口訣教學法在線性代數教學中的應用

朱奪寶

【摘要】在線性代數教學中，運用口訣教學法提高教學效果.針對行列式性質、初等變換、矩陣乘法、求解線性方程組、初等變換法求逆等給出相應有效又簡潔的口訣.

【關鍵詞】口訣；教學法；線性代數

線性代數課程是理工科學生的基礎課程，教學中發現學生在一些計算中容易弄混.尤其是新疆高校中少數民族大學生在學習線性代數中困難比較多.為了提高學生學習的興趣，幫助學生掌握基本的計算方法，在教學中采用口訣教學法，取得了良好的效果.

一、口訣教學法

一些數學概念學生難以理解、記憶，如果用口訣或者順口溜形式，既起到點石成金的效果，又能調節課堂教學氣氛，達到讓學生由“苦學”向“樂學”轉變的效果.幽默風趣簡潔明白的“口訣”，有利于學生對知識的記憶、理解和鞏固.

二、口訣教學法的使用

（一）矩陣乘法口訣

設矩陣Am×s=（aij）m×s，Bs×n=（bij）s×n和C=（cij）m×n，矩陣乘法AB=C，結果矩陣C的元素cij定義為

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=∑sk=1aikbkj.

定義式給學生解釋為結果矩陣C中的元素cij是由前矩陣A的第i行與后矩陣B的第j列對應元素乘積的和.

矩陣乘法的口訣為“矩陣乘法，一個式子兩句話.一個式子是Am×sBs×n=Cm×n，兩句話是‘前列=后行，前行×后列”.對口訣的解釋，通過式子明確乘積中三個矩陣的類型關系.兩句話包含了三重意思，“前列=后行”是“前矩陣的列數等于后矩陣的行數”的簡化，說明兩個矩陣只有“前矩陣的列數等于后矩陣的行數”時相乘才有意義，即相乘這件事情可以做；“前行×后列”第一重意思是判定結果矩陣類型是“前矩陣的行數乘以后矩陣的列數”，明確結果矩陣的元素個數及排列方式，即知道相乘這件事情最終的結果形式；“前行×后列”第二重意思是說明如何相乘，是“取前矩陣的行與后矩陣的列對應元素乘積的和”的簡化，即確定相乘這件事情過程如何做.

通過口訣中兩個式子包含的三重意思，引導學生遇到矩陣乘法時，一考慮能否相乘，是否有意義，二考慮結果類型，明確有多少個元素及相應位置，三是具體計算出元素進行填空.

（二）行列式性質和初等變換中的口訣

學習行列式的計算時，有性質“把行列式的某一列（行）的各元素乘同一數后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變”.以數k乘第j行加到第i行，記作ri+krj，計算過程寫為D=ri+krjD1，既行列式D經過計算得到行列式D1.對于這個性質的使用，口訣為“前變后不變，前者系數必須為1”.在計算過程ri+krj中，ri是寫在前面的，那么改變的是ri，其余的行不變；ri前面的系數必須為1，是為了保證前后矩陣D與D1的結果相同.

學習矩陣的初等變換，“把某一行所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去”，第j行的k倍加到第i行上，記作ri+krj，計算過程寫為Ari+krjA1，既矩陣A經過變換得到矩陣A1，一般情況下矩陣A與矩陣A1不相等，中間的符號“→”表示變換的方向.矩陣的這個初等變換記憶口訣為“前變后不變，前者系數一般為1”.在計算過程ri+krj中，ri是寫在前面的，那么改變的是ri，其余的行不變；ri前面的系數一般為1，若寫為lri+krj，實際上可以看成是進行了兩步初等行變換，第一步為lri，ri改變后進行第二步ri+krj.

對于“ri+krj”這個寫法，在行列式的性質和矩陣的初等變換中都出現，書寫形式完全一致，理解上共同點都是“前變后不變”，區別是“前者系數是否必須為1”.在對概念理解的基礎上，在計算中為防止混淆統一簡單記憶為“前變后不變，前者系數為1”.

（三）線性方程組求解

線性方程組Ax=b的求解是線性代數教學中的一個重點，要求學生必須掌握.為了讓學生能夠快速掌握并且延長記憶時間，總結出線性方程組求解的口訣為“增廣變最簡，只用行變換，等價方程組，一般形式解，最后向量解”.口訣中“增廣”是指線性方程組的增廣矩陣（A，b），計算的第一步是“只利用行變換將增廣矩陣變換為最簡階梯形”，簡單記憶為“增廣變最簡，只用行變換”.第二步，利用得到的最簡階梯形作為增廣矩陣寫出原方程的等價最簡方程組.第三步，寫出方程的一般形式解.第四步，由一般形式解寫出向量解.

（四）初等行變換法求逆

對n階方陣A，利用行變換法求逆，口訣為“胖矩陣行變最簡，左單位則右為逆”.首先構造“胖矩陣”（A，E），只利用行變換將（A，E）化為最簡階梯形.若最簡階梯形左半部分是單位矩陣，則右半部分是方陣A的逆矩陣.如果化為最簡階梯形，左半部分不是單位矩陣，則方陣A不可逆.在這里對矩陣（A，E）命名為“胖矩陣”，非常形象有趣，有利于學生記憶.對學生要強調必須是使用行變換，不能使用列變換，故口訣中是“行變最簡”，即通過行變換化為最簡階梯形.

三、口訣教學法的注意事項

（一）口訣簡單易記

口訣內容文字盡量簡單易記，能夠突出重要信息，讓學生在理解基本概念方法的基礎上記憶.口訣不能帶有歧義.比如求解線性方程組“增廣變最簡，只用行變換，等價方程組，一般形式解，最后向量解”，學生一般會記住第一步把增廣矩陣化為最簡階梯形，但是個別學生會出現使用列變換的情況.所以口訣中強調“只用行變換”.

（二）用口訣又不唯口訣

并不是所有內容都可以用口訣表達，口訣在文字和格式上有一定的局限性，有些口訣不能全面或準確表達內容.口訣教學只是一種輔助性教學，必須適可而止.一堂優質課還要注意其他教學原則的貫徹、教學媒體的選擇與教學方法的運用.