柔性線纜連接的分離式衛星動力學建模

龐 巖，李 靜，劉 磊

(1.大連理工大學航空航天學院，大連116024;2.工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連116024; 3.西北工業大學航天學院，西安710072)

柔性線纜連接的分離式衛星動力學建模

龐 巖1，2，李 靜1，劉 磊3

(1.大連理工大學航空航天學院，大連116024;2.工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連116024; 3.西北工業大學航天學院，西安710072)

基于拉格朗日法建立柔性線纜連接的分離式磁耦合衛星剛柔耦合動力學模型，并基于該模型研究柔性線纜對分離式衛星隔振性能以及指向性能的影響。仿真結果表明，柔性線纜將明顯降低分離式衛星對服務模塊低頻擾動的隔振性能，由于柔性線纜的存在，低頻擾動將使載荷模塊穩態時的姿態精度和穩定度大幅下降。柔性線纜也會影響載荷模塊的指向控制精度，采用相同的PD控制器，有柔性線纜時載荷模塊指向穩態誤差大于無柔性線纜時載荷模塊指向穩態誤差4個數量級。柔性線纜對載荷模塊性能影響明顯，所建動力學模型對提高分離式衛星建模和控制精度有重要意義。

分離式衛星;柔性線纜;拉格朗日法;剛柔耦合動力學

0 引 言

超靜力學環境是敏感載荷的迫切要求，本文研究一種特殊設計的超靜衛星構型，即分離式衛星的動力學建模。分離式衛星是洛克希德·馬丁公司提出來的一種新型超靜衛星構型，其由載荷模塊、服務模塊以及兩個模塊之間的磁耦合界面組成。載荷模塊上安裝有需要高精度以及高穩定度控制的敏感設備，比如高分辨率望遠鏡等。服務模塊安裝有反作用飛輪、推進器、撓性太陽帆板等有擾設備，因此衛星微振動源主要集中在服務模塊。理想磁耦合界面由非接觸作動器(如音圈作動器)、非接觸傳感器以及無線能量和信息傳遞通道組成，以保證載荷模塊超靜性能。由于載荷模塊和服務模塊之間無機械連接，這種結構理論上可以實現零剛度完全隔振，并且可以通過磁耦合作動器對載荷模塊進行姿態和位置操作［1－5］。文獻［2］以NGST空間望遠鏡的構型為例通過數值仿真比較了分離式衛星和傳統擾動源隔振衛星的隔振性能，結果表明分離式衛星較傳統衛星其隔振性能提高兩個數量級，證實了分離式衛星構型對微振動隔離的有效性。文獻［4］研究了分離式衛星構型在敏捷衛星中的應用，其數值仿真和地面實驗結果表明分離式衛星構型在滿足隔振性能的同時能夠實現對載荷模塊的快速指向控制。

理想分離式衛星其載荷模塊和服務模塊之間完全沒有物理連接，但實際中由于現有技術的局限，載荷模塊和服務模塊之間的能量傳遞需要柔性線纜連接［2，5］。文獻［2］中仿真結果表明載荷模塊和服務模塊之間存在柔性線纜耦合時，其低頻段隔振性能較完全非接觸情況下降十倍以上，說明柔性線纜嚴重影響了分離式衛星的隔振性能，但文中并未給出柔性線纜連接的分離式衛星動力學模型。許域菲建立了無機械連接時，對載荷進行六自由度操作的一種動力學模型，但還沒有研究有線纜連接時的情況［6］。

柔性線纜連接的分離式衛星不同于繩系衛星。繩系衛星系繩兩端的模塊分別采用常規執行機構進行姿態和軌道控制，而本文研究的分離式衛星，其載荷模塊的姿態、位置(軌道)通過載荷模塊和服務模塊之間的磁耦合作動器進行控制。對繩系衛星的動力學建模已經有了大量的研究［7－12］，但這些動力學模型尤其是在閉環控制時并不適合本文研究的分離式衛星。

本文以柔性線纜連接的分離式衛星為研究對象，基于拉格朗日法構建其剛柔耦合動力學模型并進行仿真研究。拉格朗日法從能量角度出發，無需計算系統內約束力，推導過程簡潔，適用于多自由度復雜系統建模，因而被廣泛的應用在機器人動力學以及多體系統動力學等領域中［13－17］。針對所建動力學模型，本文仿真分析了柔性線纜連接對分離式衛星的隔振性能以及載荷模塊控制的影響程度。

1 系統描述以及拉格朗日法簡述

1.1 柔性線纜連接的分離式衛星系統描述

柔性線纜連接的分離式衛星基本結構如圖1所示。圖中載荷模塊的姿態和位置通過非接觸作動器控制，作動器的數量以及安裝構型可以有多種形式，比如具有六個作動器的hexapod構型［1，5］。為使作圖簡潔，本文在圖1中只給出了某一個作動器及其傳感器示意圖，記其編號為i。本文假設載荷模塊和服務模塊均為剛體，且載荷模塊和服務模塊之間的柔性線纜可視為一個具有一定剛度和阻尼的彈簧/阻尼元件［18］。

為利用拉格朗日法建模，將圖1所示系統寫為圖2所示的向量形式，并建立用于描述系統運動的坐標系。

圖2中，L-XYZ是衛星的軌道坐標系，L是整個系統的質心;S-XYZ和P-XYZ分別表示服務模塊和載荷模塊的體坐標系，S和P分別是服務模塊和載荷模塊的質心;SE-XYZ以及PE-XYZ分別是服務模塊和載荷模塊在標稱位置時的體坐標系;rSE和rPE分別表示服務模塊和載荷模塊處于標稱位置時質心在軌道坐標系下的位置矢量;ΔrS和ΔrP分別為載荷模塊和服務模塊的質心偏離標稱位置的矢量;du和pu表示服務模塊和載荷模塊的柔性線纜連接點在各自體坐標系下的位置矢量，K和C是柔性線纜簡化模型在軌道坐標系下的剛度陣和阻尼陣;di和pi表示載荷模塊和服務模塊的第i個作動器連接點在各自體坐標系下的位置矢量。

圖2中載荷模塊和服務模塊的運動可分解為跟隨軌道坐標系的軌道運動以及偏離標稱位置的受擾運動兩部分［18］。本文在推導分離式衛星動力學方程時忽略整星軌道運動，把軌道坐標系近似看成一個慣性系，且假設SE-XYZ、PE-XYZ、L-XYZ三個坐標系互相平行。

1.2 拉格朗日法簡述

適用于完整系統的第二類拉格朗日方程如下所示:

式中:L=T－V是拉格朗日函數，T為系統的總動能，V為系統的總勢能;qk是系統的第k個廣義坐標，f是系統的自由度;F為瑞利耗散函數，Qk表示和廣義坐標對應的廣義力。

求取廣義力通常采用式(2)所示虛功原理［19］

式中:W為系統主動力虛功。

利用拉格朗日法建模時，需要選取合適的廣義坐標來描述系統的運動，圖2所示系統有兩個剛體，要完整描述系統運動需要12個廣義坐標。本文選擇描述載荷模塊運動的廣義坐標為 qP= (xp，yp，zp，θpx，θpy，θpz)T，式中:xp、yp、zp表示矢量ΔrP在軌道坐標系下投影的三個分量，用來描述剛體平動，θpx、θpy、θpz表示載荷模塊體坐標系P-XYZ繞X-Y-Z三軸相繼轉動后和PE-XYZ平行所需要的轉動歐拉角，用來描述剛體轉動。同樣，對于服務模塊選擇廣義坐標為qS=(xs，ys，zs，θsx，θsy，θsz)T，其中各分量和載荷模塊廣義坐標中各分量定義對應。第2節將給出有柔性線纜連接的分離式衛星動力學模型的詳細推導過程。

2 柔性線纜連接的分離式衛星動力學建模

首先求系統動能表達式。圖2所示系統動能包括載荷模塊和服務模塊的平動動能以及轉動動能，其具體表達式如下

式中:mp、ms分別為載荷模塊和服務模塊質量，IP、IS分別為載荷模塊和服務模塊在各自體坐標系下的轉動慣量，ωP、ωS分別表示載荷模塊和服務模塊的體坐標系相對軌道坐標系的轉動角速度矢量。

為簡化推導，本文假設IP、IS為對角陣，記IP=diag(Ipx，Ipy，Ipz)，IS=diag(Isx，Isy，Isz)。為書寫簡便記sinθ=Sθ，cosθ=Cθ。則式(3)可寫為如下矩陣形式。

式中:

式中:

將式(5)中各廣義坐標分量下標 p換成 s可得MS(qS)表達式。

下面求勢能表達式。本文不考慮系統軌道運動，系統的勢能只有柔性線纜的彈性勢能，在標稱位置時柔性線纜伸長量為0［18］。記柔性線纜的長度變化矢量為Δu，則柔性線纜的彈性勢能為

式中:

若pu在載荷模塊體坐標系下的分量為pu= (pu1，pu2，pu2)T，du在服務模塊體坐標系下的分量為du=(du1，du2，du2)T。將式(8)代入式(7)中可得ΔuP的具體表達式為

將式(9)中廣義坐標各分量下標p換成s，并用du各分量替換 pu各分量即可得 ΔuS的表達式。再將ΔuP和ΔuS的表達式代入式(6)即可得勢能表達式。

接下來求系統的瑞利耗散函數。本文選擇的瑞利耗散函數具有如下形式

對式(9)求導可得

式中:

式中:

同理可得

將式(13)中各廣義坐標分量下標p替換成s，并將pu各分量替換成du各分量可得到Rdu(qS)表達式。因此系統的瑞利耗散函數為

將式(4)、(6)、(14)代入式(1)即可得分離式衛星動力學方程，寫成矩陣形式如下

式(15)中上半部分是載荷模塊的動力學方程，下半部分是服務模塊的動力學方程，QP和QS分別為與廣義坐標向量 qP以及 qS對應的廣義力。

以載荷模塊為例，將式(15)中載荷模塊動力學方程展開可得

式(16)中右端各項表達式如下

式中:

式中:

根據式(11)可得

因此有

同理對于服務模塊有

將CP1、CP2表達式中各廣義坐標下標由p換為s可得CS1、CS2表達式。

接下來求式(15)中廣義力QP和QS的具體表達式。圖2中第i個作動器在軌道坐標系下的支桿矢量為

支腿的速度矢量為

作動器沿支腿方向的伸長速度為

記第i個作動器的作用力大小為，假設每個作動器的作用力方向沿支腿伸長方向，記f=(f1，f2，…)T，那么根據虛功原理有

根據式(26)可得

之后，將式(20)～(21)、(27)～(28)代入式(15)即可得分離式衛星在軌道坐標系下的動力學方程。若載荷模塊以及服務模塊的運動是在標稱位置附近的小角度運動，那么忽略高階小量，可得近似線性后的如下動力學方程

上式中E3×3表示3階單位矩陣，分別表示矢量pu、bu的反對稱矩陣，JP、JS此時為常矩陣。

3 分離式衛星載荷模塊仿真分析

本文以載荷模塊為研究對象，分析柔性線纜連接對載荷模塊在開環狀態下的指向性能以及閉環指向控制精度的影響。

3.1 載荷模塊開環響應分析

將服務模塊的六自由度廣義坐標看作載荷模塊的輸入端擾動，利用近似線性化之后的載荷模塊動力學方程，即式(29)可以求得服務模塊廣義坐標qP到載荷模塊廣義坐標qS的傳遞函數。載荷模塊動力學方程是一個六輸入—六輸出系統，若采用Bode圖描述輸入輸出關系共需要36個Bode圖，過于繁瑣，于是本文采用奇異值曲線來描述輸入輸出關系［21］。載荷模塊動力學方程的基本參數如表 1所示。

服務模塊廣義坐標到載荷模塊廣義坐標的傳遞函數奇異值曲線如圖3所示

表1 載荷模塊基本參數Table 1 Argument of payload module

從圖3的奇異值曲線可以看出，在0.01 Hz～1 Hz頻段內，來自服務模塊的擾動傳遞到載荷模塊時在某些方向上會引發諧振，且諧振峰值超過30 dB。而對于頻率高于1 Hz的擾動，載荷模塊的響應表現出幅值衰減的特性，且頻率越高，衰減效果越強。因此，在有柔性線纜連接的情況下，服務模塊對載荷模塊的影響主要是在低頻段。分析部分低頻段發生耦合振動的原因，可以看出，有柔性線纜連接時，通常線纜剛度較低且阻尼小，柔性線纜與載荷模塊連接的基頻低，因此開環狀態下柔性線纜對載荷模塊發生低頻耦合振動。柔性線纜很大程度上衰減了高頻干擾但是在低頻段會產生諧振，諧振頻率和峰值取決于柔性線纜的剛度和阻尼。服務模塊對載荷模塊的耦合影響也主要在低頻段。

下面以載荷模塊廣義坐標的第四個分量θpx為例，仿真其對服務模塊輸入θsx的時域響應。仿真時采用載荷模塊完整的非線性動力學模型，取θsx為幅值0.0001°、頻率0.4 Hz以及幅值0.00001°、頻率20 Hz的兩個信號的疊加。載荷模塊的姿態角和姿態角速度響應如圖4和圖5所示，圖5中ωsx=sx，ωpx=px。為說明柔性線纜的影響，圖4和圖5中給出了無線纜連接時載荷模塊的響應作為對比。

從圖4和圖5中結果可以看出，在沒有柔性線纜連接時，服務模塊的擾動對載荷模塊幾乎沒有影響，載荷模塊的姿態精度優于1×10－8(°)，姿態穩定度優于1×10－8(°/s)。而有柔性線纜連接時，載荷模塊姿態精度下降到8×10－4(°)，姿態穩定度下降到2×10－3(°/s)。可見，柔性線纜連接會嚴重影響載荷模塊在穩態時的指向性能，圖4和圖5中結果也可看出影響載荷模塊姿態精度和姿態穩定度的主要因素是θsx中頻率為0.4 Hz的低頻分量，而服務模塊的高頻分量對載荷模塊沒有太大影響，時域仿真結果和線性化模型的頻域結果一致。

3.2 載荷模塊閉環響應分析

本節分析柔性線纜連接對載荷模塊指向控制的影響，作為對比分別仿真在沒有柔性線纜連接和有柔性線纜連接時載荷模塊的指向控制。仿真時不考慮作動器的具體構型，把式(29)中JTPf單純等效為載荷模塊的主動控制力和力矩，并采用如下所示的PD控制器

式中:，r為各廣義坐標的參考輸入，本文取 ωn=0.4π，ξ=0.707。取 r= (0.04 m 0.05 m 0.06 m 4°5°6°)T，載荷模塊基本參數同3.1節中一致，對載荷模塊六自由度控制的仿真結果如下

從圖6～11中仿真結果可以看出，沒有柔性線纜連接時，在PD控制器作用下載荷模塊12 s內可以收斂到穩態值，且各方向控制的穩態誤差小，控制精度高。有柔性線纜連接時，在同樣的PD控制器作用下載荷模塊在12 s內能收斂到穩態值，但是穩態誤差明顯增大。有線纜連接和無線纜連接兩種情況下的PD控制穩態誤差結果如表2所示，從表中結果可以看出，有線纜連接時載荷模塊穩態誤差高于無線纜連接時穩態誤差4個數量級，說明柔性線纜連接會嚴重影響載荷模塊六自由度的指向控制精度。

表2 載荷模塊主動控制的穩態誤差Table 2 Steady-state error of payload module in active control

4 結 論

本文基于拉格朗日法建立了柔性線纜連接的分離式衛星的動力學模型，并研究了柔性線纜對載荷模塊的隔振性能以及指向控制的影響。開環頻域和時域仿真結果表明，根據線纜參數和平臺參數的不同，柔性線纜主要影響分離式衛星在低頻段的隔振性能。閉環指向控制仿真結果表明在同樣的PD控制器作用下，有無線纜穩態誤差相差4個數量級。仿真結果證實柔性線纜對分離式衛星性能影響明顯，論文建議下一步工作對其柔性線纜動力學進行補償，以提高分離式衛星性能。

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通信地址:遼寧省大連市大連理工大學航空航天學院(116024)電話:(0411)84706692

E-mail:ypang@dlut.edu.cn

作者簡介:

劉 磊(1981－)，男，副教授，主要從事空間微振動、微動力學與控制等研究。本文通信作者。

通信地址:陜西省西安市碑林區友誼西路西北工業大學航天學院(710072)

電話:(029)88492781

E-mail:Leiliu@nwpu.edu.cn

(編輯:張宇平)

Dynamics Modeling of the Separated Satellite with Flexible Cable

PANG Yan1，2，LI Jing1，LIU Lei3
(1.School of Aeronautics and Astronautics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China; 2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian 116024 China; 3.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China)

The rigid-flexible coupling dynamics model of a separated satellite with flexible cable is derived using Lagrange method.Based on the proposed model，the flexible cable effect on the vibration isolation performance and pointing control of the satellite is investigated.The simulation result indicates that the flexible cable decreases the vibration isolation performance at low frequencies.Furthermore，the low frequency disturbances from the support module dramatically degrade the attitude accuracy and stability of the satellite.The flexible cable also has significant effect on the pointing control performance of the payload module.Using the same PD controller，the steady-state error of the payload module with flexible cable is 4 orders of magnitude larger than that of the payload module without flexible cable.It can be concluded that the performance of the payload module is seriously degraded by the flexible cable.The dynamics model in this paper is important on how to improve the modeling and control accuracy of the separated satellites.

Separated satellite;Flexible cable;Lagrange method;Rigid-flexible coupling dynamics

V412.4

A

1000-1328(2017)01-0001-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.01.001

龐 巖(1977－)，女，副教授，主要從事飛行器動力學建模、控制與仿真。

2016-08-10;

2016-11-23

國家自然科學基金(11402044，51675430，11302132);可靠性與環境工程技術重點實驗室開放基金(KHZS20143003);中央高校基本科研業務費(DUT16QY23)