數學思想：必備品格的精髓

○江蘇省南京市長江路小學　　周衛東

一、解讀：厘定數學思想的內涵

從哲學角度來看，“思想”即“觀念”，即社會存在于意識中的反映。而所謂數學思想，人們對數學研究統一的本質性認識，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是被人們反復運用和確認的、帶有普遍意義和相對穩定的特征，它直接支配著數學的實踐活動，是對數學規律的理性認識。由此看來，數學的靈魂是思想，它決定了數學的經驗基礎、思考核心和發展目標。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。”其中最基本的數學思想有抽象、推理、模型，數學學科獨有的其他的一些數學思想，都可以看成是由這三種基本思想派生出來的。它們之間的關系可以形象地用下圖表示。

抽象派生的思想有：分類的思想、對應的思想、集合的思想、有限與無限的思想、數形結合的思想、對應的思想、符號的思想、對稱的思想、變與不變的思想等。

推理派生的思想有：歸納的思想、演繹的思想、公理化思想、化歸的思想、聯想類比的思想、逐步逼近的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等。

建模派生的思想有：簡約化思想、量化的思想、函數的思想、方程的思想、優化的思想、隨機的思想、抽樣的思想等。

二、感悟：洞悉數學思想的魅力

教學是一種洞見。數學的精髓是什么？學習數學的價值是什么？一切都指向數學思想，我們要全面認識到數學思想在數學教育、專業發展中的重要作用。

1.教材的靈魂是數學思想。

縱觀整個小學階段數學教材的編排體系可以找到一明一暗兩條主線：數學教材中知識的編排是有形的，是一條明線，而其中隱含在知識體系中的卻是一條暗線；前者是教學內容，后者是為什么這么寫；在“有形”的數學知識中，必定蘊含著“無形”的數學思想方法。這就需要我們具備整體意識，從數學思想的角度去把握教材，去探尋教材的靈魂。

從教材的構成體系來看，數學教材由兩條“河流”組成：具體的知識構成這一易于被發現的“明河流”和數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它們是骨架與血脈的關系。有了數學思想作靈魂，各種具體的數學知識才不成為孤立的、零散的東西。正因為有了數學思想，“游離”狀態的知識才會凝結成優化的知識結構，形成一個有機的整體。

2.設計的核心是數學思想。

從教學層次設計分析，數學課堂教學設計應分宏觀設計、微觀設計和情境設計，我們的教學設計應充分從這三個層面進行分析思考。無論哪個層次上的設計，其目的都是為了讓學生參與到獲得和發展認知的數學活動過程中去。因此，教學設計不能只停留在數學認識過程中的“還原”，更應該有數學思想的飛躍和創造。

以空間與圖形領域中“圖形與位置”內容的安排為例。這部分內容主要包括二年級用“第幾排第幾個”等方式描述物體的位置，五年級用“數對”表示方格圖上點的位置，以及六年級用“方向和距離”表示平面圖上點的位置。上述內容中所蘊含的數學思想主線是“依據小學生的年齡特點和認知水平，讓他們逐步感知數與平面圖形上點的關系，培養符號感，體會數形結合的基本方法和價值”。其中，用“第幾排第幾個”等方式描述物體的位置，主要著眼于學生已有的生活經驗；用“有序數對”表示方格圖上點的位置，則是對生活經驗的提煉，也是對感性認識的提升；用“方向和距離”確定平面圖上點的位置，其基本思想與用“數對”表示點的位置是類似的，但它引導學生從不同角度豐富對相關數學思想方法的認識。

3.素養的提升是數學思想。

數學課堂教學是教師“主體表演”的過程，是教學思路、語言、動作、板書、情感交流等融于一體的過程，面對幾十個充滿靈動生命的個體，教師的數學積累只有達到一定的思想深度，才能與學生進行有價值的對話交流，準確辨別課堂教學中所發生的問題，給出中肯的分析，敏銳地把抽象的問題形象化、感性的問題規律化、復雜的問題簡單化，才能機智地發現學生的思想火花，并及時加以提煉升華。

有人把數學課堂教學質量理解為學生思維活動的質和量，也就是學生知識結構、思維方法形成的清晰程度和參與思維活動的深度和廣度。對學生的思維活動我們應該追求“新”“高”“深”：即：學生的思維活動要有新意，能形成一定高度的數學思想，參與的教學活動達到一定的深度。有思想深度的課，能給學生留下深刻的知識理解和長久的思想激動，我們進行數學教學的根本目的，是通過數學知識和觀念的培養，讓學生獲得一種思想的熏陶，形成一種“數學頭腦”，使他們在問題解決的每一個過程中，都能帶有鮮明的“數學色彩”，這樣的數學才能實現真正的實效和長效，真正提高學生的數學素養。

三、實踐：致力數學思想的教學

我們的數學課堂應該致力追求數學思想的價值引領，充分挖掘教材中的數學思想，在教學中有意識、有效地加以滲透和運用，啟迪、發展學生的數學思維，激發學生的學習興趣和學習主動性，促使學生形成牢固、完善的認知結構，讓學生在潛移默化中去領悟、運用，并逐步內化為數學思維品質。

1.深度挖掘教材。

堅持教材分析的整體性。我們應該深刻理解小學數學的知識體系，通曉小學數學全部的教學內容，并逐步了解各部分滲透的數學思想方法，以便滲透時逐步推進，避免顧此失彼。這就要求我們從整體上把握教材，認清教材特點，梳清教材脈絡，理清教材思路，從整體上構建教材中數學思想的立體框架。

堅持教材分析的獨特性。教師應根據學生的認知規律和現有水平，領會教材的編寫意圖，同時也不應受教材的約束和限制，要學會靈活地處理教材，創造性地使用教材，實現數學思想有機融合在數學知識的形成過程中。在研讀教材時，我們要多問自己幾個問題，如：怎樣才能喚起學生進行深層次的數學思考、如何引導學生主動探究新知識、怎樣根據教材的編排意圖適時地滲透數學思想方法等，努力讓數學課本上看得見的思維結果折射出看不出的思維活動過程，弄清新知識的形成過程，將教材的編排思想內化為自己的教學思想，找準新知識教學的生長點。

如在一年級教材中，經常會出現這樣的習題：

雖然這些題目只是要求學生在空格中填上一個合適的數，但我們應該明白，若把□換成x，則上面的題目就變成了不等式，這時x就是一個變元符號，就會有一定的取值范圍，這一個“位置占有者”的作用就會凸顯出來。我們可以引導學生思考、討論一些這樣的問題：□內最大能填幾？最小呢？最多能填幾個數？同樣，在此基礎上還可以進一步深化：□+○＜7，可以填些什么數？這樣處理更好地滲透了符號變元這一數學思想，教材的思維價值才能顯露出來。

2.注重過程教學。

數學的思想往往呈隱蔽形式，積沉、凝聚在數學結論的背后，常常滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中。我們應該有效地引導學生經歷知識形成的過程，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，體驗到知識背后所負載的方法及蘊涵的思想。

比如，教學“乘法分配律”一課，在已經累積了大量兩式相等的例子的基礎上，我讓學生觀察兩式相等的特征，而后用自己喜歡的方式表示自己的發現。學生的思維成果非常豐富：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙；（△+□）×○=△×○+□×○；（a+b）×c=a×c+b×c……而后，我出示下圖，引導學生感悟：“你們的表示方法有異曲同工之妙，都可以用如下的圖形表示出來。既可以用（a+b）×c表示，也可以用a×c+b×c表示，就得到（a+b）×c=a×c+b×c，這是乘法分配律的直觀模型。”最后再讓學生想象：如果這樣的圖形由3個、4個或多個長方形組成，那么關系式該怎么改？圖形又該怎么畫呢？

這樣的設計，活化了數學思想的教學，充分彰顯了“乘法分配律是一個數學模型”的特質，讓學生感悟到，任何數學模型都是概括抽象的產物，任何一種數學模型也都體現著數學的抽象美和簡潔美。

3.追求數學應用。

數學思想的形成是一個循序漸進的過程。只有經過理解、應用、促疑才能使學生真正領會，形成自覺運用數學思想的意識，建立起學生自我的“數學思想系統”。

如在學習圓柱體積時，學生運用化歸思想推導出圓柱體積公式后，教師并沒有變換情境讓學生停留在反復利用公式計算的層面，而是出示這樣一個問題：你能知道這個土豆的體積是多少嗎？沉思后，一些學生舉起了手。有一位學生先往圓柱體容器里倒了些水，量了量，再把土豆放進圓柱體容器里又量了量，然后拿出土豆又量了量，興奮地說：“老師，我有辦法了，土豆是個形狀不規則的物體，但我可以把它轉化成圓柱體，你們看！圓柱體容器里上升的水的體積就是土豆的體積。”在他的啟發下，又有學生說：“也可以把它放在長方體或正方體的容器里，只要是放在我們學過的規則形體里就能求出土豆的體積?！痹谥R的應用理解過程中，數學思想在學生的頭腦里已初步形成。

我們只有巧妙設計應用問題，學生才能掌握比數學知識更為重要的東西，這些美妙的體驗將使他們永遠記住今天發現的這個結論。這樣進行教學，學生所學的和所用的知識是鮮活的、富有生機的，學生的數學思想和數學素養才能得到質的飛躍！

4.強化反思體悟。

數學思想的獲得，一方面需要我們進行有意識地滲透和訓練，但更多的是要靠學生自身在反思過程中領悟，這一過程沒有人能夠代替。數學思想是對數學知識的高度抽象，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中。在問題解決的過程后，我們應該因勢利導地讓學生回顧反思，體會自己的研究過程，從而感悟其中的數學思想和技巧，使得學生的創造性活動得到再次升華。

在《平面圖形的面積復習》一課中：

師：我們學過哪些平面圖形？各種圖形的面積怎樣計算？每種面積公式是怎么得來的？

（學生口述各種圖形的計算公式、公式的形成過程，教師通過課件顯示各種公式的動態產生過程）

師：我們最先學習哪一種圖形的面積公式？長方形面積公式可推導出哪些圖形的面積公式？平行四邊形面積公式又可以推導出哪些圖形的面積公式？

教師根據學生回答依次出現各種圖形，形成網絡圖。（圖略）

師：看了這幅網絡圖，你有什么發現？

生1：正方形、平行四邊形、圓都是通過長方形面積公式推導出來的。

生2：平行四邊形和圓都是用轉化的方法推導出面積計算公式。

生3：三角形和梯形面積公式是根據平行四邊形面積公式推導出來的。

生4：各種平面圖形之間存在一定的聯系。新圖形的面積公式都是通過轉化變為已學過的圖形，再根據已學過圖形推導出新圖形的面積公式。

師：板書：

師：這六種圖形還有著怎樣的聯系呢？以小組為單位重新整理，構建不同的網絡圖。

（各小組介紹，有的按圖形公式推導過程構建網絡，有的按學習循序形成聯系，有的按邊的特征歸類劃分……）

教師在交流中突出“轉化”思想在幾何知識中的應用，同時又通過不同組合發現各種圖形之間的聯系，滲透循環往復螺旋式上升的數學思想。

因此，我們在教學中要適時引導學生對數學學習過程進行自我反思，給予提煉和概括的空間，讓學生形成明確的數學反思習慣。由于數學思想分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數學思想來解決。因此我們應該有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想的能力，這樣才能真正把數學思想的教學落在實處。