羅爾定理應(yīng)用中構(gòu)造輔助函數(shù)的兩種方法

邱永利

【摘要】本文介紹了羅爾定理應(yīng)用中構(gòu)造輔助函數(shù)的兩種方法——導(dǎo)數(shù)法和常數(shù)法.

【關(guān)鍵詞】羅爾定理；輔助函數(shù)；構(gòu)造

【項(xiàng)目】河套學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（HTXYJY16001）

微分中值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)整體性質(zhì)的工具.羅爾定理是微分中值定理的基礎(chǔ)定理.在羅爾定理的應(yīng)用過程中，構(gòu)造輔助函數(shù)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).構(gòu)造輔助函數(shù)的方法很多，為了與教材同步，便于學(xué)生理解掌握，這里只介紹兩種輔助函數(shù)構(gòu)造方法：導(dǎo)數(shù)法和常數(shù)法.

一、導(dǎo)數(shù)法

所謂導(dǎo)數(shù)法就是應(yīng)用我們熟悉的導(dǎo)數(shù)知識(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.具體地，將要證明的結(jié)論中的ξ換為x，移項(xiàng)使結(jié)論變?yōu)閒′（x）=0的形式，需要找到一個(gè)函數(shù)F（x），使其導(dǎo)數(shù)為f（x）或f（x）的一個(gè)因式.

情形1結(jié)論為ξf′（ξ）=λ的形式.

[f（x）-λlnx]′=f′（x）-λx=xf′（x）-λx，當(dāng)[f（x）-λlnx]′x=ξ=0時(shí)，[xf′（x）-λ]x=ξ=0，可構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-λlnx.

例1設(shè)0

證明將待證結(jié)果變形為ξf′（ξ）=f（b）-f（a）lnb-lna，

設(shè)輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（b）-f（a）lnb-lnalnx，F(xiàn)（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，并且F（a）=F（b）=f（a）lnb-f（b）lnalnb-lna，由羅爾定理可知，在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F′（ξ）=f′（ξ）-f（b）-f（a）（lnb-lna）ξ=0，即 f（b）-f（a）=ξf′（ξ）lnba.

情形2結(jié)論為nf（ξ）+ξf′（ξ）=0的形式[1].

[xnf（x）]′=nxn-1f（x）+xnf′（x）=xn-1[nf（x）+xf′（x）]，

當(dāng)[xnf（x）]′x=ξ=0時(shí)，[nf（x）+xf′（x）]x=ξ=0（x≠0）.

可構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=xnf（x）.

例2已知函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0.

證明至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=-2f（ξ）ξ.

證明將結(jié)果變形為2f（ξ）+ξf′（ξ）=0，設(shè)輔助函數(shù)F（x）=x2f（x），F(xiàn)（x）在[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理可知，

2f（ξ）+ξf′（ξ）=0，即f′（ξ）=-2f（ξ）ξ.

情形3結(jié)論為f′（ξ）+λf（ξ）=0的形式[1].

[eλxf（x）]′=λeλxf（x）+eλxf′（x）=eλx[λf（x）+f′（x）].

當(dāng)[eλxf（x）]′x=ξ=0時(shí)，[λf（x）+f′（x）]x=ξ=0（eλx>0）.

可構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=eλxf（x）.

例3已知函數(shù)f（x）在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=f（a）=0.

證明至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，a），使得f′（ξ）-2f（ξ）=0.

證明設(shè)輔助函數(shù)F（x）=e-2xf（x），顯然，F(xiàn)（x）在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（a）=0，由羅爾定理知，在（0，a）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

F′（ξ）=-2e-2ξf（ξ）+e-2ξf′（ξ）=0，

e-2ξ[-2f（ξ）+f′（ξ）]=0，即f′（ξ）-2f（ξ）=0.

二、常數(shù)法

所謂常數(shù)法就是首先將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令其為常數(shù)k，然后通過恒等變形，使等式一端為a及 f（a）的代數(shù)式，另一端為b及f（b）的代數(shù)式，觀察關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式或輪換對(duì)稱式.若是，只需將a寫成x，f（a）改寫成f（x），換變量后的端點(diǎn)表達(dá)式即為輔助函數(shù)F（x）.

例4設(shè)a>0，b>0，試證存在ξ介于a，b之間，使得aeb-bea=（1-ξ）eξ（a-b）.

證明將結(jié)論變形為（1-ξ）eξ=aeb-beaa-b，

令aeb-beaa-b=k，

則eaa-ka=ebb-kb，設(shè)F（x）=exx-kx，顯然F（x）滿足羅爾定理?xiàng)l件，由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ介于a，b之間，使得F′（ξ）=ξeξ-（eξ-k）ξ2=0，

ξeξ-eξ+k=0，即aeb-bea=（1-ξ）eξ（a-b）.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王蘭芳.例談中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的引入[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011（1）：32-33.