數學游戲“算24點”的新變化與拓展

簡敏豪　楊健輝

[摘 要]“算24點”是一種撲克牌游戲。課程標準強調計算教學應該減少單純的技能性訓練以及繁難復雜的計算內容，因此，可以根據年級、學段的不同要求，將常規的“算24點”游戲及問題進行一定的改進和擴充，引導學生思考游戲背后的數學問題，展現“算24點”游戲和其他數學內容的聯系，在學和玩中間尋找平衡點，充分體現“玩游戲、學數學、育素養”的教學主張。

[關鍵詞]算24點；數學游戲；變化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）05-0006-03

“算24點”是流傳很廣的撲克牌游戲：從四種花色的1（A）至10共40張牌中任取4張，根據牌面上的數字進行四則混合運算（每張牌只能用一次），使得計算結果為24。不同地方的玩法略有差別，比如說用J、Q、K分別代表11、12、13點，共52張牌參與游戲。“算24點”游戲簡單易學、便于操作，可提高口算能力，是一項集學習、娛樂于一體的數學活動。多個版本的中小學數學教材都安排了“算24點”的數學游戲內容，但課程標準強調計算教學應該淡化一些單純的技能性訓練以及繁難復雜的計算內容，主張在學習過程中讓學生親身體驗、感受和理解計算的意義以及這些內容所蘊含的數學思想。因此，我們根據年級、學段的不同要求，將常規的 “算24點”游戲及問題進行了一定的改進和擴充，以適應新形勢下培訓與活動的新要求。這些變化、改進的著眼點主要有兩處：一是牌組數進行運算組合的新要求；二是原有規則的某些限制。

下面結合廣州市小學生數學游戲活動研究團隊的一些思考和實踐，談談撲克牌計算游戲活動“算24點”在教學中的一些新的變化與拓展。

活動變化一：靈活匹配游戲中的運算組合要求

從數學的角度看，“算24點”其實是尋找一種算法的過程，游戲本身對數學基礎知識的要求并不高，確定四個數運算的先后順序即可。然而，一個牌組（4張牌）經過3次運算，可能有多種方式湊成24，其中的變化往往是復雜多樣的，可能會給參與者造成一定的困難。因此我們考慮對“算24點”游戲的運算規則進行一定的限制，比如要求算式中只有2種運算，從而降低游戲難度，增強游戲的可玩性和成功率，這對于低年級的學生來說是符合其學習要求和規律的。

1.限定只用加、減法計算

剛開始玩“算24點”游戲，低年級學生都興致勃勃，十分投入，但由于自身的知識和計算經驗有限，他們（特別是還未學習乘、除法的一年級學生）在玩“算24點”時一般只會把整數的加減法作為常規算法，這時可 “暫時”改編游戲規則，限定只用加、減法兩種運算玩“算24點”游戲。

以下是一個游戲活動培訓課例的內容：

（1）給出4張點數為10的撲克牌（10 10 10 10），只用加或減法，能算出24點嗎？（顯然不能）

（2）給出3張點數為10的撲克牌（10 10 10 __），若添加1張牌，只用加或減法，能否通過計算得到24點？

分析：學生容易想到10+10+10=30，只需要添加1張牌“6”，再進行減法計算即可得：30-6=24。

（3）若給出2張點數為10的撲克牌（10 10 __ __），思考：若添加2張牌，只用加、減法，怎樣算24點？

分析：這里需要添加2張牌，給予學生更大的思考空間。由于10+10=20，而游戲的目標指向結果為24，則剩下牌組怎樣與20搭配組成24，也就是接下來自選的兩張牌怎樣得到4，對于學生來說是個有意思的思考過程。根據計算經驗，他們對2張自選牌的選擇很可能就會從“加”和“減”兩方面去探索。若從加法去考慮，有1+3=4，2+2=4，使得20+4=24；若從減法去考慮，選擇則會更加豐富，如13-9=4、12-8=4、11-7=4、10-6=4、9-5=4、8-4=4、7-3=4、6-2=4、5-1=4，其中可能出現的試錯過程會讓他們體驗到無序列舉的弊處，激發他們想到枚舉過程需要有序，從而體會到有序思考的數學思想。

（4）給出1張牌（10 __ __ __），思考：若添加3張牌，只用加減法，怎樣算24點？

分析：根據之前的活動經驗，學生會自覺地思考自選的3張牌組應算出怎樣的數，從而加上已知的10得出24。單純計算一道題的結果不重要，營造一個有想象力的思維空間才更有價值。在這里更多的自選牌組會帶來更大的思考空間，能讓學生擦出更多智慧的火花。

2.限定只用乘除法（或限定只用乘加，或乘減，或除加，或除減）計算

不同的玩法更多時候是為了配合不同時段的教學需要，比如剛剛學習了乘法（或除法，或混合運算等），就可以將“24點”作為實踐性作業在課內、外進行活動，既是游戲，又是訓練，還活躍了學習氛圍。另外，當學生開始學習乘、除法時，他們算“24點”常常首選乘、除法進行數的配對計算。因此，可以給出一些有特點的牌組，如（1 1 3 8）（2 12 5 5）（1 2 3 4）等，限定只用乘、除法兩種運算玩“算24點”游戲。這樣既有利于他們鞏固利用2×12、3×8、4×6等數據組合求解的基本技巧，又能讓他們更有目的地觀察數據特點，在乘除法框架之下構造合適的算式，有助于他們進一步體會乘除法之間的關系與乘除法和加減法的區別。

要注意的是，對于“算24點”游戲而言，允許使用兩個層級的運算時就意味著游戲難度有了較大的提高，需要參與者更加細致地考慮算式中各數的運算順序對結果的影響，有時候還需要用括號改變運算的先后順序，這對于剛開始接觸乘加、乘減（或除加、除減）混合運算的學生來說不是一件容易的事情。因此，可以給出一些既定的牌組，限定只用乘加、乘減（或除加、除減）算24點，作為學生適應這一學習時期的階段性玩法，為往后學習多位數乘除法打下基礎。

如牌組（2 2 3 9），若學生明確了算式中只用乘法和加（減）法，思路就會非常清晰，既要分析數據特征，又要考慮運算順序，如先加（減）后乘，還是先乘后加（減），或加（減）乘、加（減）等，這相當于中心在一個相對簡單的運算要求背景下對算式進行了結構性分析，這些思考有時候可以促成一題多解。如上述牌組容易得出9×2+3×2=24、（9-3）×（2+2）=24、（9-3）×2×2=24等幾種解法。這有助于學生在具體情境中能更深入理解乘加、乘減（除加、除減）的計算方法和算理，初步了解“算24點”游戲可能出現的同一牌組有不同計算方法的情況，體驗解決問題策略的多樣性，提高類比、遷移能力及求異思維能力，養成主動探究的學習習慣。

在實際教學中，由于教學任務設置的不同，“算24點”游戲能夠顯現不同的教育價值。以上的改編設計，從運算規則要求方面進行細致考量，很好地體現了“算24點”游戲的知識性和趣味性。游戲本身對數學基礎知識的要求并不高，但任務起點的適度“降階”為學生創造了寶貴的思考空間，他們不再只鉆營方法和技巧，而是在既定規則下對牌組的變化開展靈動的思考，從簡單到復雜，從答案單一到逐步開放，既符合不同年齡和水平學生的游戲需求，又對應了不同時期教材的教學重點和要求，豐富了游戲本身的玩法；不但訓練了學生的有序思維，還循序漸進地幫助了學生融合與拓展四則運算的學習內容。

活動變化二：將計算與思考有機地結合起來

在常規的“算24點”游戲中，給出一個牌組（4張牌）后，學生的第一個念頭是什么？通常是運用記憶中的運算模型，嘗試構造算式去湊24。這顯然容易讓游戲活動漸漸往模式化的方向發展，規則的呆板和學生的生搬硬套會讓游戲逐漸變得索然無味。我們不禁思考：在既定的游戲規則下，如何設置一些有意義的“前置障礙”，如何從牌組選擇上給予學生更大的自由度，拓寬學生的思考空間呢？鑒于牌組的組合情況非常多樣，我們嘗試選取學生熟悉的4個數字都相同的牌組，分別是（2 2 2 2）和（3 3 3 3），再把兩個牌組疊加，組成一個8張牌的牌組，構成給學生從中自由選擇的牌組樣本。

活動問題如下：

從一副撲克牌中取出以下8張牌，再從中每次任意選出4張為一組算24點。請寫出其算式及結果。（取牌時只考慮點數，不考慮花式及顏色，結果可包含無解。）

在活動的初期，“任意選出4張為一組算24點”的游戲規則容易吸引學生眼球，作為一個顯性的活動讓他們把游戲歸到已有的活動經驗中，從而促使他們馬上開始選牌和計算。當游戲活動開始時，“隨意選”4張牌進行計算是不難，但學生的困惑卻逐漸產生并增大，如“牌組選全了嗎？”“還有哪些牌組沒有被計算過？”等。這就關聯到本活動的一個隱性的游戲活動內容——考慮問題的有序性。如果讓游戲者重新審視題目，他們自然會意識到，應該先思考如何有序選擇牌組再開展計算活動。因此，教師要求學生借助記錄本，將已有的撲克牌點數和計算過程進行整理，從中發現一些聯系或某種規律性的關系，讓學生通過取撲克牌進行有序思考，按“取4個2、取3個2……不取2”的順序先完成取撲克牌的任務，再具體考慮計算的過程。這樣，把學生活動從“無序”引向“有序”，游戲活動的訓練就能落到實處。以下是解答過程：

以上的改編，把計算和思考有機地結合起來，促使學生拋棄片面地算的觀念，學會有序地進行數學思考，讓學生在競技爭先的感性歡愉之外，多了一份對數學游戲的理性思索。

活動變化三：追尋“假如得不到24點呢？”

在“算24點”游戲中，一個牌組的解法有可能是多種多樣的。研究發現，對于4個數均在1～10中的715種情況，有566種有解，有解率為79.16%；對于4個數均在1～13中的1820種情況，有1362種有解，有解率為74.83%。也就是說，對于某一隨機牌組，存在唯一解、多解和無解的情況。在實際游戲活動中，由于一些牌組不能湊成24，學生參與活動時會因陷入不可知狀態而失去耐心和興趣。

怎樣克服這個游戲活動的弊端呢？我們有如下設想：

1.計算結果為12點或36點的算式

“計算結果為12點”適合低年級，“計算結果為36點”適合高年級。因為算12點或算36點有解的概率很大，游戲更容易順暢地進行，而且12和36作為有多個因數的合數，讓游戲有了更多的變化，計算起來更具有技巧性，對思維的訓練也更有幫助。如用牌組（3 4 6 7）算24點是無解的，但可以引導學生開展 “算12點”或“算36點”的活動，如6×[7-（4-3）]=36或4×[7+6÷3]=36。這有利于學生回歸到計算本身，進一步深刻理解“算24點”這類計算游戲的本質。

2.計算結果最接近24點的算式

如果遇到不可能得到24點的4張牌，可以要求學生列出結果最接近24的算式（小學階段盡可能要求結果是整數）。例如牌組（2 4 7 13），這是一個以常規“算24點”規則無法得出24的算式，此時可給出一個更為“寬泛”的要求：用這幾個數，寫出結果最接近24的算式。學生不再用3×8，4×6，18+6，14+10等技巧性模板作為思考坐標，而是把結果指向22、23、25、26等，較容易得出算式4×（2+7）-13=23、（13-4）×2+7=25、13×2-7+4=23、13×2-（7-4）=23。無論是計算多少點，其本質都是嘗試計算，這也是這個游戲最有特點和魅力的地方——算。

從以上的分析可知“有解率”決定著游戲的可行性，而“算式結構”決定著游戲的趣味性和靈活性。對學生來說，脫離了常規的模式化方式，算式結果更開放，計算的味道更濃。創新的規則給予學生不一樣的活動視角，能激發學生更多的思維火花。

活動變化四：嘗試非常規或特殊的解答思路

對于“算24點”游戲活動，在游戲規則彈性可變的條件下，不同的游戲者會有不同的玩法和理解。低年級學生可能把“整數的加減法”作為他們的常規算法；高年級學生可能把“加、減、乘、除”中“整數與分數的四則運算”作為他們的常規算法；初中生則可能把“加、減、乘、除、乘方、開方的六則運算”作為他們的常規算法……不同的人都有自己知識經驗范圍內的算法模型。一般情況下，只要規則足夠靈活，學生自然會去聯想已經學過的數學知識和熟悉的數學思想方法，通過推理和演算，甚至會得到一些特殊的解題方法。如用牌組（1 4 6 5）算24點，小學高年級學生首先想到的是4×6=24，這時還有1和5兩個數沒有用，于是他們用自己熟悉的分數乘除法，將算式變形為4÷（1-5÷6）=24或6÷（5÷4-1）=24。小學低年級學生首先有可能想到的是把這些數“組合”進行加減運算，于是“65-41=24”這樣的“天才算法”就誕生了。

基于以上認識，我們還可以創設一些特別的規則，引導學生選用非常規或特殊的思路得到結果：對于由5張牌組成的錯誤算式“62-12=24”，只移動一張牌，使算式成立。這道趣題需要學生拋開之前的游戲經驗，跨過原來的位值制、十進制思維，運用冪運算知識展開思考，得出62-12=24。這樣的思考過程能培養學生的創新意識。在“算24點”游戲中，經歷了由傳統整數狀態下的計算到可以用分數進行計算（如5×（5-1÷5）=24），再到增加“冪的運算”（如52-9÷9=24）之后，學生自然能感受到隨著所學知識的逐漸增多，自己在處理問題時所用的方法也會越來越豐富。

“算24點”是一個內涵豐富、趣味十足的數學游戲活動。如果對它作進一步的挖掘，還可再開發一些“另類”的規則形式，如用3張或者5張牌算24點等，讓游戲更具有探索性。值得注意的是，繼承傳統是創造革新的前提，而創造則是傳統的延續和再生。我們在進行游戲規則的改變與拓展之可行性研究中，十分注重在傳統和創新之間尋找平衡點。首先力求深刻理解游戲本身的教育價值，準確選取游戲的核心元素，使它們應不同教學要求和需要去重組、整合、創新，展現它們與數學知識的豐富聯系，讓參與者或是從淺入深，或是從簡單到復雜，在玩與學中探尋游戲背后的數學原理與思想方法，充分體現“玩游戲、學數學、育素養”的教學主張，讓學生玩在其中、樂在其中、算在其中、思在其中，進而使其數學素養及計算能力得到有效提升。

（責編 金 鈴）