凸顯數學本質，關注智慧成長

吳登峰 朱志明

從教育的使命“教書育人”的角度分析，教育具有雙重性，即教育的知識性和智慧性.知識只關乎事物，智慧卻關乎人生；知識是理念的外化，智慧是人生的反觀.從人的全面和自由發展的意義上講，知識的地位和作用是基礎性和工具性的，而智慧一方面涵蓋了知識，另一方面又超越了知識，直達人的自由和自覺，直達人的有意義生活.[1]因此，教育不能止于知識的傳承，而是要通過知識的學習引導人的智慧成長.本文通過“生活中的比”的教學，談一些關于“凸顯數學本質，關注智慧成長”的淺見，敬請同行們研教.

一、溯源——在數學概念的引入中，促進學生智慧的萌生

問題情境：用現有的條件能解決下面兩個問題嗎？

（1）淘氣班有45人，笑笑班有35人，哪個班擁擠？

（2）A號茶杯放入25 g蔗糖，B號茶杯放入同樣的蔗糖30 g，哪個茶杯的糖水甜？

（同桌兩人各選一題，思考后交流，再全班匯報.）

師：這兩題用現有的條件能解決嗎？認為能解決的請舉手（學生舉手），認為不能解決的也請舉手（學生舉手）.

師：勢均力敵.認為能解決的請亮出你的觀點，認為不能解決的也請亮出你的觀點.

生1：人多就會擁擠，所以淘氣班擁擠.放入糖多就會甜，所以B號茶杯的糖水甜.

生2：光看人數，不能判斷擁擠，還要看面積的大小.

生3：哪個茶杯的糖水甜，不能光看放入的糖多少，還要看里面水的多少.

小結：判斷擁擠與糖水甜的情況，不能用一個量刻畫，需要“兩個量結合”.

板書：兩個量結合

師：現在老師把條件補充完整，請同學們繼續解決這兩個問題.

[在第（1）題上補充條件：淘氣班的教室長9米、寬7米，笑笑班的教室長7米、寬6米.在第（2）題上補充條件：A號茶杯原有水100 mL，B號茶杯原有水120 mL.]

生1：9×7÷45=63÷45=1.4（m2/人），7×6÷35=42÷35=1.2（m2/人），所以笑笑班擁擠.

生2：25÷100=0.25（克糖/毫升水），30÷120=0.25（克糖/毫升水），所以一樣甜.

師：剛才的“兩個量結合”，是用什么計算方法來處理的？

生：除法.

板書：兩數相除.

師：兩個數的運算可以用加、減、乘和除，在這里為什么不用加法、減法或乘法？

生：不同的量不可以相加、相減，人數與面積相乘、水與糖相乘沒有意義.

師：解決這兩個問題有什么共同之處？

生：要考慮兩個量，這兩個量用除法計算.

師：是的！這兩個問題都不能用一個量刻畫，必須用兩個對等的量來刻畫.像這樣的“兩數相除”叫作兩數的比.

（在“兩數相除”的下面再板書“兩數的比”.）

分析荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾強調，“現代數學在建立數學概念的方法上，已從典型的通過‘外延描述的抽象化轉向實現‘公理系統的抽象化……它已經成為現代科學方法論的普遍范例”.[2]以這樣的高觀點指導中小學數學概念教學，不只要求學生理解概念的表層含義，還應著眼于定義概念的過程，學習像數學家那樣思考，了解定義形成的方法和依據，理解蘊含在定義背后的規定和意義，以獲得可靠的數學知識，并在此基礎上進行創造性的學習.[3]數學教師的任務在于尋求數學之源，呈現有價值的數學問題情境，讓學生在解決數學問題的過程中，經歷數學知識的再創造過程.上述教學中，先呈現不完整情境，讓學生思考、交流能否解決，待學生們認為少了一個條件（一個量）時，再出示完整的條件讓學生解決，其實就是讓學生經歷祖先創造“比”的原委——用已有知識難以用一個量闡明類似房間的擁擠程度、液體的濃度、照片的形狀等問題，必須創造一個新概念——“比”，用兩個量刻畫有些事物的屬性.雖然“比”的概念引進或建立是前人的創造，但讓學生回溯“比”的創造之源，實際上是為學生提供智慧萌生的契機.

二、求真——在數學聯系的思考中，實現學生智慧的超越

（一）比與除法、分數的等價格關系

在自學、交流的基礎上，得出了比與除法、分數的如下關系：

學生一邊說，課件一邊演示.

：如果用a表示被除數，b表示除數，請寫出相應的分數和比.

（a÷b=ab=a∶b，b≠0，重點讓學生理解比的后項為什么不能為0.）

師：從相等關系的角度分析，誰來說說比是什么？

生1：比就是除法，被除數是比的前項，除數是比的后項，除號是比號，商是比值.

生2：比就是分數，分子是比的前項，分母是比的后項，分數線是比號.

2.比與除法、分數的區別

師：學到這里，誰有疑問？

生1：比就是除法，比就是分數，為什么還要學習比呢？

生2：比與除法、分數有什么區別呢？

師：這些問題都很有價值，請同學們先完成下面的填空題后再思考.

課件出示填空題：

① 2米長的木頭用去15，還剩（）.

② 48個桃子平均分給3只猴子，每只猴子得到（）個桃子，是用（）計算的.

③ 與圖片A比較像的是圖片（），理由是（）.

A

B

C

在匯報“填空題”答案的基礎上，教師繼續補問.

師：通過這三題的解答，請找一找比與除法、分數的區別.

先小組交流，再全班交流.在全班交流的同時完成下表：

分數除法比

區別不僅可以表示兩個數之間的倍數關系，還可以表示某個具體數量.是一種運算表示兩個量的關系（用兩個可以度量的量刻畫事物）.

師：比表示兩個量的關系，這個關系能說成倍數關系嗎？為什么？

生：不能說成倍數關系，如面積與人數的比，不能說成面積是人數的幾倍，只能說它們的比值是多少.

小結：在“比”中，當兩個量的單位一樣時，可以說成倍數關系；當單位不是同一類時，只能說成比是用“兩個量結合”刻畫事物.如用路程與時間這兩個量的結合（速度）刻畫汽車行駛的快慢.

師：誰來回答，有了除法和分數為什么還要學習比？

生：除法是一種運算，分數不僅可以表示兩個數之間的倍數關系，還可以表示某個具體數量，而比是用兩個可以度量的量刻畫事物.

分析“數學是研究數量關系和空間形式的科學.”[4]所以求“真”是數學學科的秉性.數學的求真精神不僅能夠養成學生獨立發現問題、思考問題和解決問題的良好習慣，還能激發學生追求和堅持“不唯上、不唯書、只唯實”（陳云語）的精神.可見，數學求真的過程正是對學生智慧成長的一次次啟迪與砥礪的過程.如上述的教學中，當課堂得出比與除法、分數的等價關系后，教師先引導學生質疑：“比就是除法，比就是分數，為什么還要學習比呢？”“比與除法、分數有什么區別呢？”再通過“填空題”的解決與交流，使學生理解了比與除法、分數的本質區別——除法是一種運算，分數不僅可以表示兩個數之間的倍數關系，還可以表示某個具體數量，而比是用兩個可以度量的量刻畫事物.這樣的教學，不僅促進了學生體會學習比的必要性，還讓學生在比與除法、分數的聯系與區別的思考、交流中，實現智慧的超越.

為了學生的智慧成長，我們不能局限于就知識教知識，圍繞考點“炒”知識，而應該引導學生不斷地追問是什么？為什么？一定是這樣嗎？還可能怎樣？……充滿思考與叩問的課堂才是啟迪學生智慧成長的溫床.[5]

三、追魂——在數學的應用中，加速學生智慧的發展

在課的尾聲，筆者設計了下面的聯系實際的拓展應用.

課件：《國旗法》規定，國旗的旗面是長方形，長和寬的比是3∶2.

（1）笑笑學校的國旗尺寸是長240 cm，寬160 cm.這樣的尺寸符合《國旗法》嗎？為什么？

（2）楊利偉是第一個上太空的中國人，他在太空中展開了聯合國國旗和中華人民共和國國旗（出示圖片）.請你估計這面中華人民共和國國旗的長為cm，寬為cm.

生1：笑笑學校國旗的尺寸符合《國旗法》，因為240∶160=3∶2.

生2：我估計楊利偉所展開的中華人民共和國國旗長3厘米，寬2厘米.

生3：那也太小了，我估計長24厘米，寬16厘米.

生4：我估計長30厘米，寬20厘米.

師：不猜了.告訴大家吧，楊利偉在太空中所展開的中華人民共和國國旗長15厘米.請問寬是多少厘米？

生：寬10厘米.

師：一定嗎？

生：一定！

師：為什么偏偏是10厘米呢？

生：因為長和寬的比是3∶2，也就是比值是1.5，現在15÷寬=1.5，寬只能是10厘米.

師：我們可以根據不同的場合因素，選用大小合適的國旗，國旗長和寬的尺寸在變，但什么不變呢？

生：長和寬的比值不變.

師：所以，有人曾說，數學是研究變化中的不變.如運算律中運算順序變了，但運算結果不變；平面圖形的等積變形，形狀變化了，而面積未變；今天學習的照片像與不像和國旗的制作要求，長和寬尺寸可變，但比值不變.今后我們要善于抓住事物的不變屬性進行多變.

分析數學教育家波利亞曾說：“解決數學問題，我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直至最終成功地找到某些有用的東西為止.”中學數學是如此，小學數學也不例外.如異分母分數加減，變換成同分母的分數計算；梯形轉化成三角形或平行四邊形，從而推導出其面積公式；不規則圖形變換成規則圖形計算等等.無論怎么變，但某個數學的要素沒有變.[6]有了“比”，又多了一條進行數學變換的途徑.因此，在本課“聯系實際，拓展應用”的環節中，巧妙地滲透“數學變換”的思想方法，是十分必要的.這樣的教學跳出了比的知識范疇，讓學生在鞏固比的知識的同時，不知不覺地感悟了數學的思想方法，進而促進了數學素養的提升.

數學思想是數學的靈魂.數學教育不能滿足于學生對數學知識與技能的掌握，要通過數學知識的學習引導學生去觸摸數學的靈魂，讓學生在解決數學問題的過程中受到數學思想的熏陶，久而久之，學生做事、做人的智慧定會在“潤物細無聲”中茁壯成長.

【參考文獻】

[1][5]顧亞龍.為學生智慧的成長而教——小學數學教育的智慧視界[J].小學教學研究，2014（7）：4-6.

[2]張奠宙.數學教育研究導引[M].南京：江蘇教育出版社，1998：218.

[3]姜榮富.知識特征、認知規律與教學方式的有效選擇[J].小學數學教師，2014（6）：43-47.

[4]教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版，2011：3.

[6]蔡宏圣.教學：從授業解惑到思想啟蒙[J].小學教學，2014（12）：21-23.