統計與概率主線之概率的主線分析

林姍+李碧榮

【摘要】本文以統計與概率主線中的概率主線為分析對象，從概率的地位與作用、與其他數學內容的區別和聯系、概率內容和要求的變化三個方面來分析概率主線，進而給出幾點教學建議.

【關鍵詞】概率；隨機現象；教學主線

【基金項目】廣西研究生教育創新計劃資助項目——提高教育碩士基地實習實效性研究（JGY2015102）.教育學博士學位點建設經費資助科研項目——基于大系統結構的碩本互促發展機制研究.

現代社會的工作、學習和生活中充滿著大量的數據和隨機性，學習統計與概率已成為了必然.概率作為統計與概率主線中的一個重要部分，也是中小學數學教育教學的重要內容之一，下面我們主要探討統計與概率主線中的概率部分.

一、概率的地位與作用

概率作為統計與概率教學主線中的一個重要組成部分，以客觀世界的隨機現象為研究對象，與日常生活密切相關，為我們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時也為統計學提供了理論基礎[1].

（一）從生活上看

概率以隨機現象作為研究對象，而隨機現象在日常生活中隨處可見，其實我們早已在日常生活中（如抽簽、投資等）感受過了隨機現象，只是沒有系統的學習和認知，將這些現象放進數學中，概率學就是研究它們的數學工具.

（二）從課程標準上看

在義務教育階段，數學課程內容主要分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐這四個部分[1].高中階段，則將數學課程分為必修課程和選修課程，其中必修課程是每名學生都必須要學習的數學內容，這一部分內容分為五個模塊，算法與概率統計是其中一個模塊[2].無論哪個階段，統計與概率都單獨占去一塊內容，這說明了統計與概率學習的重要性，并且《課標》中還強調統計與概率的基礎知識已成為一個未來公民的必備常識.概率作為統計與概率主線中的一個重要部分，也占據重要地位，并且它是中考、高考必考內容之一.

（三）從發展學生的角度上看

學生通過對概率的學習，認識到現實世界中的隨機現象的發生是既具有偶然性又具有必然性的，有助于學生以辯證的觀點來理解和處理現實世界中的不確定現象，形成科學的價值觀.此外，由于概率與現實生活的聯系較為密切，且其自身具有較強的應用性，故有助于培養學生“數學來源于生活又服務于生活”的應用意識.

二、概率與其他數學內容之間的區別和聯系

數學學科之間是相互聯系的，不是獨立的，也不是分散的，有著它們的相似之處.如數學中存在著線段的長度、物體的體積等等的度量，其實概率也是一種度量，只不過是用來度量隨機事件發生的可能性大小的，與這兩種度量相類似，但又有著差別，所以說概率與代數、幾何之間又存在著差別.

（一）研究對象的不同

代數、幾何等研究的是數與數量關系或圖形與空間等這類結果固定的對象，而概率主要研究的是隨機現象，看不見，摸不著，不像幾何圖形那么直觀[3].簡單來講，代數與幾何是研究“確定性”數學的，而概率是研究“隨機性”數學的，前者較多依賴于邏輯推理，注重發展學生的數感、運算能力、空間觀念等，后者則更多地運用到合情推理，注重發展學生的辯證觀念.[4]

（二）研究結果的不同

概率與代數、幾何之間的研究結果的不同主要在兩個方面.一個是結果的“確定性”與“不確定性”；另一方面在于度量的值的范圍.

代數、幾何等研究的是數與數量關系或圖形與空間等這類結果固定的對象，如“1+1”的計算結果是2，概率研究的是隨機現象，其發生的結果具有偶然性和必然性，偶然性表現在事件發生的結果是隨機的，例如拋一枚硬幣，其結果可能正面朝上，也可能反面朝上；其必然性則表現在通過大量的重復試驗，事件發生的頻率穩定于某個常數的附近，如大量重復地拋一枚硬幣，正面朝上的頻率穩定在0.5左右.

再者，概率與幾何的度量雖從性質上看是相似的，但它們度量的結果是有差別的，概率度量的值最大為1，最小值為0，永遠不會有超過1或小于0的結果存在，而在幾何中的度量卻不受這種結果在0到1之間的限制，但要求結果不為負，而代數中數的運算結果則可以擴展到整個實數域.

三、概率內容與要求的變化

《數學課程標準》是國家對基礎教育數學課程的基本要求和規范，是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據[5]，概率是貫穿在整個中小學數學教學中的，因此我們需要從《課標》中對概率內容的要求來看概率內容的變化.為了更好地進行對比和分析，將教學目標分為對概率概念的目標要求和對概率求法的目標要求兩個部分，根據《課標》中對不同學段概率內容和教學目標的要求，各階段概率內容與教學目標如下.

（一）小學階段

內容：人教版五年級上冊第4章——可能性.

教學目標：

1.有關概念方面：結合具體情境，了解簡單的隨機現象.

2.有關求法方面：能列出隨機現象中所有可能發生的結果；通過活動，感受隨機現象結果發生的可能性有大小，能對簡單的隨機現象發生的可能性大小做出定性描述.

（二）初中階段

內容：人教版九年級上冊第25章——概率初步，包括25.1隨機事件，25.2用列舉法求概率，25.3用頻率估計概率.

教學目標：

1.有關概念方面：

（1）理解隨機現象，初步了解古典概型；了解事件的概率.

（2）知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率.

2.有關求法方面：能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果.

（三）高中階段

內容：

人教版高中數學必修3——概率，包括3.1隨機事件的概率；3.2古典概型；3.3幾何概型.

人教版高中數學選修2-3——隨機變量及其分布列，包括2.1離散型隨機變量及其分布列；2.2二項分布及其應用；2.3離散型隨機變量的均值與方差；2.4正態分布.

教學目標：

1.有關概念方面：

（1）了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性；了解概率的意義及頻率與概率的區別；了解隨機數的意義，初步體會幾何概型的意義.

（2）理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念；借助直觀（如實際問題的直方圖），認識正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；了解條件概率和兩個事件互相獨立的概念.

2.有關求法方面：通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式；理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率，能運用模擬方法（包括計算器產生隨機數來進行模擬）估計概率.

（四）關于不同學段概率的教學內容和教學目標，具體從以下幾個方面進行比較

1.從教材內容安排上看不同階段概率內容的變化

在教材內容的安排上，對于概率內容的編排符合螺旋上升原則，在小學階段僅五年級接觸了“可能性”.初三在給出隨機事件定義的同時開始接觸到一些簡單的概率（通常是簡單的古典概型）求算方法，實際上義務教育階段對概率的學習要求較低.而高中階段，除了加深對隨機現象和概率的認知和理解，還重視隨機事件概率的求算，還新增了幾何概型、條件概型以及增加對離散型隨機變量及其分布列等內容的學習.其中幾何概型是必修3的內容，高中的每一個學生都要學習，而后兩個內容是選修2-3的內容，一般為文理分科后理科生所學的內容.

2.不同階段對概率相關概念教學目標的變化

小學階段僅要求了解隨機現象，并沒有具體給出“可能性”的定義，也沒有給出概率的定義和學習概率求算.初中階段對“隨機現象”的要求從小學的“了解”上升為“理解”，并開始接觸到概率及其求算方法的相關內容.高中階段還要求了初步體會幾何概型的意義，對于理科生還增加了隨機變量及其分布列等概念，但是大多也停留在“了解”層次，整體的要求其實并不高.

初、高中階段雖分別給出了隨機事件及其概率相關定義，但初中階段對定義的刻畫比較通俗，例如概率的定義“對于一個隨機事件A，刻畫其發生可能性大小的數值，就稱為隨機事件A發生的概率”，而高中階段不僅給出了概率的統計定義、古典定義和幾何定義三種概率定義，描述上也更為嚴謹、數學化.此外，初中要求“知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率”，這實際上也開始接觸了概率的統計定義，但是初中階段僅作為結論，并未對概率的統計定義進行詳細的描述.

3.不同階段對概率求法的變化

小學階段并不要求概率的具體求算，僅要求列出可能發生的結果.初中階段才開始接觸簡單的概率的求算，求算的方法也比較簡單，通常采用列舉法、列表法和樹狀圖法，但到了高中就開始嘗試條件較為復雜的概率的求算，會運用到一些概率運算公式，有些題目甚至需要結合排列組合來進行綜合運算，選修2-3中還增加了離散型隨機變量及其分布列的運用，這也意味著到了高中階段開始對概率的求算有更高的要求.

四、教學建議

新課標中認為概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義[1]，而了解隨機現象，關鍵不在學生是否能準確判斷一個事件發生的可能性，可能性這部分內容淺顯易懂，一般學生都能夠準確判斷出事件發生的可能性，且小學已做了相關的學習，因此教學上不必花費過多的時間在讓學生判斷事件發生的可能性上，而是在于讓學生正確理解隨機事件發生的隨機性及規律性，這也是學生理解的難點，因此在教學中教師應當注意以下幾個問題.

（一）注意不同階段強調條件上的取舍

從小學到高中三個不同階段，對于一些語言的表述上也是有變化的，例如小學將骰子描述為“六個面上分別寫著數字1～6的正方體”，初中階段還強調“質地均勻”，而高中階段又僅描述為“骰子”，這樣一種變化與不同階段學生心理和認知變化的不同不無關系，小學生認知水平較低，對抽象的事物難理解，需要具體說明，但又不宜解釋過多條件，因為信息量一多他們無法接受.初中生認知比小學生成熟點，但處于思維跳躍、反叛的階段，不強調質地均勻的條件，他們會拿“質地不均勻”的情況做比較，產生理解上的混亂.而高中生思維趨于較平穩的狀態，加上初中已強調了相關條件，他們能理解，因此不必過于強調質地均勻不均勻的條件.即在教學中教師要懂得把握重點，該解釋的要解釋，該強調的也務必要強調，不需要過多強調的也要適當地舍棄.

（二）注重引導學生正確理解隨機現象

隨機現象的不確定性主要體現在試驗結果的不確定上，與一些現象，如說一個人長得高或矮、漂亮或丑陋等等不同，這些現象的不確定是由于對現象本身定義的模糊不清造成的，即這些現象本身并沒有明確的界定，見仁見智而已，我們將之稱為模糊，而不是概率所研究的隨機.

而對于類似存在不存在外星人這樣的事件，雖與隨機現象一樣都是結果是不確定的，但對外星人是否存在的結果的不確定，是因為我們并沒有研究出答案，若有答案，那么這個答案是確定的，有就是有，沒有就是沒有，不存在結果的偶然性.因此，隨機現象結果的“不確定性”要強調在一定條件下進行重復試驗，實驗前無法預知結果是哪個，但并不是所有無法預知結果的事件都稱為隨機事件[3].

由于隨機現象較抽象，學生容易出現類似上述理解上的偏差和困惑，但隨機現象是學習概率的基礎，學生若對隨機現象不能正確理解，就難以進行概率的教學，因此教師一定要解釋清楚隨機現象.

（三）鼓勵學生動手實驗

正確區分隨機事件發生的隨機性和規律性是概率學習的一個難點，可能會有學生因沒有正確區分這兩者而產生類似這樣的誤解：隨機性體現在中獎概率為110 000，買1張可能中也可能不中，規律性體現在我買10 000張獎券就必定能夠中獎.突破這個難點的方法是化抽象為具體，讓學生有直接的感知，具體操作在人教版必修3的教師用書中有解釋，在這就不多贅述，但需要注意的是，雖然現在計算機普及，但初、高中教材中都給出了擲硬幣的實驗，強調讓學生親自動手實驗，因此教師不可為了節省時間直接使用計算機來代替讓學生親自動手實驗.

（四）不要過于注重計算

新課標中指出，古典概型的教學不要把重點放在“如何計數”上，這樣容易導致學生能聽懂，但不會做題.計算隨機事件的概率作為高中概率學習的一個重要內容，無疑在高中概率教學中占據著一個較大位置，但是它不等同于簡單的計算題，不是單純套公式進行計算，教學應當注重讓學生經歷從特殊到一般地概括出具體的概率模型的過程，培養學生識別概率模型的能力[6]，加深學生對概率模型內涵的理解.

學生對概率的學習從五年級開始接觸概率起，經歷了三年左右的空白期后，在九年級繼續概率的學習，時間的跨度雖然比較長，但義務階段的概率學習難度并不算大，可是緊接著的高一就又要加深對概率模型的學習，由于高中數學更為嚴謹、抽象而導致學生學習困難，不僅要處理好確定性思維到隨機性思維的轉變，而且增加了新的內容，這意味著難度和容量的雙重增加，無形中給學生的學習和教師的教學帶來壓力，因此把握好概率內容初、高中的銜接是比較重要的.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]程海奎.概率與統計難點分析及教學建議[J].中國數學教育，2010（06）.

[4]賀清倫.初中數學“統計與概率”教學主線分析[OL].http：//www.docin.com/p-1418516690.html，2016-1.

[5]王書臣，蔣永麗，劉長華.新課程教學設計（數學）[M].沈陽：遼寧師范大學出版社，2002.

[6]張丹.新課程理念下的統計與概率教學[J].數學通報，2005，44（1）.