立體幾何與解析幾何好題欣賞

■福建省龍巖市永定區城關中學 童其林(特級教師)

立體幾何與解析幾何好題欣賞

■福建省龍巖市永定區城關中學 童其林(特級教師)

或許,我們做了不少數學題,這些做過的題目在我們的心中留下的印象——有些深刻,有些容易忘記。印象深刻的題往往是我們認真思考研究過的,最終豁然開朗解出來的問題,或者絞盡腦汁仍然沒有得出結果的題。如果我們以鑒賞的眼光來看待這些問題,反思這些問題,不僅能體會到題目的精彩,也能感受到思維的美、數學的美,進而提高解決問題的能力。下面在試題的百花園中采擷幾朵出彩的題、讓人回味的題,供同學們參考、欣賞和借鑒。

一、知識交匯，考查知識運用能力

棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1在空間直角坐標系中移動,若保持點A、B分別在x軸、y軸上移動,則點C1到原點O的最遠距離為( )。

解析:建立空間直角坐標系,按照要求放置,只有C1與AB和O在同一個平面時,點 C1到原點O的才有最遠距離,畫出截面圖形,利用兩點距離公式求出OC1的表達式,通過三角函數的變換,求出最大值。

圖1

如圖1,設∠BAO =α,則C1坐標為(22sinα,2sinα+22cosα)。

因此,|OC1|

點評:立體幾何問題轉化為平面幾何問題,是求最值問題時的常用方法,在此過程中引入輔助角,便可迎刃而解。

二、兩點之間線段最短，考查數形結合的能力

數學里有一類問題,就是求最小值問題。求最小值問題,方法很多,有一種方法是利用兩點之間線段最短來解決,這種方法在對稱問題、沿幾何體的爬行問題以及圓錐曲線的有關問題(主要是利用圓錐曲線定義)有很明顯的體現。

如圖2,已知點A(1,-1),點B(3,5),點P是直線y=x上的動點,當|PA|+|PB|的值最小時,點P的坐標是____

解析:連接AB與直線y=x交于點M,則當P點移動到M點位置時,|PA|+|PB|的值最小。

圖2

于是當|PA|+|PB|的值最小時,點P的坐標為(2,2)。

點評:利用兩點之間線段最短,是求最小值問題的一個思路。

變式訓練1:已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點A(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為( )。

解析:根據拋物線定義,拋物線上的點P到焦點F的距離等于P到準線的距離,所以當P是線段AF與拋物線的交點時,所求的距離之和最小,此時|AF|=選A。

點評:圓錐曲線的最小值問題,往往結合定義求解。

三、解析幾何里構造函數，考查轉換化歸能力

解析幾何本身是通過代數關系來認識圖形關系的,因此方程與函數、分類與整合等代數方法都能派上用場。

圖3

如圖3,已知拋物線C:y2=4x過點A(1,2)作拋物線C的弦AP、AQ。假設直線PQ過點T(5 -2),請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ。若存在,求出△APQ的個數;若不存在,請說明理由。

解析:假設存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ,設直線PQ的方程為x=my+n。

因為直線PQ過點T(5,-2),所以5= m·(-2)+n,n=2m+5。

直線PQ的方程為x=my+2m+5。

設點P,Q的坐標分別為P(x1,y1), Q(x2,y2)。

y2-4my-8m-20=0。

故y1+y2=4m,y1·y2=-8m-20。

設g(m)=m3+m2+3m-1,則g'(m)= 3m2+2m+3＞0,g(m)在R上是增函數。

又g(0)=-1＜0,g(1)=4＞0,故g(m)在(0,1)內有一個零點。

函數g(m)在R上有且只有一個零點,即方程m3+m2+3m-1=0在R上有唯一實根。

滿足條件的等腰三角形有且只有一個。

點評:本題是存在性問題,和零點問題結合在一起,需要導數幫助,試題相對新穎,值得一做。

變式訓練2:已知橢圓的中心在原點O,焦點在x軸上,點A(-2,0)是其左頂點,點C在橢圓上且

(1)求橢圓的方程;

(2)若平行于CO的直線l和橢圓交于M、N兩個不同點,求△CMN面積S的最大值,并求此時直線l的方程。

解析:(1)設橢圓的標準方程為=1(a＞b＞0)。

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),若點C在第二象限,因為CO的斜率為-1,所以設直線l的方程為y=-x+m,代入可得:

C到直線l的距離:

當且僅當m2=16-m2時取等號,此時m=±2滿足題中條件。

若點C在第三象限,由對稱性可知,直線l的方程為x-y±2=0。

點評:均值不等式在本題中的運用,是一個精彩之處。

四、動靜轉化，考查同學們靈活處理問題的能力

自然界的一切事物都在不停地運動著,靜止是相對的。反映在數學上就是數量關系和空間形式經常地變換,而在變中又蘊涵著不變的因素,我們稱之為“靜”。發現動中的“靜”和靜中的“動”,并利用這些“動”和“靜”解決數學問題,是數學的一個重要任務,并且顯得非常有意義。

解析:如圖4,不妨先固定A點,則問題轉化為:在已知圓上找一點B,使|AB|最大或最小。此時由平面幾何知識,可得直線AB必過圓心C。故要求|AB|的最大或最小,只需求|AC|的最值。而C固定,所以|AC|的最值容易求得。

圖4

圓C:(x-1)2+y2=1的圓心C(1,0),半徑為1。

點評:若按常規思路,設出A、B的坐標代入距離公式,則復雜冗長,難以求出最值。因此必須改變思維方向,利用“以靜制動”的思想,顯得靈活有用。

變式訓練3:點P在橢圓上運動,點Q、R分別在兩圓(x-1)2+y2=1和(x+1)2+y2=1上運動,則|PQ|+|PR|的最大值為____,最小值為 。

圖5

解析:本題與上題又多了一個動點,若按常規思路,難以奏效。如圖5,不妨也先固定點P,則問題轉化為:求圓上兩點Q、R與點P距離之和的最值。由平面幾何知識可知,直線PQ,PR一定經過兩圓心。要求|PQ|+|PR|的最值,只要求|PF|+|PF'|的最值。由于兩圓心正好是已知橢圓的兩焦點,故由橢圓的定義可知: |PF|+|PF'|為定值4。

所以|PQ|+|PR|的最大值為4+2= 6,最小值為4-2=2。

點評:概念是思維的細胞,定義是揭示概念內涵的邏輯方法,解題中利用定義應該成為我們的自覺。本題中,橢圓的定義發揮了重要作用。

(責任編輯 徐利杰)