玩數獨學數學

楊健輝　張瑋

[摘 要]數獨的解答過程往往復雜且有一定的難度，但只是將數獨當作游戲又過于“簡單”和“單調”。為此，挖掘和提煉數獨游戲背后的一些數學元素，重新設計和包裝數獨游戲的活動素材，將玩四宮數獨游戲和學習數學結合起來，讓學生在玩數獨游戲的過程中學習數學知識。

[關鍵詞]四宮數獨；游戲；數學題；數學學習

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）05-0004-02

數獨，是一種填數字的游戲，看起來平凡普通、規則簡單，卻因其可訓練嚴謹的邏輯推理能力而風靡全球。根據使用數字的數量不同，數獨可以分為四宮數獨、六宮數獨和九宮數獨等。解九宮數獨題的思考過程過于復雜，對于小學生來說存在很大的困難，因此教師可以考慮將四宮數獨游戲和一些數學知識結合起來，讓其適合學生學習和玩耍。

我們試圖從四宮數獨游戲中各個數字之間要滿足的邏輯關系出發，挖掘和提煉數獨游戲背后的數學元素，重新設計和包裝數獨游戲的活動素材，讓學生在玩數獨游戲中學習數學知識，初步培養學生的數學素養，改變組織學生玩數獨游戲時只注重玩樂而輕視學數學的傾向。

一、注重“數的計算”，培養計算能力

數與計算通常是連在一起的，有數的地方往往就會產生計算，數獨游戲也不例外，它能在推理的同時讓學生感受到計算是一種樂趣。

【例1】 在圖1的方格中，每行、每列都有1～4這四個數，并且每個數在每行、每列都只出現一次。請你在單元格中以“■”（橫或豎）的形式選取出所有三個依次相鄰的空白單元格，并求出這三個空白單元格里的數的和，答案分別是多少？

解：根據四宮數獨的游戲規則，每一行、每一列填入的數都是1～4，因此每一行、每一列的“數字和”都是相等的，即1+2+3+4=10。根據這個特點，先找出符合條件的三個相鄰的空白單元格，再利用“和-一個加數=另三個加數”，即用10減去這三個相鄰空白單元格所在的行或列中的已知數，便可求出這三個相鄰空白單元格的和的值（盡管不一定知道這3個空白單元格中具體是何數）。如第二列的“4”的三個相鄰單元格的和就是“10-4=6”。同理，可以求出第三列、第二行、第三行中三個相鄰空白格中的數的和分別是9、7、8。

【例2】 在圖2的四宮數獨中，已知涂色部分的7個數字的和是18，A是幾？

解：這道題是在數獨的數字特點上融合重疊問題設計的。學生一般會采用先完成四宮數獨，再具體求解的思路來解答。如果不先解答四宮數獨，可以求出A是多少嗎？根據四宮數獨的游戲規則，每一行、每一列都要填上數字1～4且不重復，那么每一行、每一列的數字和是10，這里就引出了矛盾：“任意一行數字的和是10，任意一列數字的和也是10，那么一行和一列的數字和應該是20，為什么題目的條件卻說涂色部分（一行、一列）的數字和是18呢？”學生仔細觀察便可以發現其中（7個數字的和）有蹊蹺：由于A是重復的，而重復部分只算了一次。至此，就可以引導學生理解“由于數字和18比20少了2，所以重復部分（A）應該是2，而已涂色部分中的“4”和“1”都可以忽略不計。”

以上兩個例題不僅可以作為常規的四宮數獨題讓學生進行游戲（根據推理填數），也可以另辟蹊徑：通過圖中給出的數和這些數要滿足的關系進行相關計算。這樣，由于計算過程中蘊含著嘗試、排除、推理等要素，學生就能充分感受到數學的魅力。

二、關注“整體思考”，感悟數學思想

無論是數的計算，還是數字推理，其背后都隱含著豐富的數學思想，體會數學思想的運用并感受數學思想的魅力都是在進行數學游戲時不可或缺的。

【例3】 在圖3的四宮數獨中，所有處于空白單元格中的數字和是幾？

解：這是一道不難解答的四宮數獨題，但我們更希望學生能在整體思考后再通過計算解答此題。根據四宮數獨的游戲規則，從行的角度看，每一行都必須填入1～4四個數，而整個四宮數獨有4行，所以整個數獨的數字和就是40（從列來考慮也一樣）。再觀察給定的數字（即已填入的數字）和是20，因此空白部分單元格的數字和就顯而易見了：從40里減去20，結果是20。

【例4】 在圖4所給定的四宮數獨中，所有空白部分單元格的數字和是幾？

解：這道題可以引導學生用“總數-已知數字和=空白數字和”的思想進行求解。需要注意，本題有一個“坑”：處在交叉位置上的“1”，學生稍不注意就會錯“看成”兩組“1～4”。因此，除了引導學生思考“四宮數獨中所有的數字和是多少”外，還要讓學生考慮問題“已填入的數字和是多少”，并追問：“為什么已填入的數字和不是20？”這樣，學生很快就可以求出空白單元格中的數字和是21。

同樣的道理，解答以上兩個例題時，也可先推斷出圖中的全部數字再求出答案，然而運用數學思想巧妙求解的方式更能讓學生感受到數學思想的魅力所在。

三、嘗試“列舉計數”，培養推理能力

在數獨游戲中，探究某一單元格填數有幾種填法也是一種很好的數學學習素材，像“逐一列舉”“分類計數”“綜合討論”等都是重要的數學方法。由于學生的水平和能力有限，設置問題時一定要注意難度的調節，素材不宜過多也不宜太抽象。

【例5】 在圖5所給定的四宮數獨中：

（1）第一行已填入1和2，那么單元格a有幾種填法？

（2）如果第一行已按要求填滿數字，那么第一列的單元格b有幾種填法？

（3）如果第一行和第一列均已按要求填滿數字，那么第二列第2行的單元格c有幾種填法？

為了幫助學生更深入地了解四宮數獨中數字排列的構成情況，訓練學生嚴密的邏輯思維能力和敏銳的觀察能力，我們特意設計了這樣一組關于四宮數獨填數的排列問題。

教學時，可以先呈現圖5（為了降低思考難度，數獨中已填入兩個數），提出問題：“第一行的單元格a有多少種填法？”學生不難發現此處有兩種填法，可填3或4，因此這個單元格一共有兩種填數方法；繼而稍作提升：“如果這行只填了數字1，那么單元格a有多少種填法？”引導學生想到有3種方法；接著繼續提問：“如果第一行已按要求填滿了數字，那么第一列的單元格b有幾種填法？”有部分思考不夠嚴密的學生會掉入“陷阱”，認為就是三個數的排列問題，很快會說答案是3，這時教師可以讓學生通過擺數字卡片或用紙筆列舉結果等方法進行嘗試，并就 “第一列第2行的單元格b只能填哪個數”展開討論，讓學生在討論中發現問題：“這個單元格不能填2，因為它與第二列第1行單元格屬于同一宮！”此時學生不但清晰地掌握四宮數獨的填數規則，思維的嚴謹性也得到有效訓練；最后再問：“如果第一行、第一列已按要求填滿數字，那么第二列第2行的單元格c有幾種填法？”有了前面的思維訓練經驗，學生不僅會考慮“行”“列”的因素，還會結合“宮”的要求進行思考，很快就能發現這個單元格是第一宮唯一剩下的單元格，所以它的填法是唯一的。

數獨游戲最大的特點就是運用推理的方式進行游戲和學習。其實，在思考某一個問題時做到不重復、不遺漏且有序等要求，是需要經過嚴格訓練的，而這個訓練素材就要靠教師精心設計、改編和開發。

四、鼓勵“嘗試探究”，培養探索能力

很多時候游戲不僅僅是娛樂，因為無論是數字的推理還是大光明論的獲得，都需要學生在活動中通過探究而得，這正是培育學生探索意識、訓練學生探究能力的極好過程與機會。讓學生在游戲中活動、在活動中思考、在思考中積累，正是我們提出的教育主張“玩游戲、學數學、育素養”的具體體現。

【例6】 圖6是一個四宮數獨。已知中間4個單元格（內四角）的數分別是1、2、2、4，求外四角4個單元格（四個灰色格）中的數字積是多少。

引導學生從某個特殊情景想起：在這個四宮數獨中，先考慮內四角中已有的數字“4”，去掉其所在的行、列和所在宮的格子，要在其他3個宮中按要求填上另外的3個“4”。經過嘗試不難發現至少有一個“4”一定會填在某一個外四角的位置上；因為內四角上有四個數字，這四個數依剛才的結論都必須在外四角上各出現一次。因此，可以得出 “內四角4個單元格的數字會與外四角4個單元格的數字相同”的結論（注意區分內四角上有相同的數字）。再看本題已給出內四角上的數，要求外四角上四個數的積，就可以直接得出乘積是16，而不需要具體去考慮各個位置的數是幾。

解這道題是通過先探索命題已具備的一些性質和特征，再利用這些特征去解決問題，從而求得答案的，這是數學中經常見到的解決問題模型之一。在游戲活動中，安排學生經歷類似的探究過程，能讓學生通過力所能及的思考和推理進行探究，從中學習數學方法，積累活動經驗。

數獨，既然是一種與數字相關的游戲，必然會有很多與數學相關的要素可以挖掘。只要我們細心思考、用心研究，將其背后隱藏的計算問題、排列問題，乃至其他更有趣的數學問題進行重新開發、設計和包裝，數獨就不再是簡單的數獨，而是數學課堂教學的優秀幫手。

（責編 金 鈴）