例談與導數相關的不等式證明問題的教學策略

彭國榮

【摘要】近幾年高考關于導數綜合應用考查中，常會涉及不等式的證明問題，構造函數法是解決不等式證明常用的有效方法之一.本文通過一個例題，對復雜函數的不等式證明問題進行歸納方法，總結規律.

【關鍵詞】導數；函數；構造函數法

【基金項目】湖北省教育廳人文社會科學研究項目（16Y111）：問題導向教學在數學教學中的應用研究.

一、背景引入

近幾年數學高考卷都會涉及導數的一個大題，其第（1）問?？疾閷档膸缀我饬x，討論函數的單調性；第（2）問涉及導數的綜合應用.其中利用導數來證明不等式是導數綜合應用的一個難點，也是近幾年高考的熱點[1].

解決這類問題常用方法是構造函數，即把不等式證明轉化為研究函數的單調性或最值的問題，再用導數解決，從而證明不等式成立.常用的構造函數證明不等式的方法有以下幾種方法：

1.移項構造函數法.

2.換元法構造函數.

3.同取對數后構造函數.

4.從所給的已知形式上構造函數.

5.利用二次構造函數求導證明不等式.

如何構造出恰當的函數來證明不等式是解問題的關鍵.主要原則是，觀察結構特征，化繁為簡，化生為熟.很多導數綜合問題都是某幾個初等函數的組合體，如果適當的分解或變形就一定能找到問題的突破口，使問題簡單化，明確化.

二、實例分析

[1]杜志建.試題調研（第1輯）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2015：57.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2014：56-58.