求解中考函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的試題

摘要：在解與函數(shù)圖象有關(guān)的幾何試題時(shí)，往往不像求解純幾何問(wèn)題那么應(yīng)用自如.在求解這類問(wèn)題時(shí)首先應(yīng)根據(jù)函數(shù)解析式求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（如圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，兩圖象交點(diǎn)等），其次依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出有關(guān)線段的長(zhǎng)度.最后利用有關(guān)定理、性質(zhì)、公式即可使問(wèn)題獲解.

關(guān)鍵詞：長(zhǎng)度；面積；點(diǎn)；坐標(biāo)

作者簡(jiǎn)介：付燕敏（1982-），女，江西省信豐縣人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.一、求函數(shù)圖象中的線段長(zhǎng)度

例1已知y=x2-x-1與x 軸交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度

解法1依韋達(dá)定理，得：x1+x2+1，x1x2=-1，所以AB=|x2-x1|=（x1+x2）2-4x1x2=12-4·（-1）=5.

解法2設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），則x1，x2是方程x2--x-1=0的兩根。解此方程得：x=（-1±5）/2，所以AB=|x2-x1|=5.

二、求函數(shù)圖象中的面積問(wèn)題

例2求直線y=3x-2與直線y=2x+3和y軸圍成的圖形的面積.

解設(shè)直線y=3x-2和直線y=2x+3與y軸的交點(diǎn)分別是A、B，則A（0，-2）、B（0，3），AB=5.設(shè)兩直線交點(diǎn)為C，則C的點(diǎn)坐標(biāo)為方程組y=3x-2

y=2x+3的解，即C（5，13）.過(guò)C作CD⊥y軸，垂足為D，則CD=5，所以S△CBA=12AB·CD=12×5×5=252.

三、求半角的函數(shù)值

求半角的函數(shù)值問(wèn)題中，一般應(yīng)放在直角三角形中研究，若題設(shè)中沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形和半角關(guān)系，則應(yīng)根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形和利用角平分線的定義或等腰三角形的一個(gè)底角與頂角的外角，以及同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系等，構(gòu)造出半角關(guān)系再注解.

例3已知：如圖3所示，弦AB、AD分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正十二邊形的一邊，延長(zhǎng)AD到C點(diǎn)，使2AD=CD，連結(jié)CD交圓O于點(diǎn)E，BC=m，CE=n，且m>n，求tan∠BCD/2.的值.（用m、n表示）

解析連結(jié)OA、OD、OB，作∠BCO的平分線于CF交OB于F，令OD交AB于點(diǎn)G.

因?yàn)锳D、AB分別是圓O內(nèi)接正十二邊形和正三角形的邊.所以弧AD為360°/12=30°，弧ADB為360°/3=120°，

所以∠AOD=30°，∠AOB=120°，所以∠DOB=90°，∠ABO=∠BAO=30°，所以AG=OG，OG：BG；=1∶2，所以AG∶BG=1∶2，

又CD=2AD，所以AD：CD=AG∶BG=1∶2，所以O(shè)D∥BC，所以∠OBC=90°，所以BC是圓O的切線，設(shè)AD=x，圓O的半徑為R，則m2=6x2，n（n+2R）=6x2，

所以m2=n2+2nR， 所以R=（m2-n2）/2n

所以O(shè)C=n+R=m2+n22n

因?yàn)镺F/BF=OC/BC=m2+n22n/m.

所以O(shè)F=m2n22mn·BF，

因?yàn)锽F+OF=OB=R，

所以（1+m2+n22mn）BF=m2-n22n，

所以BF=m2-n22mn·2mn（m+2）2=（m-n）mm+n，

tan∠BCO2=BFBC =（m-n）mm+n/m=m-nm+n.

四、在坐標(biāo)系中，給出幾何或三角形條件求某點(diǎn)坐標(biāo)

根據(jù)幾何條件通過(guò)推理，計(jì)算有關(guān)線段長(zhǎng)度，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，有時(shí)也可以通過(guò)幾何條件直接建方程，使問(wèn)題獲解.

例4如圖4所示，直線y=-33x+1和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m， 12），且△ABP的面積與ABC的面積相等，求m的值.

解因?yàn)閥=-33x+1.所以x=0時(shí)，y=1.y=0時(shí)，x=3，所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1）.即OA=3，OB=1，AB=OA2+OB2=2.

因?yàn)椤鰽BC為等邊三邊形，邊長(zhǎng)AB=AC=2，

所以S△ABC=34AB2=34×22=3.

過(guò)P作PD⊥Ox，，D為垂足，則OD=m，AD=m-3.

所以S梯形BODP=12（OB+PD）OD=12（1+12），m=34m.

因?yàn)镾△ABP=S△ABC，所以S梯形BODP=S△OAB+S△ABP+S△APD=S△OAB+S△ABC+S△APD=12×1×3+3+12（m-3）12=14（m+53），

即34m=14（m+53）.解得：m=53/2.

總之，幾何與代數(shù)的溶為一體，構(gòu)思巧妙，新疑別致，涉及綜合能力強(qiáng)，知識(shí)面廣泛，是考查學(xué)生知識(shí)與能力的好題型，求解過(guò)程中要認(rèn)真觀察圖形結(jié)構(gòu)，充分利用幾何圖形的性質(zhì)，找出幾何量之間的關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：

[1]沙玉珍. 反比例函數(shù)、幾何圖形聯(lián)袂組新題[J].中學(xué)生數(shù)理化.2013（3）：44.