數學教學中一種特殊形式的發散思維能力的培養

吳建強

【摘要】利用概率的加法公式和乘法公式，給出了二項式定理的一種新的證明方法；通過一些例子，說明如何應用數學期望及方差的性質求某些數列與級數的和，如∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k與∑∞k=1k6k（k-1）！等.借此介紹一種特殊的發散思維形式，說明它在數學教學與創新能力培養中的重要性，以及如何培養這種特殊形式的發散思維能力.

【關鍵詞】概率的性質；二項式定理；級數的和；發散思維能力

【基金項目】廣東省高等數學精品資源共享課立項項目（2013）

一、利用概率的性質推導二項式定理

設一個系統由n個元件并聯而成，每個元件的可靠度（元件正常工作的概率）均為p（0

再把p=ab代入（1）式，同樣可以得到（2）式.如果以b替換（2）式中的-b，（2）式將變為具有一般形式的二項式定理.

上述推導的依據是概率的加法公式及乘法公式，而概率的加法公式及乘法公式又可以由概率的公理化定義推導出來，那么從這個意義上講，二項式定理可以看作是概率公理化定義的一個推論.因此，這是二項式定理的一種有新意的推導方法.

二、利用數學期望和方差的性質求和舉例

數列前n項和的求法有多種，如裂項求和法、“q倍減”求和法、“倒序加”求和法等，數列前n項和也可以利用差分方程計算.級數的和有時可用冪級數的可導性與可積性求出來.有別于這些常見的求和方法，下面通過例子說明如何應用數學期望及方差的性質求某些數列與級數的和.

例題計算：

（1）∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k；（2）∑∞k=1k6k（k-1）！.

解（1）設隨機變量X～Bn，14，則

E（X）=n4，D（X）=316n.

從而由方差的簡算公式得

E（X2）=D（X）+E2（X）=316n+116n2=116n（n+3）.

相應地

E[X（X-1）]=E（X2-X）=E（X2）-E（X）

=116n（n+3）-n4=116n（n-1）.

但是，按照離散型隨機變量函數的數學期望的計算公式，則有三、對二項式定理的推導及上述例子中一種特殊的發散思維形式的說明

本文中二項式定理的推導，和∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k與∑∞k=1k6k（k-1）！的計算，它們的思路是相同的：對于某個數量A，用兩種不同的方法計算，分別有A=B與A=C，從而得到所要的B=C.它是一種特殊形式的發散性思維，須打破思維定式，積極展開聯想，并從兩個不同的方向進行創造性思考.數學中的很多定理、公式都是利用這種方法得到的，如平面幾何中的勾股定理、微積分學中的二重積分的計算公式與格林公式、三角學中的和角公式、概率統計中常用的概率計算公式p{a

【參考文獻】

[1]同濟大學概率統計教研組.概率統計[M].第4版.上海：同濟大學出版社，2009.

[2]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.