淺談“數形結合”思想在三角函數的應用

王炳權+譚希麗

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.

數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合.如，銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的.

在三角函數這一章的學習中不僅要讓學生掌握特殊角的三角函數值，誘導公式以及三角函數關系，也要讓學生重點把握任意角終邊的位置、三角函數圖像以及三角函數線的應用.接下來我將從以下方面來分析數形結合思想的運用：

一、在任意角中的應用

在任意角的講解過程中，我們將角的范圍擴大到任意角的范圍，同時也給出了一個新的單位制來度量角度——弧度制.我們知道角有始邊，有終邊.終邊的位置由旋轉量和旋轉方向做決定，根據終邊位置的不同我們給出了象限角.在象限角中，我們經常會碰到下面的題型.

已知角α是第二象限角，則角α2為第幾象限角（）.

A.第一象限角和第四象限角

B.第二象限角和第三象限角

C.第一象限角和第三象限角

D第二象限角和第三象限角

在這個問題的解題過程中，就可以通過終邊所在的范圍為第幾象限角來選擇.

∵π2+2kπ<α<π+2kπ，

∴π4+kπ<α2<π2+kπ.

根據角α2象限角的幾何圖形尋找終邊所在的位置如圖1中陰影部分所示.

二、在函數性質的應用

三角函數的圖像是必須掌握的內容，根據圖像我們一眼就能看出來函數的最值、單調性、奇偶性以及三角函數的最小正周期.而圖像是如何得到的，我們需要根據三角函數線的運動來得到的，以正弦函數為例.

正弦函數的幾何做法是在直角坐標系中，在橫軸上找到一點，以該點為圓心，以單位長度為半徑繪圓，通過角的終邊與單位圓的焦點構造直角三角形.線段OB為角α的終邊，有向線段CB則為正弦線，根據正弦線的運動，就可以找到任意角對應的函數.因此找到正弦數的圖像如圖2所示.

三、求焦點的應用

有一道關于正弦函數與正切函數在[0，2π]上有幾個焦點的填空題.這個問題很好地反映了三角函數的圖像是依據三角函數線得到的.如果忽略三角函數線的關系，三角函數在所畫的圖像中就會出現五個焦點.在第一象限內正切線的值都比正弦線的值大；在第二象限內正弦線的有向線段的值為正的，而正切線的值為負的；第三象限的情況正好與第二象限的相反；第四象限正切線的值都比正弦線的值小；只有在正弦線和正切線的值都為0時，兩條線的大小相等，方向相同，此時兩個函數圖像有焦點.在[0，2π]上有三個焦點.所以兩函數的圖像畫的過程要注意焦點.

在三角函數這一章中，要充分利用數形結合思想，化簡中需要注意角的范圍，體會每一象限中三角函數的正負號；函數的單調性、奇偶性、最值問題，可以通過圖像來直接觀察；同樣的給出三角函數圖像，也能求出y=Asin（ωx+φ）中的振幅、周期以及初相.

總觀高中數學，數形結合的思想在高考中的應用也是極其重要的.數與形的結合，形與數的相互轉換，都會讓學生的解題能力得到一定的提高，同時教師也應該在講課中，逐漸將數形結合的思想逐步滲透，從一開始就應該注重函數圖像與解析式的結合，函數的基本性質在圖像中的體現，層層滲透，讓學生更能準確掌握該思想，運用自如.充分把握高考中的一個重要思想.