“思維可視化”視域下小學數學課堂之重建

張齊華

“思維可視化”視域下小學數學課堂之重建

張齊華

張齊華，南京市北京東路小學副校長，高級教師，江蘇省數學特級教師，《江蘇教育》《小學教學》等刊物的封面人物。一直致力于數學課堂文化的探索與實踐，曾代表江蘇省參加全國小學數學專業委員會第七屆教學觀摩大賽榮獲一等獎，《人民教育》《小學教學》先后對其在數學文化領域的探索進行專題報道，2007年《中國教育報》專題報道了其數學課堂系列教學藝術。參與蘇教版小學數學教材的編寫，200多篇教育教學論文在省級以上刊物發表，《張齊華與小學數學文化》2010年由北京師范大學出版社正式出版。

發展學生的數學思維，是數學教學的根本任務，是核心素養背景下數學教育的關鍵訴求。借助精確加工、問題驅動和深度對話，可以喚醒文本的思維可能、激活思維的內在動力、引領思維的縱深發展，讓思維真正發生。要善于調動學生的多重感官，參與到思維的發生、發展和表達過程中來，用直觀的圖形表征抽象的思維，在動手操作與實踐中展現思維的過程，在語言表達中外化學生的思維，讓思維“看得見”。

思維可視化；畫圖；操作；表達；讓思維看得見

數學，是思維的體操。通過數學學習，發展學生的數學思維，是數學教學的根本任務，也是核心素養背景下數學教育最關鍵的價值訴求。

然而，思維看不見。

不僅抽象思維看不見，形象思維，我們同樣看不見。面對“大腦”這一思維得以發生的最深不可測的“黑匣子”，我們的數學教學如何借助相應的教學手段和方法，讓看不見的思維“可視化”，成為數學教師、學習同伴可以觀察、把握、觸摸的對象？我們的數學課堂需要重建。

一、讓思維真正發生——思維可視的基本前提

沒有思維的真正發生，何談思維的可視化？

數學是思維的產物，但數學一旦以思維產物的形式固化下來，成為數學學習的對象時，它的存在，卻未必一定能引發兒童的思維。

因而，對數學文本進行教學意義上的再加工，以問題引領兒童展開真正的數學思維，在對話過程中引導思維向縱深推進，是數學教學引發思維的基本要義。

1.精準加工，喚醒文本的思維可能。

好的數學文本一定具有引發思維的可能性。但可能性如何轉化為現實，引發學生的有效思維，我們需要對文本進行適切兒童心理規律與年齡特點的精準加工。比如，蘇教版三下《小數的初步認識》一課，如果教師僅僅將小數視為十進分數的另一種表達，視為數學上的一種人為規定，那么，其所內涵的思維空間便會被窄化與壓縮。稍作調整，我們不妨給學生呈現如下學習文本：“0.3元表示什么？用你自己喜歡的方式表示出你對它的理解。”開放的文本呈現給學生創造了巨大的思維可能，并展現出不斷拓展、充滿創造的思維空間。可以想見，由于學生已經積累了0.3元與3角、3角與元之間的關聯性經驗，因而，他們完全有能力通過語言文字、直觀圖、示意圖等，創造性地表達并建構“0.3元”的數學意義，從而獲得思維的發展。這一過程中，開放的文本空間、有效的任務驅動，喚醒了文本的思維可能，讓文本真正成為思維的引擎。

2.問題驅動，激活思維的內在動力。

不是所有的問題都能引發學生的思維。好的數學問題，應盡可能來自學生，具有更大的思維空間，能引發學生的思維沖突，進而在認知平衡與失衡之間激活思維的內在動力。例如，蘇教版五下《圓的認識》一課，由于知識點繁雜，師生易被知識束縛，忽略知識背后的思維訴求。教學時，不妨從舊知中引出新問題：長方形的大小由長與寬決定，正方形的大小由邊長決定，圓的大小又是由什么決定？對于學生而言，這是一個具有巨大探索空間與思維挑戰的問題。此時，倘若教師能夠引導學生邊操作、邊感受、邊猜想、邊體會，他們或許會在圓規畫圓的過程中破解這一秘密，進而發現圓規兩腳的距離就是半徑，無數條半徑長度都相等，因而，一條半徑即可決定圓的大小。在這里，繁雜的知識點因為一個開放性的大問題而得以有效統整，思維也在問題驅動下得以充分激發與展開。

3.深度對話，引領思維的縱深發展。

沒有碰撞就沒有思維的推進，沒有對話就沒有思維的砥礪。當學生經由獨立思考，形成自己的見解后，如何引導他們在分享、對話、質疑、辨析中求同存異、謀求共識、建構意義，是推動學生思維向縱深發展的重要路徑。

例如，教學蘇教版六下《用方向和距離確定位置》一課時，我放棄了教材“簡單呈現”的教學路徑，而是大膽地將學生拋向問題的中心：在平面圖中給出燈塔與遇險船只的位置，引導他們以燈塔為觀測點，自己想辦法描述、確定船只的具體位置。不同的學生因經驗多少、思維深淺的差異，可能提出不同的解決方案。比如，有些學生受“用數對確定位置”經驗的影響，借助數對來刻畫船只的位置；有些學生關注了方向和距離但忽略了角度；有些學生關注了方向和角度又忽略了距離；有些學生關注了距離又忽略了方向；有些學生既關注了方向、角度，又關注了距離，但在確定角度上出現了分歧等。此時，教師不必急于出面解決糾紛，而應將問題重新拋給學生，引導學生展開對話，或為自己的觀點辯護，或向同伴提出質疑，或在比較中發現差異，或在協商中尋求共識。事實上，真正的思維正是在這樣深度、多維、開放的對話過程中得以展開和深化的。

二、創新教學路徑——讓數學思維“看得見”

讓思維“看得見”本身并非目的。借助可視化的數學思維，教師能夠透過頭腦這一“黑匣子”，發現兒童數學思維的本來模樣，并借此對學生的數學思維過程進行引導，優化學生的數學思維發展路徑，提升數學思維品質。

讓思維“看得見”，我們需要調動學生的多重感官，參與到思維的發生、發展與表達過程中來，用直觀的圖形表征抽象的思維，在動手操作與實踐中展現思維過程，在語言表達中外化學生的思維。

1.“畫”下來，讓思維觸手可及。

思維是人類所具有的高級認識活動，是對新輸入信息與腦內儲存知識經驗進行一系列復雜的心智操作過程。如何讓內隱的心智操作過程外顯化，畫圖是簡潔、易行的方法之一，是學生表征思維、教師“觀察”學生思維行之有效的方法。

例如，教學蘇教版五上《認識負數》一課時，教師引導學生用直觀圖表示出對 “-2層”“-5℃”“-155米”的理解。結果，不同的學生呈現出不同的表征方式。以“-5℃”為例，有些學生畫了冬天下雪的畫面并配以-5℃字樣；有學生畫了溫度計，但溫度計上只有-5℃這一個溫度；有學生同樣畫了溫度計，但在溫度計上不僅有-5℃，還有0度甚至+5℃的字樣；更有學生只畫了抽象的一條豎線，并在豎線上標上0℃、-5℃和+5℃等。顯然，第一類學生對負數的理解還停留在感覺的層面，未能從數學的角度對-5℃作出闡述；第二類學生則有了一定的直觀思考與定量表達，但他們對負數的意義、負數與0的關系、相反意義的量等的認識還比較模糊；相比較而言，第三類學生對負數的理解已經相對清晰，對負數與0及正數的關系有了比較準確的把握；而第四類學生，在前一類學生的認識水平之上，又有了新的發展，并提升到相對抽象和概括的水平。小小的示意圖，外化并折射出學生不同的思維線索、路徑和水平，這些給教師了解學生的思維現狀，進而作出有針對性的引導提供了可靠的技術支持。

2.動手“做”，讓思維有跡可循。

數學思維不是孤立的，它往往伴隨著具體的數學活動而展開。教學時，通過引導學生動手“做”數學，在操作、演示、實驗、實踐的過程中，教師可以有機會“觀察”學生的思維路徑、方向與狀態，靈活調整自己的教學，以更好地培養、發展學生的數學思維。

例如，教學蘇教版一上《認識11～20的數》一課時，學生如何用小棒準確表征對11～20各數的理解，是本課教學的關鍵。教師可以引導學生自己動手擺一擺、畫一畫，在操作過程中探尋學生思維的軌跡。比如，對于“畫圖表示12”這一學習任務，有些學生會零散地畫出12根小棒；有些學生則會把10根畫一起，在邊上再畫出2根；有些學生則會把10根捆成一捆；而有些學生則會用一根長的小棒表示1個十，用2根短的小棒表示2個一；更有學生會直接畫出簡易的計數器，在上面用3顆珠子表示出12這個數。不同的畫法，折射出的恰是學生不同的思維水平——有些學生的思維還處在前結構化水平，他們對于“滿十進一”的計數規則還沒有清晰的認識；有些學生則在這方面相對要前進很多；至于能夠創造性地用長的小棒表示1個十，或者能夠自覺想到在計數器上用珠子表示數，他們的思維顯然已超越了一年級學生的應有水平，對于位值制也有了初步的感受。教師可以組織學生進行比較，在溝通、對比中尋找最好的表達方式，并在相互借鑒、學習的過程中，提升自己的理解、認識與思維水平。

3.“說”出來，讓思維動態展現。

語言是思維的外化。借助語言，我們可以將思維展現出來。語言，是教師了解學生思維水平、方向和動態的最好載體。數學教學過程中，教師要克制自己“教”“說”的欲望，盡可能給學生創造更多表達的時間和空間，學生自主表達、自由表達、充分表達，并在對話、溝通、質疑、答辯的過程中，展現、發展和提升思維。

例如，教學蘇教版五下《圓的認識》一課，鑒于樸素的數學直覺，幾乎所有學生都能夠給出“半徑無數條、長度都相等”的結論。然而，當教師進一步追問“為什么半徑有無數條，你是怎么思考的”，學生的思維往往會出現困難。此時，教師不妨引導學生先獨立思考，然后在團隊中交流自己的想法，學生或許在相互碰撞中能得到啟發。此時，再引導學生把自己的思考表達出來，教師就有了傾聽、了解學生思維的良好契機。有學生可能會提出把圓對折、再對折，這樣就可以得到2條、4條、8條半徑，因為永遠都折不完，所以半徑就有無數條；有學生會提出，圓有無數條對稱軸，每條對稱軸中都包含著兩條半徑，所以圓有無數條半徑；有學生可能會提出在圓上畫半徑，而半徑是永遠畫不完的，所以圓有無數條半徑；有學生提出，圓上有無數個點，每個點都對應著一條半徑，所以半徑有無數條；也有學生會提出，畫出半徑后，可以把半徑旋轉1度、再旋轉1度，這樣就可以畫出360條半徑，進而，如果每次旋轉的度數縮小10倍、100倍、1000倍……這樣，我們就可以得到無數條半徑。透過學生的語言表達，我們不難發現，每一種表達的背后，都隱含著某一種思維假設。這些，都給教師觸摸學生的思維軌跡創造了極佳的條件。

當然，學生的語言背后，也存在著一些思維的漏洞與盲區，如果教師能夠順利捕捉，進而在追問中引導學生深入展開思考，學生的思維就有可能得到有效的提升。上述問題因為涉及無限，因而對多數學生而言有相當思維難度。當學生提出永遠折不完時，教師是否可以現場演示一下對折的過程，讓學生意識到，我們只要對折6～7次就已經對折不下去了，從而引導學生從“實物的對折”向“思想的對折”邁進，最終在頭腦中完成對相關問題的把握。當學生提到，我們可以不停地畫下去時，教師不妨展示 “已經畫滿半徑的圓”，并對“能夠畫出無數條半徑”提出質疑，逼迫學生的思維向縱深處開掘，進而反思點可以無限小、線可以無限細，從而真正對圓為何會有無數條半徑獲得深刻的把握。

可以說，語言給了學生展現思維的機會，也給了教師把握學生思維的機會，更給了教師引導學生的思維由零散走向結構、從膚淺走向深刻的機會。我們的數學教學，要關注學生的語言，并透過語言“看到”學生的思維，引領學生的思維發展。

G623.5

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1005-6009（2017）25-0048-03

張齊華，南京市北京東路小學（南京，210008）副校長，高級教師，江蘇省數學特級教師。