《線性代數》教學中矩陣理論在圖像處理中的應用

白阿拉坦高娃

摘 要：線性代數課程作為數學類課程中最基本而用途廣泛的課程，需要老師們深層次挖掘各部分內容的實際意義。在線性代數的教學過程中，發現學生對部分概念的理解與實際應用并不清楚，尤其矩陣的應用有些模糊。該文線性代數的重要內容矩陣的相關理論的應用領域及其應用意義，這將很大程度上增強了線性代數課程的吸引力。

關鍵詞：線性代數 矩陣 圖像處理

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）01（a）-0211-02

線性代數基本概念眾多、應用領域廣泛，其中線性代數在圖片處理過程中的應用較廣。當下，圖像的處理都基本是靠計算機來完成的。在計算機中，圖像是有許多看似連續的像素構成的。由于像素間的距離非常近以至于眼睛都不能分辨出來。在數學上圖像的每個像素就是線性代數中矩陣的每個元素，因此圖像是可以用矩陣來表示的。只是圖像的種類不同，矩陣的維數會有變化：灰度格式的圖像（我們平常成為黑白圖片）可用一個元素值介于0～255之間的二維矩陣來表示，元素值得大小對應著像素點的亮度（0對應黑色，255對應白色）；彩色圖像（即RGB圖像）可用一個三維矩陣表示，我們平常所說的紅（R），綠（G），藍（B）分量分別用一個矩陣表示，3個矩陣組合起來構成的這個三維矩陣?？梢哉f，圖像就等于矩陣，所以將線性代數中有關矩陣理論的成果應用于圖像處理是非?？尚械腫1]。

1 線性代數教學中遇到的問題

數學類課程對眾多學生而言都是枯燥乏味的。那么是什么原因導致了這種情況的發生呢？不可否認教師及學生們都有一定的責任。從教師角度而言，受生活壓力及周圍環境的影響，不投入大量的時間對所教學內容進行深入的思考與聯想。從而無法給出生動而貼近實際的例子，只是單方面傳授基本概念、性質、理論及簡單教學案例。這將大大縮減課程的吸引力。另一方面從學生角度而言，隨著手機時代的來臨，很多同學都將過多的時間投入到了諸如聊天、打游戲、參加活動等而大大縮小了認真思考、連續思考的時間，這也必然會導致學生們對課程內容理解程度及深度的迅速下降。其典型表現包括缺乏領軍人才、就業后無法短時間內能夠為企業帶來經濟社會效益、就業方向與大學專業不一致、“只聽其課而不知其意，只見其形而不知其原”等事件經常出現。

2 線性代數常見內容及其圖片處理中的應用

2.1 圖像的變暗或變亮——矩陣的數乘

當用戶利用相機或者手機拍下不太理想的照片時會利用很多手段來修復照片，這些修復的手段都暗藏了矩陣的知識。例如，在背光的條件下拍攝照片由于曝光不足可能會得到拍攝主體模糊不清的效果。這時，只要我們按照一定的比例進行原始照片的數乘運算就能把照片的亮度調大并使拍攝主體顯現出來。當然，亮度調大后的圖像有些細節會有損失。因此，每個像素所乘的比例需要用到相應的算法來尋找，這樣才能保證亮度調大后的照片不失真[2]。

2.2 圖像旋轉——矩陣的轉置、矩陣的線性變換

在圖像處理過程中，圖像的旋轉是一種常用圖像處理技術，并且其應用領域十分廣泛，例如，軍事、航空醫學等方面。在傾斜校正、多幅圖像比較、模式識別以及進行圖像的剪裁和拼接時，都需要對圖像進行旋轉處理。圖像旋轉簡單來說就是圖像在平面內繞一個頂點旋轉某個角度。這個過程可以理解為圖像矩陣的轉置或者線性變換，同時也需要一定的處理方式來保證旋轉后的邊界效果[3]。

2.3 圖像復原——矩陣的逆

數字圖像的復原是圖像處理的重要組成部分，它是根據圖像退化模糊的原因來還原圖像的本來面目。在復原的過程中，首先需要分析圖像退化模糊的原因，然后建立模型逆向估計原始圖像[4]。這個過程與我們在線性代數里所學的求矩陣的逆是非常相似的：矩陣是當前的圖像矩陣，而單位矩陣是圖像矩陣退化模糊的原因，我們得到當前圖像矩陣的逆矩陣就是退化模糊前的矩陣。

2.4 圖像的分割——矩陣子塊的提取

數字圖像的分割是指根據灰度、彩色、空間紋理、幾何形狀等特征把圖像劃分成若干個互不相交的區域，使得這些特征在同一區域內，表現出一致性或相似性，而在不同區域間表現出明顯的不同[5]。其實，圖像分割可以簡單理解為原始的圖像矩陣求子矩陣的過程，只不過圖像分割在劃分子矩陣的過程中需要考慮不同的特征因素。

2.5 圖像壓縮——矩陣的分塊

數字圖像的壓縮也稱為圖像編碼，是在有限的存儲介質和傳輸介質的條件下通過映射變換、量化、編碼3個環節來表示已有的圖像矩陣[6]。這個過程可以簡化為對原有圖像矩陣進行變化，雖然會改變矩陣的數據特性，但是這樣可能更加利于存儲和傳輸。

2.6 圖像對比——線性相關性的判斷

數字圖像的對比簡單來說就是尋找圖像之間異同點的過程，并且能夠通過分析圖像之間的異同點來分析出其中的線性相關性（即圖像矩陣間的線性相關性）。

2.7 圖像視角的改變——特征向量

數字圖像視角的改變是指根據已有的圖像矩陣得到不同視角的圖像。這個過程就像是對已知的圖像矩陣乘以一個矩陣來得到新的矩陣。

一個向量關于橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個向量的橫坐標不變，但縱坐標取相反數，把這個變換表示為矩陣就是[1 0；0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0；0 -1]*[a b]'=[a -b]'，其中上標'表示取轉置，這正是我們想要的效果，那么現在可以猜一下了，這個矩陣的特征向量是什么？想想什么向量在這個變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變，所以可以直接猜測其特征向量是 [a 0]'（a不為0），還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換后，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認為是方向沒有變化，所以[0 b]'（b不為0）也是其特征向量，去求求矩陣[1 0；0 -1]的特征向量就知道對不對了。

3 結語

通過引進線性代數基本概念在圖像處理中的應用，不僅豐富了線性代數教學內容，同時也為圖像處理技術的深層次研究打下了堅實的基礎。今后，教師們應該全面開拓不同課程的實際應用價值，快速提高學生們的學習愛好及創新精神，以實現我國由基本理論學習大國轉向應用技術產出大國的目的。

參考文獻

[1] 王小俠，趙鳳群，戴芳，等.正交變換在圖像壓縮中的應用[J].大學數學，2013，29（3）：64-68.

[2] 徐小東.圖像亮度的自動調整[D].浙江：浙江大學，2007.

[3] 楊素娣.圖像區域個數統計，圖像重現和圖像旋轉算法的研究[D].上海：華東師范大學，2007.

[4] 沈峘，李舜酩，毛建國，等.數字圖像復原技術綜述[J].中國圖象圖形學報，2009，14（9）：1764-1775.

[5] 何俊，葛紅，王玉峰.圖像分割算法研究綜述[J].計算機工程與科學，2009，31（12）：58-61.

[6] 儲昭輝.圖像壓縮編碼方法綜述[J].電腦知識與技術， 2009，5（18）：4785-4788.