極限思想與極限求解方法

張辰銘

【摘要】極限思想是近代數學的一種重要思想，是社會實踐的產物.極限是高等數學中最基本的、最重要的概念，極限思想貫穿了高等數學的整個過程.本文就極限思想的發展和完善做了簡要介紹并對極限求解的常用方法進行匯總.

【關鍵詞】無窮；極限；微積分；函數

一、無窮小和悖論

古希臘有一個哲學家叫芝諾，他提出了“兩段法”來否認人能從一個點到達另一點，理由是正在行走的人從A地出發走到B地，首先他必須通過標有中心的C點，這剛好是AB的中心點.然后，他又得經過路程的34的D點，這是BC的中心點.接著，從D點出發，在到B之前他仍要經過一個中心點，即路程78的E點.從E點出發，他仍然得經過EB的中心點F……由此類推下去，無論距離路程終點B有多么接近，他都得先經過剩下路的中心點.但是，這些中心點是無止境的，哪怕是微乎其微的距離，也總還有一個地方是這段距離的中心點，正因為中心點是走不完的，所以行走的人雖然離終點越來越近，但他始終無法到達終點.

他還提出了“阿里斯基和烏龜賽跑”悖論.阿里斯基是古希臘的半神英雄，是古希臘的第一勇士，以善跑著稱.芝諾指出：讓阿里斯基和烏龜賽跑，烏龜在阿里斯基前方1000米，假定阿里斯基的速度是烏龜速度的100倍，當比賽開始后，若阿里斯基跑了1000米，用了t時間，此時，烏龜又已經跑了10米，當阿里斯基跑完下一個10米時，用的時間為t100，此時，烏龜仍然領先他0.1米，當阿里斯基跑完下一個0.1米時烏龜仍然領先他，以此類推，阿里斯基只能無限接近而不能追上烏龜.

這本來是荒謬的，但芝諾提出的理由又是那樣的正當，以至于長久以來沒有人能駁倒他.縱觀歷史，數學家和哲學家們也一直對無窮這一概念糾纏不清，希臘人也一次一次表現出對無窮及無窮小數的恐懼.特別是在微積分的定義中更是如此.[1]

二、極限與微積分

極限思想是近代數學的一種重要思想，是社會實踐的產物.數學分析就是以極限為基礎、極限理論為工具來研究函數性質的.在我國古代，數學家劉徽于公元263年建立了“割圓術”，就是借助于在圓內的一串內接正多邊形的周長數列來定義圓的周長[2].同樣在古代其他國家，很多哲學家和數學家也在實踐過程中應用了極限思想.

進入17世紀，數學家對曲線的長度問題、面積問題、幾何體的體積問題的解決產生了需求，雖然當時對阿基米德的窮竭法已熟悉，但是對于希臘嚴格的標準失去耐心，一種粗糙的計算方法開始使用.如開普勒在計算求圓的面積時，把圓看成無數個小三角形，這種情況下圓周上的短弧成了三角形的底，半徑是三角形的高，但實際上需要做到這一點時三角形要縮成一條線才可以，所以當時的方法粗糙不嚴謹.到17世紀中葉，牛頓提出使用時間無窮小瞬為計算基礎的流數，從而發現并應用了微積分基本定理，《流數簡論》標志著微積分算法的誕生，但是這個無限小增量“瞬”被看成了靜止的無窮小量，當略去帶0的項時相當于直截了當地令其為零了，這種觀點在概念上是含糊的，在邏輯上也是不嚴謹的.此后，以貝克萊為首的很多人對流數的敘述“模糊不清”進行了指責，最終導致了數學史上的第二次數學危機.[3]

從18世紀開始，法國數學家達朗貝爾就提出把極限理論作為分析的基礎，經過了一個多世紀，通過達朗貝爾、拉格朗日、卡諾、泰勒、貝努利家族、歐拉等幾代科學家的努力，微積分獲得了飛速發展，在18世紀達到了空前燦爛的程度.數學分析與代數、幾何并列成為數學的三大學科，18世紀也被稱為“分析時代”.

到了19世紀，波爾查諾、柯西和維爾斯特拉斯等數學家在極限基礎上建立了嚴格的數學分析體系，通過澄清極限、函數、連續、導數等概念，徹底排除了在微積分過程中涌現出的各種爭議，使分析達到了完美的程度.從此，建立在牢固的極限基礎之上的微積分理論使第二次數學危機宣告解決.

三、極限的求解方法

極限思想貫穿了數學分析的整個過程，本文就極限的重要求解方法進行匯總舉例.

（一）利用函數極限的運算法則

對于大部分函數的極限，一般情況下首先想到的是，是否可用函數極限的運算法則來計算，法則本身簡單易懂，而在使用的時候可以對原函數進行通分、分解、替換等方式進行恒等變換或化簡，以使得新函數可以采用極限運算法則進行計算.

在數學分析求導的過程當中，我們主要對冪函數、三角函數、反三角函數、指數函數和對數函數依據導數的定義來求導，而這幾類函數大部分都是使用這兩個重要極限來幫助計算的，尤其在推導三角函數和指數函數的導數過程當中起到了至關重要的作用，利用這些結果可通過函數運算法則、復合函數的求導法則來求出全部初等函數的導數.而積分又是微分的逆運算，依靠這些導數可以推出大量函數的積分.因此，這兩個極限是微積分的基礎，在整個微積分中起到了橋梁般的作用，所以解題過程中很多函數的極限可以用此方式來求解.

洛必達法則的好處就是在同一算式的計算當中，如果滿足洛必達法則的使用條件，則在極限的求解過程中可多次使用，同時在使用過程中要慎重考慮法則條件中導數的存在性.在實際應用當中該法則的使用頻率也較高，是函數求極限的重要工具，上文中所講的兩個重要極限的求解也可以由該法則來推導得出.

四、小結

函數的連續、函數的求導、函數的積分等等都與極限的概念不可分割，如果要掌握好高等數學必須要掌握好對極限的理解.本文只是列舉出幾種常用的方法，在解題過程中還有其他的方法可以使用，在此不再一一列舉.而在函數的求解過程當中，解題的方法可能不止一個，我們可以選擇適當的方式來處理極限的求解.在學習的過程中我們不能機械地照搬，需要不斷地進行總結、分析，不斷地完善知識的理論與結構，才能在解題的過程中有所發現，有所創新.

【參考文獻】

[1]理查德·曼凱維奇，著.數學的故事[M].馮速，譯.?？冢汉Ｄ铣霭嫔?，2001：196.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2000：34.

[3]韓雪濤.數學悖論和三次數學危機[M].長沙：湖南科學技術出版社，2007：154.