理科考試研究·初中

王澤寧

摘要：數學問題的解決歸根結底就是數學思想方法的應用，而數學思想是知識的概括，是知識的本質，同時也是知識的具體實踐與應用，在解答問題的過程中，猜想，探尋合理可行的解答思路，是鍛煉我們處理問題能力的有效手段. 特例解題其實是一種“以退為進”的策略，能在特定的復雜環境中，靈活的運用知識與方法解決問題，這也是當前數學核心素養的價值體現.

關鍵詞：特例；數學方法；問題解決

數學問題的解決歸根結底就是數學思想方法的應用，而數學思想是知識的概括，是知識的本質，同時也是知識的具體實踐與應用，在解答問題的過程中，猜想，探尋合理可行的解答思路，是鍛煉我們處理問題能力的有效手段. 本文以一道競賽題為例，通過從一般到特殊，由動到靜的極端化思考方式，尋找解題策略，凸顯“柳暗花明又一村”的情景.

一、特例牽線，投石問路

例1如圖1，H為△ABC的垂心，且AB=CD=6，F為AB中點，求DH+HF的值.

分析由題提供的條件可知點D是線段AB上的任意一點，由此猜想當點D運動到點A、點B或與點F重合時的特殊情形，顯然結論是不變的.

特殊情況1：如圖2，當點D運動到點A時，可得D、H、A三點重合. ∴ CD與AC重合，從而DH=0，HF=3

∴DH+HF=3.

特殊情況2：如圖3，當點D運動到點B時，可得D、H、B、E四點重合.

∴ CD與CB重合，從而DH=0，HF=3∴DH+HF=3.

特殊情況3：如圖4，當點D運動到點F時，可得D、F兩點重合.

∴CD與CF重合. 從而可得△ADH∽△CDB，

∴DHAD=DBCD，∴DH=32，

∴DH+HF=32×2=3.

這樣通過圖2、3、4的特殊情況取值后，得到最終的結果DH+HF的值是3，一定程度上在已知一般條件的情況下可通過特殊情形解決問題的方法技巧，也容易引發探求一般情況下解決此題的方式.

二、方法引用，水到渠成

通過特殊情況3的解答情況下，自然想到在這特殊解法的過程中所蘊含的解題思想方法，容易發現在點D的運動過程中△ADH∽△CDB始終成立，由此猜想當D運動到一般情況下是否得到相同的結論. 這樣從一般到特殊，特殊到一般的思維運動過程中，解題方法也逐步清晰 .

常規解法：如圖1，設DF=a，DH=b，

∴AD=3-a，BD=3+a

∵ △ADH∽△CDB，∴DHAD=DBCD，

即b3-a=3+a6，∴a2=9=6b.

∴HF2=a2+b2=9-6b+b2=（3-b）2 ，

∴HF=3-b（b≤32）.∴DH+HF=b+3-b=3

三、 習題變式，提升應用

數學問題的解決并不是為了單純的解決一個題目，而是通過基本問題的解決，掌握解題的思想方法與技巧，達到這一類問題的解決，提升思維的應用與創新能力.

變式如圖5，H為△ABC的垂心，且AB=6，設△ABC的面積為S1，△ABH的面積為S2.求S1·S2的最大值

解法設AD=x，則DB=6-x∵△ADH∽△CDB，

∴DHAD=DBCD，∴DH·CD=x（6-x），

∴S1·S2=AB·CD2·AB·DH2=9x（6-x）=-9（x-3）2+81，

∴當x=3時，S1·S2的最大值是81.

同類型的變式我們可以采用相同的特征即兩個三角形相似來解決，而對于不同類型的問題我們就可以采用特例所蘊含的思想方法來解決問題。

四、舉一反三，觸類旁通

例2如圖6，直線AB與⊙O相切于點A，弦CD//AB，E、F為圓上的兩點，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的半徑為52，CD=4，求弦EF的長.

特殊情況（如圖7）：當點E與點C重合時，則EF=AC.

延長AO交CD于H，

連接CO.

∵ CD//AB，∴ AC=AD，

∴ OH⊥CD.

∴OH=32，AC=25，EF=25.

由特例得出EF=AC的結論，結合條件中圓周角的等量關系，尋找同圓中相等的圓周角所對的弦相等，利用垂徑定理，從而把問題轉換到Rt△OEH和Rt△AEH中求解.

常規解法：如圖8，當CD在點O點上方.

延長AO交CD于H，連接CO.

∵ ∠CDE= ∠ADF，

∴ ∠EDF= ∠CDA.

∴ EF=AC.

∵ CD//AB，

∴AC=AD.

∴ OH⊥CD

∴OH=32，AC=EF=25.

在通過特例的幫助解決此問題之后，會發現CD與圓心O的位置關系有兩種，CD可在點O之上，也可在點O之下，因此也能聯系圖形得到圖9.

情況2：如圖9，當CD在O點下方時，連接CO.

∵∠CDE= ∠ADF，

∴∠EDF= ∠CDA.

∴EF=AC.∵CD//AB，

∴AC=AD.∴OA⊥CD.

∴ AC=EF=5

五、退中求進，積累沉淀

特例解題其實是一種“以退為進”的策略，“退”并非毫無章法，而是“退”到我們最容易看清問題的地方，看到問題的本質.“退“可以從一般到特殊，可以從復雜到簡單，也可以從抽象到具體. 當”退“到最基本的形式之后，“進”也就自然而然產生了. 在“退”與“進”的過程中，我們的思維方式和思考手段全都在這一過程中展現出來. 善于“退”以及足夠的“退”則是為了之后我們大步的“進”.

用特例解決問題也并非是投機取巧，實質是利用特殊情況的分析來促成我們進一步的思考，為我們的思路打開一條新的途徑. 通過簡單情況或者特殊情況的處理，再歸納、聯想，從而發現其一般性. 長此以往不僅有助于培養我們的推理能力和創新意識，也能讓我們在特定的復雜環境中，靈活的調用知識與方法解決問題，這也是當前數學核心素養的價值體現.