淺析輪換對稱性在積分計算中的應用

李嘉騏 薛玉梅

【摘要】本文從簡化計算的技巧出發，探索了輪換對稱性在積分計算中的應用，通過分析二者在不同積分區域的二重、三重積分以及曲線積分中的可行性和使用方法，從而總結出常見的使用輪換對稱性計算積分的情況，以簡化計算.

【關鍵詞】輪換對稱性；簡化計算；積分；被積函數；積分區域

【中圖分類號】O172【文獻識別碼】A

【基金項目】2015年北京航空航天大學“凡舟”獎教金項目、北航重大教改項目（面向對象的數學公共課實踐）資助.

一、引言

在定積分的計算中，我們常利用積分區間的對稱性，結合被積函數的奇偶性，可以極大地簡化計算的過程.那么，在重積分的計算中，類似地，我們可以利用積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性使計算更為簡便.相應地，我們還可以發現，在曲線積分中也有這樣的結果.

在解決實際問題的過程中，我們不難發現，積分區域的高度對稱性實際上表明了變量x、y、z之間的某種可相互替代性，這便是輪換性.一般來說，先使用輪換性簡化被積函數或使其形式易于化簡，之后再利用對稱性來解決問題，可以極大地減小我們在解決問題中的工作量.

本文將從不同類型的重積分區域和曲線積分入手去探討輪換對稱性在積分計算中的應用.同時探究被積函數的形式為變量平方的和與變量和的平方時在相同積分區域中結果的異同.

二、問題討論

輪換對稱性的應用場景十分廣泛.本文針對實際解決問題的需要，選用了較為常見的五種情況，分別是積分區域為圓、積分區域為橢圓、一般積分區域、對稱性較為欠缺與對稱曲線積分，結合典型例題進行對比討論.每種情況中也會對被積函數的不同形式（主要是變量平方的和與變量和的平方）進行對比.

本文中坐標的等價指的是在積分運算中，x、y、z坐標可以彼此相互替換，而不影響運算的結果.

（一）積分區域為圓

圓形積分區域具有高度的對稱性，在此區域內，坐標x、y彼此等價，因此也可利用輪換性來簡化計算.

例1.1計算D（x2+y2）dxdy，其中D為圓x2+y2≤R2.

分析根據圓的對稱性，x，y兩個坐標彼此等價，因而可以利用輪換性求解.但本題中被積函數為x2+y2，顯然采用極坐標變換求解更為容易.本例說明了圓形積分區域簡化計算的一種思路，但并非最簡解法.

例1.2計算D（x+y）2dxdy，其中D為圓x2+y2≤R2.

分析（x+y）2=x2+y2+2xy，對于x而言，2xy在圓形區域中是一個奇函數，因此該部分積分值為0.所以本例的積分結果與上例中相同.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

（二）積分區域為橢圓

橢圓積分區域仍具有高度的對稱性，但相比圓形積分區域，兩個坐標失去了等價性，因此不能夠利用輪換性來簡化計算.

例2.1計算D（x2+y2）dxdy，其中D為橢圓x2a2+y2b2≤1.

分析由于橢圓具有對稱性，因此可以利用對稱性來簡化計算.但本題中被積函數為x2+y2，顯然采用廣義極坐標變換求解更為容易.本例說明了圓形積分區域簡化計算的一種思路，但并非最簡解法.

例2.2計算D（x+y）2dxdy，其中D為橢圓x2a2+y2b2≤1.

分析（x+y）2=x2+y2+2xy，對于x而言，2xy在橢圓區域中是一個奇函數，因此該部分積分值為0 所以本例的積分結果與上例中相同.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

（三）一般積分區域

對于一般積分區域，顯然不一定具有對稱性，同時坐標的等價性也不一定存在，因此輪換對稱性不可使用. 這里我們重點探討在一般區域中上述兩種情況里面的等式是否成立.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

例3.1計算D（x2+y2）dxdy，其中D為矩形x∈[a，b]，y∈[c，d].

分析由于積分區域并無對稱性，因而采用常規方法計算.

解原式=∫badx∫dc（x2+y2）dy

=∫ba（d-c）x2+13（d3-c3）dx

=13（d-c）（b-a）（a2+b2+c2+d2+ab+cd）.

例3.2計算D（x+y）2dxdy，其中D為矩形x∈[ a，b]，y∈[c，d].

分析 由于積分區域并無對稱性，因而采用常規方法計算.

解 原式=∫badx∫dc（x+y）2dy

=∫ba（d-c）x2+（d2-c2）x+13（d3-c3）dx

=（d-c）（b-a）

13（a2+b2+c2+d2+ab+cd）+12（a+b）（c+d）.

可見，上述等式不成立.

D（x2+y2）dxdy≠D（x+y）2dxdy.

（四）積分區域對稱性不足

考慮積分區域為一個半球時，并設這個半球恰巧是以原點為球心的球在xOy平面之上的部分. 那么積分區域關于x軸和y軸是對稱的，而關于z軸不是對稱的.

那么在這種情況下如何應用輪換對稱性來簡化計算重積分呢？我們通過兩個例子來對比說明.

例4.1計算V（x2+y2+z2）dxdydz ，其中V為半球x2+y2+z2≤R2（z≥0）.

分析 由于積分區域是上半球，x、y、z三者的等價性沒有了，但是x、y兩者依然是等價的，但是對x、y兩坐標使用輪換性并不是解決問題的最佳思路，因此我們利用圖形的特殊性而采用“先二后一”法.

延伸拓展：通過上面的分析，我們發現，若區域關于某一變量對稱，且變量在被積函數表達式中具有奇偶性，那么不論與之相乘的另一變量在這一區域上是否對稱，積分結果（或者說被積函數可否化簡）僅與在該區域上對稱的變量有關，而與另一變量無關.

對于對稱曲線積分，上述結論仍然成立.

三、結論

（一）對于重積分而言

①積分區域為圓（球）時，區域有對稱性、坐標彼此等價.計算積分時，先利用輪換性減少被積函數中自變量的個數，再利用積分區域對稱性結合函數的奇偶性簡化計算.在這種情況下：

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

②積分區域為橢圓（橢球）時，區域仍然有對稱性，但坐標彼此不再等價，此時各坐標的輪換性不復存在.計算積分時，可利用區域對稱性結合函數的奇偶性簡化計算，但不能再使用輪換性.在這種情況下：

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

③一般的積分區域中，區域不一定對稱，且坐標不一定具有等價性，此時不可使用輪換對稱性.計算積分時，按照常規的方法計算或者采用坐標變換的方法進行計算.在這種情況下：

D（x2+y2）dxdy≠D（x+y）2dxdy.

④若積分區域對稱性不足，則對于仍然等價的坐標，可利用輪換對稱性進行化簡；而對于其他坐標，利用常規方法計算即可.在這種情況下：

V（x2+y2+z2）dxdydz=V（x+y+z）2dxdydz.

（二）對于對稱曲線積分而言

當曲線對稱時可使用對稱性簡化計算；當曲線中各坐標等價時可使用輪換性簡化計算.計算積分時，利用輪換對稱性化簡被積函數進而簡化計算，或是將被積函數構造成與曲線形式相近的被積函數表達式，可以極大地簡化計算過程.在這種情況下：

∫l（x+y+z）2ds=∫l（x2+y2+z2）ds.

總而言之，對稱性與輪換性的合理使用是簡化積分運算的關鍵，有時可以使計算變得非常簡便.我們在平時的解題過程中要注意這一點，這對我們的學習是大有裨益的.

另外，輪換對稱性只是簡化積分計算的一種思路，但積分計算的最簡方法是由被積函數的特點所決定的，有時采用極坐標（或柱坐標與球坐標）變換來計算積分會更加簡便，如上文中例1.1、例2.1所示的情況.所以要根據被積函數的特性，靈活選取計算積分的方法.

【參考文獻】

[1]楊小遠，孫玉泉，薛玉梅等.工科數學分析教程：下冊[M].北京：科學出版社，2011.