當平行線與角平分線邂逅會有怎樣的精彩

摘要：平行線與角是初中幾何中的基本圖形，角的平分線在平面幾何中具有重要的作用.本文通過典型例題對平行線與角平分線的結合進行了分析與探究，發現當平行線與角平分線在同一圖形中出現時，不難得出相等的角或邊的結論，用“平、平、等”三字概括此類幾何圖形中三者之間的微妙的關系.

關鍵詞：平行線；角平分線；相等

作者簡介：符布先（1985-），男，本科，中學二級教師，主要從事初中數學教學研究.在初中數學教學中，幾何推理和圖形證明是教學中的重難點，需要學生有良好的空間想象能力，很多學生感覺學習時很吃力，如果教師仍然采用照本宣科的教學方法，教學效果自然難盡人意.因此，發掘幾何圖形推理和證明中的規律性的技巧，對提高初中數學教學質量，有著積極的作用.

平行線的性質是初中幾何的一個基本性質，可通過平行線的性質證明角之間的數量關系.角是初中幾何中的一個基本圖形，角的平分線所在的直線是角的對稱軸，角的平分線在平面幾何中具有重要的地位和作用.當平行線與角的平分線在同一圖形中結合時，會有什么不一樣的情況出現呢？

例1已知，如圖1，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，DE∥BC交AB于E.證明：△BDE是等腰三角形.

分析題目中已知條件為BD平分∠ABC， DE∥BC，根據平行線的性質，可得同位角或者內錯角相等，以及同旁內角互補，由角平分線的定義可知，∠ABD=∠CBD，利用等量代換可得在△BDE中，∠ABD=∠BDE，故△BDE為等腰三角形.

證明∵DE∥BC（已知）

∴∠EDB=∠DBC（兩直線平行 內錯角相等）

∵BD平分∠ABC（角平分線的定義）

∴∠ABD=∠BDE（等量代換）

∴△BDE是等腰三角形（等角對等邊）

例2如圖2，在△ABC中，AB=6，AC=8，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過D作EF∥BC分別交AB、AC于E、F.求△AEF的周長.

分析此題中的圖形在三角形章節中常出現，該題中的條件有EF∥BC、BD平分∠ABC、CD平分∠ACB，對比上面典型例題1，不難發現兩者的聯系，運用其可得BE=ED、DF=CF，故△AEF的周長可通過等量代換轉換成AB+AC來計算得出.

解∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB

∴∠ABD=∠CBD， ∠ACD=∠BCD

∵EF∥BC

∴∠CBD=∠BDE， ∠BCD=∠FDC

∴∠ABD=∠EDB， ∠FDC=∠DCF

∴ED=BE，DF=CF

則△AEF的周長=AE+EF+AF

=AE+ED+DF+AF

=AB+AC=6+8=14

例3已知，如圖3，AE是△ABC外角的平分線，且AE∥BC，求證：△ABC為等腰三角形.

分析等腰三角形可由兩角相等或者兩邊相等來判定，在平行線間多有角的相等關系，在同一三角形中當兩角相等即可得到兩邊相等，即該三角形為等腰三角形.

證明 ∵AE平分∠DAC（已知）

∴∠DAE=∠EAC（角平分線的定義）

∵AE∥BC（已知）

∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C（平行線的性質）

∴∠B=∠C（等量代換）

∴AB=AC（等角對等邊）

即△ABC為等腰三角形

通過上述問題中對平行線與角平分線的結合進行了分析與探究，發現當平行線與角平分線在同一圖形中出現時，往往不難得出，相等的角或者相等的邊的結論，故我用“平、平、等”三字概括此類幾何圖形中三者之間的微妙的關系.

總之，在初中數學幾何推理和圖形證明中，教師需要引導學生認真觀察幾何圖形，歸納解法及解題思路，從而提高學生幾何證明的能力，實現教學相長的目的.