以“圓周角”為例談智慧問題讓教學更加流暢

摘要：課堂教學是一門藝術，要求教師創(chuàng)造性地組織教學.采取智慧問題驅(qū)動的方式進行教學，既能讓數(shù)學課堂在師生互動的學與教的過程中展示智慧，也讓數(shù)學課堂環(huán)環(huán)相扣，流暢自然，回味無窮.本文以“圓周角”第一課時教學過程為例，具體說明智慧問題如何讓課堂教學更加流暢.

關鍵詞：智慧問題；課堂教學；流暢；圓周角

作者簡介：巫錫富（1980-），男，江西寧都人，本科，中學一級，從事中學數(shù)學教學研究.一、教學主要過程與評析

1.承前啟后，引入概念

師：請同學們觀察，圖中∠AOB叫什么角（教師用幾何畫板展示圖1）？它的特點是什么？有哪些性質(zhì)？

生1：圓心角，它的特點是頂點在圓心.

生2：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；反之，在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角也相等.

師：將∠AOB的頂點往上移動，會出現(xiàn)哪些類型的角？

生：我分為頂點在圓內(nèi)、頂點在圓上、頂點在圓外三種類型的角.（教師幾何畫板展示圖2.）

師：我很行賞你的分類.大家觀察圖2②，這個角有什么特征呢？

生：這個角的頂點在圓上，并且這個角的兩邊都和圓相交（教師板書并畫圖3）.

師：你們對這個角的特征歸納得很準確，這樣的角我們稱之為圓周角（教師出示課題）.

評析教師從已學圓心角入手，通過“移動∠AOB的頂點”自然引入新知.在移動圓心角頂點的教學過程中，動態(tài)思想促使學生利用點與圓的位置關系自覺生成了兩個非圓周角的圖例，同時又把正確理解圓周角的學習映射其中，同時潛移默化地滲透了類比和分類討論思想. 教師要創(chuàng)造性地利用教材.教材開門見山直接給出圓周角的概念，如果照搬教材直接進行圓周角概念的進行講解，那課堂就平淡無奇、索然無味，激發(fā)不了學生的學習熱情，點燃不了學生的智慧.教師正是創(chuàng)新性地利用教材，在學習內(nèi)容的銜接之處、知識點上、數(shù)學思想與方法上進行巧妙的設問，環(huán)環(huán)相扣，使課堂順著學生的思維慣性自然生成.

2.推理證明，歸納性質(zhì)

【片段1】

師：我們把∠BAC稱作弧BC所對的圓周角.請問弧BC所對圓心角有幾個？所對的圓周角又有多少個？

生：弧BC所對的圓心角只有一個，所對的圓周角有無數(shù)個.

師：為什么弧BC所對的圓周角有無數(shù)個呢？（圖3）

生：因為圓周角頂點可以在優(yōu)弧BDC上移動.

師：既然弧BC所對的圓周角有無數(shù)個，你能否畫出幾個你認為不太一樣的圓周角？

師：對比圖4①、②中圓周角，你覺得什么地方不一樣？

生：第一幅圓心在圓周角∠BAC的內(nèi)部，第二幅圓心在圓周角∠BAC的AC邊上.

師：還有不一樣的嗎？

生：還有圓心在圓周角∠BAC的外部的情況.

師：這三種情況你們是怎樣找出的呢？

生1：我是畫呀畫，畫出來的.

生2：其實弧BC所對的圓周角的頂點可以從B點順時針運動到C點，不包括B、C兩點.這樣依次出現(xiàn)的圓心在∠BAC的外部，圓心在圓周角∠BAC的AC邊上，圓心在圓周角∠BAC的內(nèi)部的三種情況.

評析學生已經(jīng)學習了弧BC所對的圓心角只有∠BOC，教師承接已學知識，過渡性地提出“弧BC所對的圓周角有多少個？”，緊接教師讓學生畫出不一樣的圓周角.兩個看似平淡的問題恰恰都預設在學生的最近發(fā)展區(qū)，問題的提出以知識點和數(shù)學思想方法作為教學的落腳點，有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).第一個問題引導學生用動態(tài)思想和圓周角概念進行思考，第二個問題驅(qū)動學生對弧BC所對的無數(shù)個圓周角進行歸類，為接下來的圓周角性質(zhì)的證明做好了鋪墊.教師通過數(shù)學問題及與學生的互動，使課堂處于一種“自覺、和諧、圓融的境界”[1].

【片段2】

師：弧BC對了無數(shù)個圓周角，他們大小一樣嗎？和弧BC所對的圓心角有什么關系呢？（教師先讓猜想后讓學生動手測量.）

生：通過觀察、猜想、測量，我發(fā)現(xiàn)弧BC所對的圓周角都等于弧BC所對圓心角的一半.

師：我們?nèi)绾瓮ㄟ^推理的方法來得到這個性質(zhì)呢？

生：根據(jù)我們剛才畫出的圓周角類型，我覺得要分三種情況進行證明.

師：你會從哪個圖形入手證明？

生：先證明圓心在AC邊上的情況（圖5①）.

師：為什么？

生：這個圖形最簡單，最容易證明.

師：圓心在圓周角內(nèi)部時，又如何證明∠BAC=12∠BOC呢？

生：過點A作直徑AD（圖5③）.

師：你是怎樣想出來的呢？

生：把AO連接起來得到了對稱型的基本圖形.

師：還有不同的解釋嗎？（學生沉默.）

師：請大家對比一下圖5①和圖5②.

生：在證明第一種情況時有一條直徑AC，我就想證明第二種情況的時候也可把過A點的直徑畫出來.

師：圓心在圓周角外部時又如何證明呢（圖6①）？

生：類比第二種情況證明時輔助線的作法，把過A點的直徑AD作出來再說（圖6②）.

師：數(shù)學就是要敢于嘗試.這樣作輔助線是否可行呢？（教師巡視課堂發(fā)現(xiàn)較多學生沒有什么進展.）

師：當我們把直徑AD作出來后（圖6②），能否從這個復雜圖形中剝離出第一種情況的圖形（圖5①）呢？

生：把OB和AB線段隱藏之后，就能得到第一種情況的圖形（圖6③），也就得到了得∠CAD=12∠COD.

師：還能找出第一種情況的圖形嗎？

生：把OC和AC線段隱藏之后，也得到了第一種情況的圖形（圖6④），同理得到了∠BAD=12∠COD.

評析在探索圓周角性質(zhì)之初， 教師通過問題驅(qū)動課堂，“你會從哪個圖形開始證明？圓心在圓周角∠BAC的AC邊上（圖5①）.為什么？這個圖形最簡單，最容易證明”.在師生的互動過程中，教師向?qū)W生滲透了數(shù)學研究活動從簡單到復雜、從特殊到一般的過程.此外，教師提出了一些生成性的問題，讓圓周角性質(zhì)的探索不斷深入、層層遞進. 古代教育家孔丘說：“不憤不啟，不悱不發(fā)”.當問題難度不斷升級，學生出現(xiàn)思維困惑時，教師不急著點破，在啟發(fā)的過程中教師火候把握非常到位，恰到分寸. 如“請大家對比一下圖5①和圖5②”，學生通過觀察，類比遷移，利用已知解決未知，進一步體會數(shù)學問題解決的基本途徑，引導學生真正學會學習. 再如“能否從這個復雜圖形中剝離出第一種情況的圖形（圖5①）呢？”這個問題引導學生學會從復雜圖形找出基本圖形，將陌生、復雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題. 教師設計的一連串問題符合認知規(guī)律和知識生成規(guī)律.師生間富有層次和相互緊扣的設疑和解疑，讓課堂靈動有序，精彩紛呈[2].

3.應用性質(zhì)，生成推論.

（1）如圖7，∠A是圓周角，若BC是直徑，則∠A=度.

（2）如圖7，∠A是圓周角，若∠A=90度，則∠BOC=度.

評析在圓周角性質(zhì)探索完后，教師順勢將課堂進入了性質(zhì)的應用環(huán)節(jié).兩個問題引出了圓周角性質(zhì)定理的推論.教師將課本內(nèi)容進行整合，將知識問題化、層次化，讓學生在應用所學知識解決問題中生成了新知識，教學環(huán)節(jié)的過渡上自然而然，水到渠成.

二、教學反思

“§3.5圓周角①”這節(jié)課，容量大、難度大，一些有經(jīng)驗的教師在上這節(jié)課時，也會感到時間倉促，教學組織凌亂，課堂氣氛沉悶.如何有序組織教學，激發(fā)學生思考與表達.如何在達成教學目標的同時，讓學生的數(shù)學智慧在學習過程中得到提升，讓學生的“數(shù)學核心素養(yǎng)”得到培養(yǎng)，讓課堂更加流暢更加具有藝術性，這是當今數(shù)學教師要思考的問題.

數(shù)學課堂的流暢之美實質(zhì)是教師嚴謹?shù)慕虒W思維、清晰的課堂思路、準確生動的數(shù)學表達、學生數(shù)學思維活躍的綜合體現(xiàn).數(shù)學課堂的流暢美超越了數(shù)學教學的一般要求，從教學藝術化的高度展示數(shù)學學科的魅力. 以問題驅(qū)動教學，實現(xiàn)數(shù)學課堂的流暢之美.教師就必須深入研究教材，弄清一系列的問題：教材為何按編排這些內(nèi)容又為什么按這樣順序編寫，教學內(nèi)容有哪些知識點并且如何將知識點進行整合和問題化，各個環(huán)節(jié)間有什么內(nèi)在的聯(lián)系又如何進行銜接，每個環(huán)節(jié)可以滲透哪幾種數(shù)學思想方法，哪些環(huán)節(jié)可以讓學生獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，哪些環(huán)節(jié)能夠培養(yǎng)學生從數(shù)學角度分析客觀世界.只有弄清這些問題后，再進行精細化的教學設計，在知識點、能力點、思想方法處有序設問.設計的問題既要符合學生認知和知識生成規(guī)律，也要設在學生的最近發(fā)展區(qū)，并做到由簡入難、層層深入、環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)知識的螺旋上升和逐步生成的過程.同時，這些問題要以提高學生“數(shù)學智慧“和“數(shù)學核心素養(yǎng)”為落腳點，以培養(yǎng)學生學會學習為目標.

參考文獻：

[1]趙庭標. 過程教學：培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的有效策略[J].江蘇教育研究2015（32）

[2]廖輝輝、史寧中、朱丹紅. 數(shù)學基本思想、核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及教學[J].初中數(shù)學教與學2016（3）