以“圓周角”為例談智慧問題讓教學(xué)更加流暢

摘要：課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，要求教師創(chuàng)造性地組織教學(xué).采取智慧問題驅(qū)動(dòng)的方式進(jìn)行教學(xué)，既能讓數(shù)學(xué)課堂在師生互動(dòng)的學(xué)與教的過程中展示智慧，也讓數(shù)學(xué)課堂環(huán)環(huán)相扣，流暢自然，回味無窮.本文以“圓周角”第一課時(shí)教學(xué)過程為例，具體說明智慧問題如何讓課堂教學(xué)更加流暢.

關(guān)鍵詞：智慧問題；課堂教學(xué)；流暢；圓周角

作者簡(jiǎn)介：巫錫富（1980-），男，江西寧都人，本科，中學(xué)一級(jí)，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.一、教學(xué)主要過程與評(píng)析

1.承前啟后，引入概念

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察，圖中∠AOB叫什么角（教師用幾何畫板展示圖1）？它的特點(diǎn)是什么？有哪些性質(zhì)？

生1：圓心角，它的特點(diǎn)是頂點(diǎn)在圓心.

生2：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；反之，在同圓或等圓中，等弧所對(duì)的圓心角也相等.

師：將∠AOB的頂點(diǎn)往上移動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)哪些類型的角？

生：我分為頂點(diǎn)在圓內(nèi)、頂點(diǎn)在圓上、頂點(diǎn)在圓外三種類型的角.（教師幾何畫板展示圖2.）

師：我很行賞你的分類.大家觀察圖2②，這個(gè)角有什么特征呢？

生：這個(gè)角的頂點(diǎn)在圓上，并且這個(gè)角的兩邊都和圓相交（教師板書并畫圖3）.

師：你們對(duì)這個(gè)角的特征歸納得很準(zhǔn)確，這樣的角我們稱之為圓周角（教師出示課題）.

評(píng)析教師從已學(xué)圓心角入手，通過“移動(dòng)∠AOB的頂點(diǎn)”自然引入新知.在移動(dòng)圓心角頂點(diǎn)的教學(xué)過程中，動(dòng)態(tài)思想促使學(xué)生利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系自覺生成了兩個(gè)非圓周角的圖例，同時(shí)又把正確理解圓周角的學(xué)習(xí)映射其中，同時(shí)潛移默化地滲透了類比和分類討論思想. 教師要?jiǎng)?chuàng)造性地利用教材.教材開門見山直接給出圓周角的概念，如果照搬教材直接進(jìn)行圓周角概念的進(jìn)行講解，那課堂就平淡無奇、索然無味，激發(fā)不了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，點(diǎn)燃不了學(xué)生的智慧.教師正是創(chuàng)新性地利用教材，在學(xué)習(xí)內(nèi)容的銜接之處、知識(shí)點(diǎn)上、數(shù)學(xué)思想與方法上進(jìn)行巧妙的設(shè)問，環(huán)環(huán)相扣，使課堂順著學(xué)生的思維慣性自然生成.

2.推理證明，歸納性質(zhì)

【片段1】

師：我們把∠BAC稱作弧BC所對(duì)的圓周角.請(qǐng)問弧BC所對(duì)圓心角有幾個(gè)？所對(duì)的圓周角又有多少個(gè)？

生：弧BC所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè).

師：為什么弧BC所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)呢？（圖3）

生：因?yàn)閳A周角頂點(diǎn)可以在優(yōu)弧BDC上移動(dòng).

師：既然弧BC所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，你能否畫出幾個(gè)你認(rèn)為不太一樣的圓周角？

師：對(duì)比圖4①、②中圓周角，你覺得什么地方不一樣？

生：第一幅圓心在圓周角∠BAC的內(nèi)部，第二幅圓心在圓周角∠BAC的AC邊上.

師：還有不一樣的嗎？

生：還有圓心在圓周角∠BAC的外部的情況.

師：這三種情況你們是怎樣找出的呢？

生1：我是畫呀畫，畫出來的.

生2：其實(shí)弧BC所對(duì)的圓周角的頂點(diǎn)可以從B點(diǎn)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，不包括B、C兩點(diǎn).這樣依次出現(xiàn)的圓心在∠BAC的外部，圓心在圓周角∠BAC的AC邊上，圓心在圓周角∠BAC的內(nèi)部的三種情況.

評(píng)析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了弧BC所對(duì)的圓心角只有∠BOC，教師承接已學(xué)知識(shí)，過渡性地提出“弧BC所對(duì)的圓周角有多少個(gè)？”，緊接教師讓學(xué)生畫出不一樣的圓周角.兩個(gè)看似平淡的問題恰恰都預(yù)設(shè)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，問題的提出以知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)的落腳點(diǎn)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).第一個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生用動(dòng)態(tài)思想和圓周角概念進(jìn)行思考，第二個(gè)問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)弧BC所對(duì)的無數(shù)個(gè)圓周角進(jìn)行歸類，為接下來的圓周角性質(zhì)的證明做好了鋪墊.教師通過數(shù)學(xué)問題及與學(xué)生的互動(dòng)，使課堂處于一種“自覺、和諧、圓融的境界”[1].

【片段2】

師：弧BC對(duì)了無數(shù)個(gè)圓周角，他們大小一樣嗎？和弧BC所對(duì)的圓心角有什么關(guān)系呢？（教師先讓猜想后讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量.）

生：通過觀察、猜想、測(cè)量，我發(fā)現(xiàn)弧BC所對(duì)的圓周角都等于弧BC所對(duì)圓心角的一半.

師：我們?nèi)绾瓮ㄟ^推理的方法來得到這個(gè)性質(zhì)呢？

生：根據(jù)我們剛才畫出的圓周角類型，我覺得要分三種情況進(jìn)行證明.

師：你會(huì)從哪個(gè)圖形入手證明？

生：先證明圓心在AC邊上的情況（圖5①）.

師：為什么？

生：這個(gè)圖形最簡(jiǎn)單，最容易證明.

師：圓心在圓周角內(nèi)部時(shí)，又如何證明∠BAC=12∠BOC呢？

生：過點(diǎn)A作直徑AD（圖5③）.

師：你是怎樣想出來的呢？

生：把AO連接起來得到了對(duì)稱型的基本圖形.

師：還有不同的解釋嗎？（學(xué)生沉默.）

師：請(qǐng)大家對(duì)比一下圖5①和圖5②.

生：在證明第一種情況時(shí)有一條直徑AC，我就想證明第二種情況的時(shí)候也可把過A點(diǎn)的直徑畫出來.

師：圓心在圓周角外部時(shí)又如何證明呢（圖6①）？

生：類比第二種情況證明時(shí)輔助線的作法，把過A點(diǎn)的直徑AD作出來再說（圖6②）.

師：數(shù)學(xué)就是要敢于嘗試.這樣作輔助線是否可行呢？（教師巡視課堂發(fā)現(xiàn)較多學(xué)生沒有什么進(jìn)展.）

師：當(dāng)我們把直徑AD作出來后（圖6②），能否從這個(gè)復(fù)雜圖形中剝離出第一種情況的圖形（圖5①）呢？

生：把OB和AB線段隱藏之后，就能得到第一種情況的圖形（圖6③），也就得到了得∠CAD=12∠COD.

師：還能找出第一種情況的圖形嗎？

生：把OC和AC線段隱藏之后，也得到了第一種情況的圖形（圖6④），同理得到了∠BAD=12∠COD.

評(píng)析在探索圓周角性質(zhì)之初， 教師通過問題驅(qū)動(dòng)課堂，“你會(huì)從哪個(gè)圖形開始證明？圓心在圓周角∠BAC的AC邊上（圖5①）.為什么？這個(gè)圖形最簡(jiǎn)單，最容易證明”.在師生的互動(dòng)過程中，教師向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)研究活動(dòng)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的過程.此外，教師提出了一些生成性的問題，讓圓周角性質(zhì)的探索不斷深入、層層遞進(jìn). 古代教育家孔丘說：“不憤不啟，不悱不發(fā)”.當(dāng)問題難度不斷升級(jí)，學(xué)生出現(xiàn)思維困惑時(shí)，教師不急著點(diǎn)破，在啟發(fā)的過程中教師火候把握非常到位，恰到分寸. 如“請(qǐng)大家對(duì)比一下圖5①和圖5②”，學(xué)生通過觀察，類比遷移，利用已知解決未知，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)問題解決的基本途徑，引導(dǎo)學(xué)生真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí). 再如“能否從這個(gè)復(fù)雜圖形中剝離出第一種情況的圖形（圖5①）呢？”這個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形找出基本圖形，將陌生、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問題. 教師設(shè)計(jì)的一連串問題符合認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)生成規(guī)律.師生間富有層次和相互緊扣的設(shè)疑和解疑，讓課堂靈動(dòng)有序，精彩紛呈[2].

3.應(yīng)用性質(zhì)，生成推論.

（1）如圖7，∠A是圓周角，若BC是直徑，則∠A=度.

（2）如圖7，∠A是圓周角，若∠A=90度，則∠BOC=度.

評(píng)析在圓周角性質(zhì)探索完后，教師順勢(shì)將課堂進(jìn)入了性質(zhì)的應(yīng)用環(huán)節(jié).兩個(gè)問題引出了圓周角性質(zhì)定理的推論.教師將課本內(nèi)容進(jìn)行整合，將知識(shí)問題化、層次化，讓學(xué)生在應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題中生成了新知識(shí)，教學(xué)環(huán)節(jié)的過渡上自然而然，水到渠成.

二、教學(xué)反思

“§3.5圓周角①”這節(jié)課，容量大、難度大，一些有經(jīng)驗(yàn)的教師在上這節(jié)課時(shí)，也會(huì)感到時(shí)間倉促，教學(xué)組織凌亂，課堂氣氛沉悶.如何有序組織教學(xué)，激發(fā)學(xué)生思考與表達(dá).如何在達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧在學(xué)習(xí)過程中得到提升，讓學(xué)生的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”得到培養(yǎng)，讓課堂更加流暢更加具有藝術(shù)性，這是當(dāng)今數(shù)學(xué)教師要思考的問題.

數(shù)學(xué)課堂的流暢之美實(shí)質(zhì)是教師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)思維、清晰的課堂思路、準(zhǔn)確生動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)、學(xué)生數(shù)學(xué)思維活躍的綜合體現(xiàn).數(shù)學(xué)課堂的流暢美超越了數(shù)學(xué)教學(xué)的一般要求，從教學(xué)藝術(shù)化的高度展示數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力. 以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的流暢之美.教師就必須深入研究教材，弄清一系列的問題：教材為何按編排這些內(nèi)容又為什么按這樣順序編寫，教學(xué)內(nèi)容有哪些知識(shí)點(diǎn)并且如何將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合和問題化，各個(gè)環(huán)節(jié)間有什么內(nèi)在的聯(lián)系又如何進(jìn)行銜接，每個(gè)環(huán)節(jié)可以滲透哪幾種數(shù)學(xué)思想方法，哪些環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，哪些環(huán)節(jié)能夠培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度分析客觀世界.只有弄清這些問題后，再進(jìn)行精細(xì)化的教學(xué)設(shè)計(jì)，在知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)、思想方法處有序設(shè)問.設(shè)計(jì)的問題既要符合學(xué)生認(rèn)知和知識(shí)生成規(guī)律，也要設(shè)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并做到由簡(jiǎn)入難、層層深入、環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)知識(shí)的螺旋上升和逐步生成的過程.同時(shí)，這些問題要以提高學(xué)生“數(shù)學(xué)智慧“和“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”為落腳點(diǎn)，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)為目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1]趙庭標(biāo). 過程教學(xué)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效策略[J].江蘇教育研究2015（32）

[2]廖輝輝、史寧中、朱丹紅. 數(shù)學(xué)基本思想、核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及教學(xué)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)2016（3）