探討平面幾何圖形面積計(jì)算的特殊方法

摘要：平面幾何圖形的面積計(jì)算是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師在教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生掌握“先往某個(gè)方向集中”、“超出多少就縮進(jìn)多少”和“定理的特殊證明”等圖形轉(zhuǎn)換方法來解決問題，從而讓學(xué)生感悟到圖形的排除、包含、轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞：平面幾何圖形；面積計(jì)算；特殊方法

作者簡(jiǎn)介：陳澤寧（1965-），男，漢族， 廣東省臺(tái)山市人， 大學(xué)學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，臺(tái)山市市管拔尖人才，臺(tái)山市任遠(yuǎn)中學(xué)副校長(zhǎng)，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.平面幾何圖形的面積計(jì)算在初中數(shù)學(xué)教材中占有十分重要的地位，通過求平面幾何圖形面積的教學(xué)，能讓學(xué)生掌握一些圖形轉(zhuǎn)換方法，感悟圖形的排除、包含、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.而在教學(xué)過程中，平面幾何圖形面積計(jì)算的特殊計(jì)算是教與學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，下面來談?wù)勅椒N特殊的計(jì)算方法.

一、先往某個(gè)方向集中

例1有一塊長(zhǎng)為a米，寬為b米的長(zhǎng)方形宅地，在這片土地上造了如圖1所示的兩條道路，道路寬為c米.那么，請(qǐng)問土地的面積剩下多少平方米？

分析思維較膚淺的同學(xué)極易分別求出四個(gè)梯形面積之和，或用大矩形ABCD的面積減去陰影部分的面積.盡管也能計(jì)算出，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力；思維較深刻的學(xué)生，掌握問題的本質(zhì)：把去掉道路的土地往左靠攏，然后再往上靠攏，于是變成了沒有道路的長(zhǎng)方形，如圖2的情形.這樣，就可以很簡(jiǎn)單地算出剩下土地的面積.

解 S土地= （a-c） （b-c） = ab-ac一bc+c2 （平方米）

二、“超出多少就縮進(jìn)多少”的原理

例2計(jì)算出圖3中灰色部分的面積.

分析一按常規(guī)的思路，可能出現(xiàn)以下的解法，如圖4所示，從整體面積中扣掉圓的面積，就是所求的面積.如果要扣掉圓的面積，那么就要按圖5把圓切成兩半后再扣掉也是一樣.如此一來，就出現(xiàn)了一個(gè)長(zhǎng)方形的面積.

解法一所求的面積為S=12cm×4cm = 48cm2

分析二由于原來的圖形很難做判斷，因此我們?cè)趫A上加了一個(gè)長(zhǎng)方形，把它變成了如圖6所示的圖形.如果把這個(gè)圖形左右各延伸4 cm，右側(cè)會(huì)出現(xiàn)我們要計(jì)算的圖形，而左側(cè)就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)方形.我們可以這樣來思考，也就是說右側(cè)延伸出多少面積，左側(cè)就會(huì)內(nèi)縮多少面積，如圖7所示.

解法二所求的面積為S=12cm×4cm = 48cm2

點(diǎn)評(píng)像以上這樣，可以用不改變面積的方法把它變成容易計(jì)算的圖形，題目中右側(cè)類似月牙形狀的部分，就以這種方式被巧妙地變成了左邊的長(zhǎng)方形.在數(shù)學(xué)里，把這種思考方式叫做“卡瓦列利原理”.

拓展所謂卡瓦列利原理，道理跟用來畫出水管突出部分線段的取樣繪圖器是一樣的，如圖8所示.同學(xué)們可以根據(jù)這種情況來思考“超出多少就縮進(jìn)多少”的原理.

三、勾股定理的特殊證明

例3圖9中，直角三角形的三邊長(zhǎng)為a、b、c，則c2=a2+b2成立.

分析只要證明出“兩個(gè)小正方形面積之和等于斜邊的大正方形面積”， 則c2=a2+b2就可以成立.所以，在如圖10所示，只要把正方形CBED變成長(zhǎng)方形JBHK，再把正方形AFGC變形為長(zhǎng)方形AJKI就行了.

證明下面證明正方形CBED變成長(zhǎng)方形JBHK：

1.首先把正方形CBED切割成細(xì)細(xì)的長(zhǎng)方形，然后，按照順序移動(dòng)，把它變成為平行四邊形ABEL（從圖10→圖11）.

2.B點(diǎn)不動(dòng)，把這個(gè)平行四邊形按順時(shí)針方向方向旋轉(zhuǎn)90°，變?yōu)槠叫兴倪呅蜨BCM（圖11→圖12）.

3.把平行四邊形HBCM以另外的細(xì)長(zhǎng)法切割（圖13）.

4.把細(xì)細(xì)的長(zhǎng)方形按照順序移動(dòng)后，變形成為長(zhǎng)方形JBHK（圖13→圖14）.

以同樣的方法，可以證明把正方形AFGC變形為長(zhǎng)方形AJKI.

使用這種方法，也許有人會(huì)對(duì)長(zhǎng)方形的鋸齒部分非常在意.但只要把長(zhǎng)方形不斷變細(xì)，那么鋸齒的部分就會(huì)逐漸消失.這跟以后學(xué)習(xí)的“極限、積分”中所講的原理是一樣的.

在整個(gè)初中學(xué)習(xí)中，類似這幾類妙解的題目很多，同學(xué)們?nèi)绻?jīng)常探討巧解妙證，不但能鍛煉自己的觀察分析能力，促使思維敏捷，溝通不同知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，有助于培養(yǎng)自己綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和提高解題的技能與技巧，從而發(fā)展思維的創(chuàng)造性.

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