見的極值問題解法探究

趙子怡

摘 要：高中物理里面有一種經(jīng)常出現(xiàn)的題型就是求極值問題，它可以準確的考察學(xué)生對物理知識理解使用的情況，培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)知識遷移力，判斷和應(yīng)用的能力，同時它也是很多年高考物理重要的題型，分值很大。對大量題的解法做出具體的分析，可以發(fā)現(xiàn)求極值主要的解法有數(shù)學(xué)法、物理法、實驗法。筆者通過對這三種主要的解法進行說明。

關(guān)鍵詞：中學(xué)物理 物理條件 函數(shù)方程 物理極值 數(shù)學(xué)變換

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）10（c）-0160-02

1 數(shù)學(xué)法

數(shù)學(xué)法，顧名思義，就是使用數(shù)學(xué)里面的知識對物理里實際的問題進行解決的方法。它也是物理里面求極值最為經(jīng)常使用的一種有效的方法。主要過程是：首先審題，認真的閱讀和思考，明白題目里面說明物理現(xiàn)象與發(fā)生物理的過程是怎樣的。其次是要繪制物理的狀態(tài)圖，最大限度把題意用圖示的方法表現(xiàn)出來，同時還要標明這些物理量的從屬關(guān)系。再次是要建立函數(shù)的基本表達式。最后是對函數(shù)的表達式做好分析和研究，再把需要求的物理量極值求解出來。數(shù)學(xué)法具體可以分為以下幾點。

1.1 一次函數(shù)法

當求極值物理量在所有的物理過程中只是隨著一個物理量化而改變，同時成一次函數(shù)關(guān)系：y=ax+b，則所求的物理量極值就是這個物理過程中始末兩個狀態(tài)時這個物理量的值。

（1）當a>0，始狀態(tài)為最小值，末狀態(tài)為最大值。

（2）當a<0，始狀態(tài)為最大值，末狀態(tài)為最小值。

例1：一輛汽車從離車站2 km的地方開始從公路作v =10 km/h的勻速運動。求汽車從開始到3 h過程離車站最大的距離與最小的距離。

解：據(jù)S=Vot+So，當t=0時，s存在最小值，Smin=So=2 km。

當t=3 h，s有最大值。Smin=l0×3+2=32 km。

答：這個汽車在0～3 h內(nèi)距離車站最大的距離為32 km，最小的距離是2 km。

1.2 二次函數(shù)法

當需求的極值物理量在全部過程里面只是隨一個基本的物理量變化而變化，并且成二次函數(shù)的關(guān)系也就是y=ax2+bx+c，就可以使用配方法把上面的y=ax2+bx+c變化為y=a（x+m）2+k。

（1）當a>0，不論x取何值，a（x+m）2≥0。

則x=-m時，y有極小值，即所求的物理量有最小值。Ymin=k=（4ac-b2）/4a。

（2）當a<0，不論x取何值a（x+m）3于≤0。

則x=-m時，y有極大值，所求物理量就有最大值。Ymin=k=（4ac一b2）/ 4a。

例：一汽車在十字路口等綠燈，當綠燈亮的時候這輛汽車以a=3 m/s2的加速度開始加速行駛，正在此時一自行車以6 m/s的速度勻速從后面超過了汽車，求汽車從路口開動后，在追上自行車前的過程中什么時候兩車的距離最大以及最大的距離？

解：設(shè)兩車的行駛時間是t秒，則t秒內(nèi)自行車行駛距離是S1=V0t，汽車行駛距是S2=at2，所以t秒內(nèi)兩車距離是△s=S1-S2

S=6t-×3t2

=-（t+m）2+k

=-（t-2）2+6當t=2 s時，s有最大值s=6 m

答：當t=2 s時兩車距離是最大的，最大距離是Smax=6 m

1.3 一元一次方程的極值問題

一元二次方程的相關(guān)知識ax+bc+c=0（a≠0）是一元二次方程，它的兩個根是x1=，x2= 。

當判別⊿=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2。當⊿=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=-，當⊿=b2-4ac<0，無實數(shù)根。

1.4 一元二次方程解決物理極值

如圖1中AB是均勻直桿，每米重為W。A端插在墻內(nèi)在距A長d處掛了一個重物M，重是P，現(xiàn)在B處向上抬平直桿。問AB長為多少時，力F最小？

這個大部分人會覺得，F(xiàn)力臂很大，就是AB桿越長就特別省力。而實際上，直桿AB越長桿自身就越重，人們需要耗費一些能量來支持桿自身重量，這樣直桿AB越長卻不一定會省力，桿AB究竟多長才可以達到省力呢？下面進行方程的分析。

1.5 三角函數(shù)極值問題

正弦余弦函數(shù)知識。

y=和y=分別為正弦與余弦函數(shù)，它們值域都是y←[-1，1]。對y=函數(shù)來說，當x=2kπ+，K=0， 1， 2， 3，……時，y有極大值是1。

倍角公式sin2x =2sinx0 cosx。

使用三角函數(shù)解決物理極值案例，以初速度V把一物體向上拋出，如果不計空氣阻力，為了讓物體拋出水平距離最遠，拋物體的速度方向與水平夾角是多大？

分析：這個問題是在不計空氣阻力下做的斜拋運動，大家可以把這個運動分為兩個部分：在水平方向上看做勻速直線的運動。而在豎直方向上看成是豎直上拋，這個曲線運動的通過這樣的分解成為兩個部份直線運動。

2 物理法

（1）當a=0時，速度有最大值。（2）約束力（像接觸面彈力，繩的張力）為0時，一些物理量達到了極值。（3）當速度為0時，位移是最大值。（4）相對速度為0時，一些物理量達到極值。（5）當感應(yīng)電動勢e=0時，利用回路的磁通量絕對值達到極值。（6）在振蕩電路中，當i=0時，電量有極值；當q=0時，電流有極值。

例：己知：如圖2所示，LC振蕩電路中電容器極板1上的電量隨時間變化的曲線如圖2所示，則：

A.a，c兩時刻電路電流最大，方向相同。

B.a，c兩時刻電路電流最大，方向相反。

C.b，d兩時刻電路電流最大，方向相同。

D.b，d兩時刻電路電流最大，方向相反。

分析：在振蕩電路里面，當q=0時，電流最大，因此A，B不正確，同時b，d兩時刻的放電過程是相反的，b為正向放電剛結(jié)束，d為反向放電剛結(jié)束，所以電流的方向正好是相反的，因此選項D是正確的。

3 實驗法

物理學(xué)和其他的學(xué)科相比，是實踐性特備強的課程，物理學(xué)很多的定理和規(guī)則全是利用實驗研究來得出的。物理學(xué)里面的極值問題也能夠通過實驗的步驟進行的，筆者在上面舉出的各個例題都是可以利用實驗法進行確定。但是最可貴的是有一部分的物理量變化規(guī)律由于物理條件限制，大家就能夠用實驗法就可以進行確定了。

4 結(jié)語

物理學(xué)里面的求極值方法屬于知識性很強，涉及面非常大的。筆者的這個問題只是總結(jié)了一些常見求解的方法，不是特別的全面。廣大的學(xué)生在高中物理求極值這個問題上，除了文章中說明的這些比較常見的解題方法之外，也可以使用解析幾何的相關(guān)知識和數(shù)學(xué)的歸納分式法進行相關(guān)的求極值。它不但能夠解決力學(xué)的相關(guān)問題，還能解決熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等這些極值的問題。

參考文獻

[1] 徐建.福州物理學(xué)會新編高中數(shù)理化復(fù)習(xí)參考叢書[M].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，2016.