利用導數證明不等式利用導數證明不等式

鄧琴

【摘要】導數是研究函數的重要工具，在證明不等式時也極為有用.本文給出了幾種常用的利用導數證明不等式的方法和技巧.

【關鍵詞】導數；不等式；函數

【基金項目】杭州電子科技大學2014年高等教育研究資助項目（YB1425）

一、五種常用的方法

導數是研究函數的重要工具，在證明不等式時也極為有用.那如何利用導數證明不等式？這是導數應用中的一個重要問題.本文給出了五種常用的利用導數證明不等式的方法.

1.利用微分中值定理證明不等式.

拉格朗日定理：若f（x）在閉區間[a，b]上連續，并且在開區間（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），使f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）.在拉格朗日定理中，若f′（x）在區間（a，b）上有界，即存在常數m和M，使m

2.利用單調性定理證明不等式.

這種方法要求函數在所討論的范圍內有恒定的單調性.

3.利用函數的泰勒展開式證明不等式.

4.利用極值的唯一性證明不等式.

若函數在所討論的范圍內有唯一的極值，這極值即為最值，這性質稱為極值的唯一性.

5.利用凹凸性的定義證明不等式.

二、應用舉例

例1設函數f（x），φ（x）二階可導，當x>0時f″（x）>φ″（x）且f（0）=φ（0），f′（0）=φ′（0），求證當x>0時f（x）>φ（x）.

分析此例證法很多，利用微分中值定理、函數的單調性、泰勒公式等均可獲得證明.

證明1利用微分中值定理.令F（x）=f（x）-φ（x），由條件知F（x）在[0，x]上連續，在（0，x）內可導，則由拉格朗日定理得F（x）-F（0）x-0=F′（ξ）（0<ξ0，F′（0）=0，F（0）=0，又0<ξ0（x>0）.即f（x）-φ（x）>0（x>0），故當x>0時f（x）>φ（x）.

證明2利用函數的單調性.設F（x）=f（x）-φ（x），于是當x>0時F″（x）=f″（x）-φ″（x）>0.由此可見，當x>0時，F′（x）單調增加；又因F′（0）=f′（0）-φ′（0）=0且F′（x）在[0，+∞）上連續，于是當x>0時F′（x）>F′（0）=0，由此又推得當x>0時，F（x）單調增加；又因F（0）=f（0）-φ（0）=0，于是，當x>0時，有F（x）>0，即當x>0時f（x）>φ（x）.

證明3應用泰勒公式.將函數F（x）=f（x）-φ（x）在x=0處展開得F（x）=F（0）+F′（0）x+F″（ξ）2！x2，ξ落在0與x之間.由條件可知，F（0）=0，F′（0）=0，且當x>0時，f″（ξ）-φ″（ξ）>0，故F（x）=f″（ξ）-φ″（ξ）2！x2>0，因此當x>0時f（x）>φ（x）.

例2證明：當x>-1時，ex≥1+ln（1+x）.

證明利用極值的唯一性.令f（x）=ex-1-ln（1+x），則其定義域為（-1，+∞），又由于f′（x）=ex-11+x，f″（x）=ex+1（1+x）2>0.因此，由單調性定理知f′（x）在（-1，+∞）內嚴格遞增.令f′（x）=0，可得f（x）的唯一駐點x=0.又由于f″（0）=e+1>0，因此，函數f（x）在x=0處取得唯一極小值f（0）=0，因而對一切x∈（-1，+∞），f（x）≥0，即，當x>-1時，ex≥1+ln（1+x）.

例3證明：當0

arctana+b2.

證明利用凹凸性的定義.設f（x）=arctanx，則f′（x）=11+x2，f″（x）=-2x（1+x2）2.所以，當x>0時，f″（x）<0，即f（x）在（0，+∞）內凸.所以f（a）+f（b）2

三、結束語

教學中適當介紹用上述方法證明不等式，可激發學生的學習興趣，培養學生分析問題和解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1991.