分析高職考試真題分類突破知識要點

摘要：本文首先分析了職高學生數學學習的現狀，論述了高職考試對于高職學生的重要性，筆者以一元二次函數的復習為例，統計了2011年——2016年的高職考試真題中關于“三個二次”的考查分布，然后對相關的題型進行了分類整理，設計了“一元二次函數的應用”的學案，并對高職考試復習進行了三點反思.

關鍵詞：考試真題；分類突破

作者簡介：鄧丹 （1983-），女 ，本科 ，中學一級 ，主要從事職高數學教學研究一、職高學生數學學習的現狀

眾所周知，職高學生的數學基礎薄弱，對數學有種莫名其妙的恐懼心理，覺得數學很難學，看到一大串數字就像看天書，你看著我，我看著你，好像“執手相看淚眼，竟無語凝噎” ，學生數學學習苦、累；同時，常常看到我們職高老師教的辛苦，不理解學生怎么這么簡單都不懂，課堂上都講了n遍了，還是不會啊，依葫蘆畫了還不像“瓢”，那個痛苦啊，只有老師自己心里最清楚，“想說愛你真不是一件很容易的事”.總結起來，職高學生數學學習有如下特征：

（1）基礎薄弱，連基本的計算都不過關；

（2）基礎知識混亂，例如一元二次方程和一元二次函數分不清楚，有些學生一看到“函數”二字就頭疼，不敢下手；

（3）對于實際應用題，無法讀懂題意，無法提取有用的信息.

二、高職考試對于高職學生的重要性

高職考試對每一個考生來說，都非常重要，關系到每個學生的升學問題和專業的選擇.

既然職高學生的基礎薄弱，高職考試對他們又如此重要，那么作為一線的高三教師，我們該如何進行高職考試的數學復習呢？復習該遵循什么原則和要求呢？

三、高職考試復習的總體原則和要求

1.高職考試的總體復習原則是——“三個理解”

“三個理解”即 “理解數學、理解學生、理解教學”的原則，深入理解數學是前提，“理解數學”是數學課堂教學“預設”的前提，也是數學課堂教學“生成”的關鍵.作為教師，只有清晰地知道“教什么”，理解所教內容“是什么”，深知數學知識所蘊含的思想方法和自身的科學價值，才有可能在課堂教學中予以表達.學生是課堂教學的主體，“理解學生”就是要解決“教給誰”的問題.在課堂教學中，教師將已經“理解”的數學知識，要傳授給學生，那么，就一定要知道學生在“這個問題”上“已經知道了什么”；在將要學習的內容中，可能遇到的思維障礙是什么；以及對于“這個問題”，是如何展開“思考”的.教學過程，應該是以數學知識發生發展過程為載體的學生的認知過程.基于教師對課堂教學中的載體“數學知識”的理解，對教學對象“學生認知”的理解，接下來，就是要解決“途徑”的問題，即討論“怎樣教”，才能使學生獲得最大的學習效益.

2.高職考試的總體復習要求

根據《浙江省高等職業技術教育招生數學考試大綱（2013年修訂）》，高等職業學校招生數學考試，以人民教育出版社、高等教育出版社出版的《數學》教材為參考教材.數學考試旨在測試中學數學基礎知識、基本方法、基本技能、運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運用所學數學知識和方法，分析問題和解決問題的能力.本大綱對所列知識提出三個不同層次的要求，三個層次由低到高順序排列，且高一級層次要求包含低一級層次要求.三個層次分別為：

了解：要求學生對學過知識進行復述和辨認，對所列知識的涵義有感性和初步理性的認識，知道有關內容，并能進行直接運用.

理解：要求學生對所列知識涵義有理性的認識，能在了解知識基本內容的基礎上作相應的解釋、舉例或變形、推斷，并能運用知識解決簡單的數學問題.

掌握：要求學生對所列知識在理解基礎上，能綜合運用有關知識，解決一些數學問題和簡單實際問題.

四、分析高職考試真題、分類突破知識要點

1.對比考試大綱，詳細分析近五年高職考試真題

比如不等式部分，考試大綱中要求，會解一元一次不等式，一元一次不等式組和可化為一元一次不等式組的不等式；會解一元二次不等式，了解區間的概念.會在數軸上表示不等式或不等式組的解集，那么在歷年的高職考試真題中有哪些體現？是以什么題型出現的？每個題目的難易程度如何？在相應的課堂教學中，我們該如何進行有效突破這些知識要點？

比如函數部分，考試大綱中要求，理解一元二次函數的概念，掌握它們的圖像與性質，了解一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式之間的關系，會求一元二次函數的解析式及最大、最小值，能初步聯系實際建立一元二次函數模型，會運用一元二次函數的知識解決一些簡單的實際問題，那么在近些年的高職考試真題中，哪些題目涉及到一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式，是以什么樣的題型出現？每個題目的分值、難易程度如何？這些問題在我們教學之前，都必須思考清楚，也是我們進行職高復習設計的原則“三個理解”的體現，即理解數學的重要體現.

2.分類突破知識要點

分類突破知識要點的方法很多，一般來說，可以根據知識點來進行分類突破，也可以按題型來進行突破，有時也會按專題進行分類突破，形式不一，但是針對性要強，即在“理解學生”的基礎上，首先進行點對點進行突破，然后進行思維提升，變式訓練等.

五、以“一元二次函數復習”為例進行分析、分類突破知識要點

1.分析高職考試題

分析2011年——2016年浙江省高職考試數學試卷，可以得出，“三個二次”（即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式）在試卷中所占的比例很大，從下面統計的表格可以清楚看出.

2011年—2016年浙江省高職考試數學試卷“三個二次”題型分布表

表1

年份題型選擇題填空題解答題分值2011年193414分2012年83412分2013年4、53414分2014年19、233416分2015年1、132812分2016年5215分在上述表格中，對“三個二次”的考查，表現在如下方面：理解一元二次函數的概念，掌握它們的圖像與性質，了解一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式之間的關系，會求一元二次函數的解析式及最大、最小值，能初步聯系實際建立一元二次函數模型，會運用一元二次函數的知識解決一些簡單的實際問題.這與考試大綱的要求是吻合的.

2.分類突破知識要點

知識點一：一元二次方程的解

例1（2016年浙江省高等職業技術教育招生考試數學試卷）若函數f（x）=x2-6x，則

A.f（6）+f（8）=f（10）B.f（6）+f（8）=2f（7）

C.f（6）+f（8）=f（14）D.f（6）+f（8）=f（-2）

例2（2015年浙江省高等職業技術教育招生考試數學試卷）已知集合M={x|x2+x+3=0}，則下列結論正確的是（）

A.集合M中共有2個元素

B.集合M中共有2個相同元素

C.集合M中共有1個元素

D.集合M為空集

例3（2012年浙江省高等職業技術教育招生考試數學試卷）設p：x=3，q：x2-2x-3=0，則下面表述正確的是（）

A.p是q的充分條件，但p不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但p不是q的充分條件

C.p是q的充要條件

D.p既不是q的充分條件也不是q的必要條件

知識點二：一元二次函數的圖像和計算

例4（2014年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷）已知二次函數的圖象通過點（0，-1），（1，12），（-1，-72）則該函數圖象的對稱軸方程為.

例5（2014年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷）函數f（x）=-2x2+5x+3圖象的頂點坐標是

例6（2013年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷）對于二次函數y=x2-2x-3，下述結論中不正確的是（）

A. 開口向上

B.對稱軸為x=1

C.與x軸有兩交點

D.在區間（-∞，1）上單調遞增

例7（2015年浙江省高等職業技術教育招生考試數學試卷）已知函數f（x）=x2-1

3-2x x≥0

x<0，求值：

（1）f（-12）； （2）f（2-0.5）；（3）f（t-1）；

知識點三：一元二次函數的最值問題

例8（2014年浙江省高等職業技術教育招生考試數學試卷）若0

例9（2011年浙江省高等職業技術教育招生考試數學試卷）0

例10（2015年浙江省高等職業技術教育招生考試數學試卷）二次函數f（x）=ax2+4x-3的最大值為5，則f（3）=（）

A.2B.-2 C.92D.-92

知識點四：一元二次不等式

例11（2013年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷）函數f（x）=x2-4的定義域為（）

A.（2，+∞） B.[2，+∞）C.（-∞，-2]∪[2，+∞）D.實數集R

知識點五：一元二次函數的應用題

例12（2014年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷）兩邊靠墻的一個區域，邊界正好是橢圓軌跡的一部分，如圖所示，現要設計一個長方形花壇，要求其不靠墻的頂點正好落在橢圓軌跡上，

（1）根據所給條件，求出橢圓的標準方程

（2）求長方形的面積S與邊長x的函數關系式

（3）求當邊長x為多少時，面積S有最大值，并求其最大值

例13（2013年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷）有60（m）長的鋼材，要制作一個如圖所示的窗框.

（1）求窗框面積y（m2）與窗框寬x（m）的函數關系式；

（2）求窗框寬x（m）為多少時，窗框面積y（m2）有最大值；

（3）求窗框的最大面積.

例14（2012年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷）有400米長的籬笆材料，如果利用已有的一面墻（設長度夠用）作為一邊，圍成一個矩形菜地，如圖，設矩形菜地的寬為x米.

（1）求矩形菜地面積y與矩形菜地寬z之間的函數關系式；

（2）當矩形菜地寬為多少時，矩形菜地面積取得最大值？菜地的最大面積為多少？

例15（2011年浙江省高等職業技術教育招生考試 數學試卷） （如圖所示）計劃用12m長的塑鋼材料構建一個窗框.求：

（1）窗框面積y與窗框長度x之間的函數關系式；

（2）窗框長取多少時，能使窗框的采光面積最大；

（3）窗框的最大采光面積.

六、突破一元二次函數的知識點——“一元二次函數的應用”的復習學案

根據上述關于2011年—2016年高職考試數學試卷“三個二次”的分析，筆者針對“一元二次函數的應用”這一知識點進行分類突破，設計了一元二次函數的應用學案，供同行參考.

一元二次函數的應用（學案）

課堂練習：

1.（2011高職變式題）用12m長的塑鋼材料建一個窗框（如圖所示），求（1）面積y與x的函數關系式（2）當窗框寬為多少時，采光面積最大？

2.（2012高職）有400米長的籬笆材料，如果利用已有的一面墻（設長度夠用）作為一邊，圍成一個矩形菜地，如圖，設矩形菜地的寬為x米.（1）求矩形菜地面積y與矩形菜地寬x之間的函數關系式；（2）當矩形菜地寬為多少時，矩形菜地面積取得最大值？菜地的最大面積為多少？

3.（利潤變式題）某職業中學市場營銷專業二年級學生李明利用暑假時間做了一次生意，她用20元/件的價格從市場批發了某種品牌精美飾品1000件，然后在自家淘寶家店銷售，下表是4天銷售情況.她發現在25元基礎上，每提價1元銷量就減少1件.問：結合數學知識，如何定價才能使日利潤最大？

價格25元26元27元28元銷量15件14件13件12件課后鞏固提高：

練習1：有400米長的籬笆材料，如果利用已有的兩面墻（設長度夠用）作為兩邊，圍成一個矩形菜地，如圖，設矩形菜地的長為x米.（1）求面積y與x之間的函數關系式；（2）當長為多少時，面積最大？

練習2：某商品的進價為30元/件，試銷期間商品定價x元/件與銷量y（元）存在的函數關系式的圖像如圖所示.

（1）求銷售量y與定價x的函數關系式；

（2）當定價為多少時，商品的利潤最大？并求最大利潤.

練習3：在某塊地上種葡萄藤，若種50株葡萄藤，每株葡萄藤將產出70千克葡萄，若多種1株葡萄藤，每株產量平均下降1千克，試問在這塊地上種多少株葡萄藤才能使產量達到最大，并求出最大值.

練習4：如下圖，AB=10，BC=5，在矩形ABCD上分別選取E、F、G、H四點，且AE=AH=CF=CG=t，如何設計，可使EFGH面積最大？

練習5：某小店銷售某種商品，已知平均月銷售量x（件）與貨價p（元/件）之間的函數關系式為p=120-x，銷售x件商品的成本函數為C=500+30x，試討論：（1）該店平均月銷售量為多少時，所得利潤不少于1500？（2）當平均月銷售量x為何值時，能獲得最大利潤？并求出最大利潤.

七、高職考試復習的幾點反思

1.知識點落實到位

高職考試的難度和普高考試的難度不同，比較起普高的高考考試題目來說，相對簡單，但是高職考試題量大，對于基礎薄弱、運算能力較差的職高學生來說，存在很大的挑戰，因此，在高職考試復習過程中，我們選題時題目盡量簡單點，不要求進行深入探究，但是選題時一定要根據知識點選題，落實到位，訓練到位，使得學生熟能生巧.

2.分類突破知識要點

對于歷年的高職考試真題必須足夠的重視，命題的專家一般變化不大，命題的思路和趨勢必然有延續性，不會出現非常大的變化，讓大家感到不適應，因此，分類整理歷年的高職考試真題就顯得尤為重要，分析清楚了這些真題，心里就清楚命題專家的命題方向和思路、題型等，在復習的過程中就做到心中有“題”，講“題”不慌，分類整理，突破知識要點，復習的效率也會提升.

3.利用變式進行提升

分析、分類整理清楚歷年高職考試的真題，對于個別較難的知識點，學生不太容易掌握的知識點，比如一元二次函數的應用問題，既是學生頭疼的問題，也是歷年高職考試的重點，所占的分值較大，所以我們在復習的時候，常常利用變式進行提升，專題鞏固突破比較有效.

參考文獻：

[1]章建躍. 中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學參考.2010年（7）.

[2][美]波利亞. 怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.

[3]羅增儒.數學解題學引論[M].陜西：陜西師范大學出版社.2008年.

[4]浙江省高等職業技術教育招生數學考試大綱（2013年修訂），2013年.