巧用構造法證明競賽中的不等式

江西省新干中學 (331300) 曾自根

巧用構造法證明競賽中的不等式

江西省新干中學 (331300) 曾自根

不等式的證明方法很多，巧而且靈活，其中構造法是不等式證明中的一種重要方法，即引入適當?shù)暮愕仁剑Y合函數(shù)、圖形、數(shù)列等輔助手段，將命題轉(zhuǎn)化，變成較為直觀和本質(zhì)的形式，進而使不等式獲證.本文擷取競賽題中的幾道不等式加以說明.

一、構造恒等式

證明：由海倫公式，有

故結論成立.

評注：恒等式可以看作是最強的不等式，有時候，通過補充不等式中省去的那些項或因式，可以得到隱藏在其背后的恒等式，這樣往往可以找到證題的突破口，因為恒等式的結果是顯然的.

二、構造函數(shù)

我們可以根據(jù)代數(shù)式的特征，構造適當?shù)暮瘮?shù).如一次函數(shù)，二次函數(shù)再利用函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

評注：通過換元，簡化了欲證不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性，以及求函數(shù)最值的方法使不等式簡捷獲證.

三、構造圖形

若問題中的數(shù)量關系有明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立關系，那么可以通過作圖構造圖形，然后在圖形中尋找所證的結論.

圖1

證明：由條件，作一個長、寬、高分別為cosα、cosβ、cosγ的長方體ABCD-A1B1C1D1.如圖1所示，AB=cosα，BC=cosβ，BB1=cosγ.則此長方體對角線長恰為1.同時，易見∠ABD1=α，∠CBD1=β，∠B1BD1=γ.

評注：有時可以觀察所證不等式結構和特點，通過構造適當幾何圖形來輔助證明.

四、構造數(shù)列

例4 設ai為正實數(shù)(i=1，2，…，n),令kbk=a1+a2+…+ak(k=1,2,…n),Cn=(a1-b1)2+(a2-b2)2+…+(an-bn)2，Dn=(a1-bn)2+(a2-bn)2+…+(an-bn)2，求證Cn≤Dn≤2Cn.

又由于x1=2C1-D1=(a1-b1)2=0，故對一切n，xn≥0.

∴yn+1≥yn.

又y1=b1-c1=0，故對一切n∈N+,yn≥0.

綜上所述Cn≤Dn≤2Cn.

評注：在遇到與自然數(shù)n有關的命題時，可以考慮構造輔助數(shù)列，并利用數(shù)列的性質(zhì)證明與其相關的不等式.