以西南民族大學為例探析線性代數教學中的難點及其對策的難點及其對策

李慶

【摘要】線性代數課堂教學一直是代數類教學改革的焦點.以西南民族大學非數學專業類的理工科的線性代數教學為例，通過對線性代數課堂教學現狀分析，提出了線性代數教學中存在的難點，并從數學問題研究的歷史背景、數學理論與工具的實際應用、線性代數應用選修課的設置以及數學文化知識講座等角度提出了線性代數課堂教學改革的策略，明確了從事線性代數教學研究的教育工作者的努力方向.

【關鍵詞】線性代數教學；數學思維；抽象性；實際應用

【中圖分類號】G643.2

【基金項目】西南民族大學代數類課程教學改革研究項目（2014QN12）

線性代數一直是高等教育中非數學專業類學生的核心基礎課程.這不僅體現在它是考研公共數學的科目之一，更體現在它的抽象性與應用性的高度統一.代數相對于幾何、拓撲等學科是較為抽象的一門學科，具備更多的數學文字符號.以西南民族大學的線性代數教學為例，理工科的學生通常選擇同濟版的線性代數教材.該教材首先介紹的就是行列式，這通常使得學生頓感抽象，導致學生學習代數的熱情大大降低，甚至到最后學生學習這門課程只是為了應付考試，以至于線性代數的教學失去了原本的意義.另一方面，抽象與具體本質上是統一的，這也是激發學生學習興趣的重要因素.而我們目前的線性代數課堂教學通常止步于抽象性，而對于線性代數的精彩應用被舍棄.本文以西南民族大學的線性代數教學為例，分析其教學現狀，提出線性代數教學中存在的難點，并給出相應的對策.

一、線性代數課堂教學現狀及其難點分析

西南民族大學非數學專業類理工科的線性代數通常設置為每周4課時（或5課時），共17周（或13周），總課時68課時（或65課時）.按照同濟版（第六版）的線性代數的前言所示，前五章的內容大約需要34課時.實際上我們現在的教學也就是講授到第五章.看似我們的課時大大超出大綱里提到的課時，實際上要完全理解線性代數的內容甚至是精髓，68課時或65課時是不夠的.此外，同濟版的教材是針對全國的高等院校，當然包含重點大學在內.而我們是民族院校，學生的數學水平差異較大，特別有一部分數學基礎較薄弱的少數民族學生（這主要是由民族聚居地區初等教育水平不高所決定），這使得數學教師要把握好講課的進度以及難易程度，自然加大了數學教師的授課難度.其次，線性代數的抽象性加大了學生學習的難度，同時也對數學教師的理論水平和授課技能提出了更高的要求.興趣是學生學習的最大動力，如何抓住學生學習線性代數的興趣，這就對教師的教學能力提出了更高的要求.比如，該教材的第一章就是講授行列式，顯得比較突兀，學生頓感抽象；第二章就是矩陣運算，矩陣就是一個數表，為什么要定義這些矩陣運算，這就好比“奉天承運皇帝詔曰”，從天而降的概念和運算.因此，如何引出這些理論或工具就顯得特別重要.最后，由于同濟版的線性代數教材習題有成套的習題參考答案，這就勢必造成部分學生為了完成任務照抄習題答案.這樣導致學生的學習能力沒有提高，教師也無法清楚地了解學生的學習情況.這些現象都是線性代數教學中的難點問題.如何改革線性代數教學現狀成為目前迫切需要解決的一個重要問題.

二、線性代數課堂教學改革策略

（一）從數學研究的歷史背景入手，打造邏輯生動的數學課堂

數學以公式之優美、理論之奇妙、論證之嚴密、應用之廣泛令人驚嘆不已！究其原因，數學的思維方式發揮著巨大的威力.數學的思維方式是一個全過程：觀察客觀現象，提出要研究的問題，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型.按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”這一數學的思維方式去參與教學，這就使得學生比較容易學，而且可以享受學習數學的樂趣.比如，線性代數教材中的行列式和矩陣這兩大工具的引入，勢必需要從線性代數研究的中心問題出發來導出.什么是線性代數？線性代數干什么？“線性”就是“一次”，線性代數的主要研究內容就是研究多元的一次方程組與一次函數.一次方程組也稱為線性方程組.常數項為0的多元一次函數y=a1x1+…+anxn稱為線性函數，n個n元線性函數組成的函數組yi=ai1x1+…+ainxn（1≤i≤n）稱為線性變換.線性代數的兩大主題就是多元線性方程組與線性變換.線性方程組與線性變換可以由方程組或函數組中的系數排成矩陣來表示，通過矩陣運算來求解方程及解決相關的應用問題，其中最重要最基本的矩陣運算是初等變換和乘法這兩個算法.通過這樣的研究背景的介紹引入矩陣的概念，同時也說明了定義矩陣運算的必要性.因此，線性代數教學的第一步需要適當調整同濟版教材的教學順序，從解線性方程組出發，導出矩陣的概念和矩陣的初等變換的算法，利用高斯消元法求解方程.另一方面，特別要討論方程個數與未知數的個數相等且是唯一解的這一類線性方程組，除了通用的高斯消元法之外還有沒有其他方法？可不可以只利用方程組的系數和常數項直接求解？由此引入行列式這一符號（最初行列式的出現僅僅作為一個速記工具）.因此，正如北京航空航天大學李尚志教授所說：我們不是以“奉天承運皇帝詔曰”的方式從天而降概念、算法和定理，也不是在學生不知有何用處的情況下先學好算法再拿去應用，而是從研究的歷史背景和問題出發，在嘗試結局問題的過程中將所需的算法“發明”出來.

（二）將線性代數的實際應用適當地引入課堂教學中

線性代數研究的是最簡單的方程和函數，算法也比微積分少得多，按道理應當容易學.但實際情況是，多數學生學起來并不輕松.主要困難是太抽象.線性代數一開始就是一個接一個的抽象定義，使初學者難以理解.比如，行列式為什么這樣定義？矩陣為什么這樣相乘？線性相關、線性無關是什么意思，有什么用處？這些問題都讓學生，甚至很多講授線性代數課程的教師迷惑不解.因此，除了上述提到的從研究問題的歷史背景引入理論和工具之外，課堂教學還應注重理論和工具的實際應用.例如，利用二階行列式根據頂點坐標計算平行四邊形和三角形的面積；判斷線性方程組是否有唯一解實際上就是判斷系數矩陣各列是否線性無關；利用矩陣乘法來實現平面上和空間中的旋轉；計算空間中的旋轉軸時，實際上就是求特征值為1的特征向量，等等.當然教師選擇的問題，盡量是在現實生活和學生今后工作中有用的問題，并且希望是學生感興趣、容易懂的問題，因此也不需要選擇需要較多專業知識或綜合性太強的實際問題.這樣也使得學生看到發明出來的理論和工具并不僅僅局限于某一方面的應用，它們還能解決其他許許多多的問題.在科學研究中，用從許多事物中總結出來的結論和方法解決成千上萬的問題，這就是抽象的威力.因此，如果在教學中不舉任何實例，不講任何應用，只讓學生死記硬背，勢必導致學生害怕抽象，失去了抽象原本的意義.因而這不是抽象的錯，也不是學生的錯，而是教學方式的錯.

（三）設置針對線性代數應用的選修課

由于為線性代數設置的課時數主要是為了學生能學完基礎理論知識，因此線性代數課堂中補充的應用舉例就顯得相對較少.但在實際問題，特別是工程應用和理論中會遇到應用線性代數的知識和算法.因而，教師可以設置針對線性代數應用的選修課，以此強化學生對線性代數的理解和運用.

（四）習題評講中的舉一反三

由于現行的線性代數教材都有專門的習題參考書，這為某些想走捷徑的學生、只為應付作業任務的學生提供了便利.針對這一現象，教師可以適當地改編習題或布置其他參考教材中的練習，這是其一；其二，教師在評講習題時注重對理論的融會貫通，使學生抓住問題的本質，達到舉一反三.

（五）一學期安排一到兩次的數學文化知識講座

數學課堂除了理論知識的傳授之外，還需擴充一些相關的數學人文知識.數學的教學不僅傳授數學知識，使學生受到科學思維方式的訓練，而且還需要陶冶人文精神：客觀、公正、講理、嚴謹、勇于創新、堅韌不拔、靈活機動、謙虛謹慎，從而使學生終身受益.因此，在一學期的課堂教學中安排一到兩次數學文化知識講座是很有必要的.這樣讓學生了解數學家們是如何用數學精神探索并解決一個個數學問題，也讓學生感受到數學理論的創造發明與發展的來之不易，激發學生的探索精神，也加強學生無論在學習還是社會生活中的不畏挫折的能力.

三、結束語

我們通過分析西南民族大學理工科線性代數教學現狀，抓住其教學中的難點，并提出了必要的改革策略.在明確了線性代數教學的問題所在之后，更需要我們從事線性代數教學研究的教師豐富自身的數學內涵，拓寬自身的數學視野，在備課的過程中考慮全面，使其在課堂教學中真正體現數學的科學思維，使抽象理論與具體實際融會貫通，讓學生領略數學的風采.

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