因子分析法在數學建模比賽中的應用

李長偉+陳蕓+陽彩霞

【摘要】根據數學建模培訓課程的成績，采用因子分析法得到了數學建模比賽所需的幾項重要能力因子，從而為選拔隊員組建參賽隊伍提供了一種客觀的、定量的選拔方式，與傳統方法結合效果較好.

【關鍵詞】數學建模；因子分析；選拔

【中圖分類號】G642

【基金項目】武漢市市屬高校產學研及教學研究項目“基于數學建模的應用型人才培養模式研究”（項目編號2014216）

一、引言

全國大學生數學建模競賽已在各個高校中展開，并成為影響最大、參賽人數最多的大學生課外科技活動.[1]在以往的數學建模隊員選拔中，多采用根據數學基礎課程和數學建模培訓課程分數由高到低，兼顧院系差別，以及男女生比例等條件進行選拔組隊參賽.平時的數學成績對數學建模競賽成績的影響不是最重要的.[2]雖然加入了其他遴選條件，但在后續組隊參加建模比賽過程中，依然暴露出許多問題，突出表現是模型建立、求解、編程、論文寫作、查閱文獻等能力不均衡；造成部分參賽隊伍完成比賽十分艱難，競賽成績自然也不理想.如何選拔優秀的學生參加比賽，更加科學合理地組建比賽團隊在數學建模競賽組織工作中顯得尤為重要.

二、研究方法

因子分析（Factor Analysis）是由英國心理學家Spearman在1904年提出來的[3]，其數學模型為：設有p個變量xi（i=1，2，…，p）可表示為：

其矩陣形式為：X=AF+ε，式中F稱為因子，A為因子載荷矩陣，ε稱為特殊因子，表示原有變量不能被因子解釋的部分.因子分析是通過研究原始變量之間的內部依賴關系，用少數幾個因子來反映原來眾多變量的主要信息，希望能夠發現更加通俗易懂的解釋.如難以得出合理解釋時，需要進一步做因子旋轉.所以因子分析非常適合研究影響數學建模隊員選拔的因素.

在數學建模能力培養過程中，通過課堂講授與課下練習促進學生能力的提高是必不可少的手段.但每個學校培訓方式、課程選取或能力培養側重點不盡相同.某高校開展數模基礎、統計模型、預測與綜合評價模型、數學軟件Matlab、運籌學與Lingo軟件、小論文共6門課程培訓，將20名數學建模預選隊員姓名按序號1，2，3，…進行編號，在培訓期間的各門課程成績整理成數據表（略）.

通過SPSS220軟件導入上述數據進行因子分析，可以得出：KMO檢驗為0.642，Bartlett檢驗統計量的觀測值為38921，相應的概率P值為0001.說明各門課程成績變量之間獨立性假設不成立，可以用因子分析做降維處理尋找潛在因子.

當提取四個因子時方差累計貢獻率達到了91.393%，因子分析效果較為理想.為使因子含義更加清晰，采用極大方差法進行因子旋轉，旋轉后的因子載荷矩陣如表1所示.可以發現統計模型、預測與綜合評價模型在第一因子F1上有著較高的載荷，可表示為建立模型能力；數模基礎課程在第二因子F2上有著較高的載荷，可命名為數學建模潛力；數學軟件Matlab、運籌學與Lingo軟件在第三因子F3上有較高載荷，說明是編程能力；小論文訓練課程在第四個因子F4上有較高載荷，可命名為論文寫作能力.

可分為能力均衡隊員、特色鮮明隊員、一般隊員、能力較差隊員四類.其中編號1，2，3，4，5，8六位隊員各項因子得分至少是三項以上是正分數，說明四種能力至少具備三種，能力較為均衡，可作為領隊隊員培養，例如編號為2的隊員在第一、二、三因子上得分很高，說明有很強的建立模型能力、數學建模潛力以及編程能力.而編號為6，7，9，10，13，14六位隊員四項因子得分中有兩項為正，兩項為負數，說明某兩個能力高于平均水平，而又存在兩個短板.類似于偏科現象，這類隊員要合理搭配，發揮其最大作用.例如編號為7的隊員有較強的建立模型能力和建模潛力，但是編程能力和寫作能力卻非常糟糕.編號為11，16，17，18，19號五位隊員為能力一般隊員可作為每個比賽隊伍中的第三位隊員.雖然僅有一項因子得分高于平均水平，有三項短板，但組隊得當依然可以發揮最大能效.例如16號隊員有著很強的寫作能力，可以和其他領隊隊員以及特色鮮明隊員的能力形成互補.編號為12，15，20三位隊員的四項因子得分均為負數，各項能力都低于平均水平，但這些隊員要慎重對待，需要進行專門的談話以及摸底工作.

四、總結

1.本模型通過對隊員培訓成績分析得出建立模型能力、數學建模潛力、編程能力以及寫作能力四種因子，這也是在數學建模比賽中非常重要的能力，與以往的實踐經驗十分吻合.

2.在組隊過程中，每支隊伍3人一組，仍需要分析法和定性的挑選方式共同確定最終組隊情況.

3.因為樣本容量較小以及僅以一次培訓成績作分析，在后續的工作中可結合比賽最終成績和多次培訓成績，模型會更加完善.

【參考文獻】

[1]王浩華，羅婷.數學建模素質評估的定量分析[J].海南大學學報（自然科學版），2012，30（1）：9.

[2]朱寧，陳克西，李竹梅.主成分分析在數學建模中的應用[J].工科數學，1999，15（4）：109.

[3]司守奎，孫兆亮.數學建模算法與應用[M].第2版.北京：國防工業出版，2015：240.

[4]薛薇.基于SPSS的數據分析[M].第2版.北京：中國人民大學出版，2011：339.