棄繁就簡，直達成功
——談談拋物線問題的優化策略

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

棄繁就簡，直達成功
——談談拋物線問題的優化策略

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

所謂解析幾何,就是用代數的方法解決幾何問題。而代數講究的是運算,倘若解題方法不當,往往無法“將計算進行到底”,因此,同學們在平時解題時要探求優化運算的方法和技巧,降低運算量。那么在拋物線問題中,哪些策略能讓我們棄繁就簡,直達成功呢?

策略一:巧用定義,把握動點、焦點、準線三者互化

如圖1,已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是____。

圖1

分析:注意到l2:x=-1是拋物線y2=4x的準線,故可將拋物線上點P到直線l2:x=-1的距離轉為它到焦點的距離,再依據幾何圖形,可輕而易舉求出距離之和的最小值。

解:因為拋物線的方程為y2=4x,所以焦點坐標為F(1,0),準線方程為x=-1。設P到準線的距離為|PB|,則|PB|= |PF|。P到直線l1:4x-3y+6=0的距離為|PA|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PF|≥|FD|,其中|FD|為焦點到直線4x-3y+ 6=0的距離。又,故距離之和最小值是2。

點評:在拋物線的問題中,通過焦點弦或焦半徑,與相關點到準線的距離之間可相互轉化,避免了解方程組的煩瑣,減少運算量。

策略二:巧用“點差”,速解弦所在直線的斜率

在拋物線問題中,直線與拋物線的相交弦問題是高考熱點,其解法多種多樣,“點差法”是其中一個巧妙的解題方法。“點差法”將弦所在的直線斜率、弦上的點坐標聯系起來,相互轉化,能起到事半功倍的效果。

過拋物線y2=x上的點A(4,2)作傾角互補的兩條直線AB、AC,交拋物線于B、C,則直線BC的斜率為____。

分析:本題雖未涉及弦的中點,但A、B、C三點都在拋物線上,并探究的是三條弦的斜率關系,故可采用點差法。

解:設B(x1,y1),C(x2,y2),代入拋物線方程得:

①②兩式作差整理得:

又因kAC=-kAB,整理得y1+y2=-4。代入③即得到直線BC的斜率為

點評:點差法在解析幾何問題中經常用到,同學們一定要熟練應用。

策略三:數形結合,把握幾何圖形的特征

解析幾何既有代數特性,又有幾何特征,倘若我們在研究拋物線問題時,既能抓住拋物線的“個性”,又能把握住平面幾何的特性,那么常常可以找到通向成功的“捷徑”。

過拋物線x2=2py(p＞0)的焦點F作傾斜角為30°的直線,與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸左側),則=____。

分析:依據圖形特征,可將|AF|與|FB|之比轉化為點A與點C兩點的橫坐標的絕對值之比。

圖2

解法一:如圖2,作AA'⊥x軸,BB'⊥x軸,則AA'∥FO∥ BB'。所以已知xA＜0,xB＞0,則因為直線AB方程為所以與x2=2py聯立得

解法二:設AF=m,BF=n。如圖2,過A作AC⊥BB'于C,則由拋物線的焦半徑公式可得

所以|BC|=|BB'|-|AA'|=n-m。

在Rt△ABC中,由于∠BAC=30°,故|AB|=2|BC|。

m+n=2(n-m)。

點評:解法一注重代數運算,解題過程比較煩瑣,而解法二注重拋物線的定義和圖形的幾何性質的應用,解題過程簡潔明了。從本例可以看出,注重圖形的幾何特征,有時能簡化解題過程。

策略四:設而不求,整體代換

在拋物線問題中,對相關點的坐標設而不求,進而建立方程(組),并運用韋達定理整體代換,可避免求交點,簡化解題過程。

已知拋物線y2=4x,過點(0,-2)的直線交拋物線于A、B兩點,O為坐標原點。若,求直線AB的方程。

分析:設直線AB的方程為y=kx-2 (k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得x1x2+y1y2=4。將直線方程與拋物線方程聯立,運用韋達定理,整體代換可求出k。

解:(1)設直線AB的方程為y=kx-2 (k≠0),代入y2=4x得:

設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=

又由方程①的判別式Δ=(4k+4)2-16k2＞0得故k=-1+。

點評:“設而不求,整體代換”,不僅可以用來求曲線的方程,而且可以解決拋物線中涉及弦長、弦中點、曲線與直線交點以及原點為垂足的垂直問題和定值定點問題。但必須注意對有關一元二次方程的根的存在性用判別式Δ加以檢驗。

(責任編輯 徐利杰)