探討微積分在研究隨機現象中的妙用

彭章艷

【摘要】本文從經濟學、物理學、數學建模算法中隨機現象的實例出發，體現了微積分算法在其中的妙用.又從微積分運算研究隨機現象的角度，闡述了微積分運算的具體應用，從而在今后的研究隨機現象中，將微積分這一數學工具積極運用起來.

【關鍵詞】微積分；概率論；數理統計；隨機現象；數學模型

隨機現象在現實生活中處處可見，通常是指事前不可預言的現象，即使在相同的條件下重復進行，每次結果也未必相同，或只知道事物過去的狀況，但未來的發展卻不能完全肯定.它是概率論研究的主要對象，隨著概率論中隨機變量的引入，將隨機試驗的“結果”與“實數”對應起來，統一化、數量化，給用微積分研究隨機現象帶來了極大的方便，可以說微積分是解決一些計算問題必不可少的計算工具，是概率論與數理統計發展的保證，也是一種應用最廣泛、最直接、最有效、最富創造力的數學方法.

一、用微積分運算經濟學中的不確定性

微積分，是現代數學的重要基礎與起點，內容主要包括函數、極限、微分學、積分學及其應用.函數是微積分研究的基本對象；極限是微積分的基本概念；微分和積分是特定過程、特定形式的極限.在自然科學領域中已有非常廣泛的應用，同時也是經濟、社會、人文等領域的研究工具.特別是經濟學與現代數學關系更是密切，據統計自1969年起建立的諾貝爾經濟學家獎的得主有半數以上得益于有效地應用現代數學，這是一個多么誘人的前景.

眾所周知，經濟活動通常是在不確定性的環境中進行，這種隨機現象對經濟活動不但有很大的影響，有時甚至有決定性的作用.為尋求經濟的有關規律，就要通過數學計算精準地對經濟進行預測或決策，因而與微積分就聯系在一起了.下面我們以概率模型來說明人們在日常行為中用微積分尋求決策問題.

如第i個家庭是否決定買住房，與他的收入Xi有一定的聯系，

我們首先建立一個概率模型Ii=β1+β2Xi.

Xi——第i個家庭的收入；Ii——不可觀測的效用指數，

Ii值越大，擁有住房的概率越大，令Y=1，擁有住房；0，否則.

Ii買房門檻值，如果Ii值超過了Ii，該家庭將擁有住房，否則不擁有.

給定正態分布的假定，Ii≤Ii的概率可由標準化正態積分計算.

Pi=Pr（Y=1）=Pr（Ii≤Ii）=F（Ii）

=12π∫Ii-∞e-t22dt

=12π∫β1+β2Xi-∞e-t22dt.

其中t～N（0，1）.

通過這一模型，在這里又體現了微積分的妙處，它能把很多隨機的現象，看來不是數，但可根據需要設定實數來表示，并利用積分進行，以便對采取的決策和行動提供依據和建議，而不是盲目地投資.由此我們可以堅信，數學將越來越精細地刻畫實證經濟學，這對我們許多人而言，使之越來越富有挑戰性，它使我們以新的方式看待和思考世界.

二、用微積分定量分析物理學中的隨機現象

數學是物理研究的工具和手段，物理學的一些研究方法有很強的數學思想，數學對物理學的發展起著重要的作用.經典的數學主要是伴隨著物理發展起來的，從牛頓到拉格朗日，再從拉格朗日到哈密爾頓、龐加萊，其中的牛頓方程，拉格朗日方程和哈密爾頓方程可看作是他們的標志，且隨著科學研究范圍的拓展和實踐水平的提高，人們的科學認識也在迅速地擴展和深化，從這里也可以看出數學和物理學的發展幾乎是完全共生在一起的.

如，我們觀測到的關于氣體分子的運動，分子在x=0時與另一分子碰撞后，它在時刻x以前不與其他分子碰撞，而在（x，x+Δx）這段時間內與其他分子碰撞的概率等于λΔx+o（Δx），其中λ>0，問自由運動時間（連續碰撞之間的時間）大于x的概率如何？

分析：設p（x）為所求的概率，首先我們按題意建立關于p（x）的微分方程，則這個微分方程滿足初始條件的特解就是所求的概率.

若設X為分子的自由運行時間，且P（X>x）=p（x），

則P（X>x+Δx）=p（x+Δx），其中Δx>0，

因為事件X>x可以分解為兩個互不相容事件xx+Δx的并，

所以有

P（X>x）=P（xx+Δx）

=P（X>x）P（X≤x+Δx|X>x）+P（X>x+Δx）.

依題意有P（X≤x+Δx|X>x）=λΔx+o（Δx）.

由此得p（x）=p（x）[λΔx+o（Δx）]+p（x+Δx），

整理為p（x+Δx）-p（x）Δx=-p（x）λ+o（Δx）Δx.

因為當Δx→0時，o（Δx）>0是比Δx高階的無窮小量，即limΔx→0o（Δx）Δx=0，

所以當Δx→0時，取極限得dp（x）dx=-λp（x）.

這就是關于p（x）的微分方程.當x=0時，X>0是必然事件，

有初始條件p（0）=P（X>0）=1，用分離變量法解得到通解p（x）=Ce-λx，

根據初始條件p（0）=1得C=1，所以滿足初始條件的特解為p（x）=e-λx，

這就是我們要求的概率.

在這里我們首先按題意建立了探討物理現象的數學模型——氣體分子自由運行實際概率的微分方程.可見，當我們采用了微分法這一重要的數學方法，就能促進對實際問題的深刻認識，使數學為物理服務.可見一個物理現象產生了，就可用相應的數學模型來理解、表達它.不可否認，微積分對科學的發展和進步起到了巨大的推動作用，可以說沒有數學的微積分，科學中的有些問題就無法解決，更不可能產生相應的技術和生產力.

三、用微積分建模隨機現象及其計算機算法

當我們描述實際對象的某些特性隨時間（或空間）演變的過程、分析它的變化規律、預測它的未來性態、研究它的控制手段時，我們往往會用到數理統計.根據試驗或觀察得到的數據來研究隨機現象，對研究對象的客觀概率性做出種種合理的估計和判斷.為此我們常常要構建一座溝通現實世界與數學世界的橋梁，并以計算機為工具，應用現代計算技術，達到迅速、高效地解決實際問題.

如，我們來看一看關于錄像機的計數器，老式的只有計數器，沒有計時器.經試驗一盤標明180分鐘的錄像帶從開頭放映到結尾，用了184分鐘，計數器讀數從0000變到6061，下面還有一批測試數據如表：

對于上述問題的建模求解，雖然方法有多種，但利用微分法不乏是其中的一種，即用時間序列的數據進行統計分析，推測事物的發展趨勢；可見，隨著計算機技術的迅猛發展、進步、推廣和使用，這些隨機現象參數的統計推斷或最優設計、預測都可借助某些計算軟件（如Matlan、Lingo等）的強大計算功能進行微積分的運算，使之對隨機現象的研究更加便捷.

總之，隨機現象在現實世界中大量存在，而微積分總是如影隨形，并且研究隨機現象的微積分在科學技術的各個領域也越來越得到廣泛的應用和發展，隨著科學技術的日新月異，微積分還將以其獨特的數學方法、豐富的內容、嚴謹的理論為當今社會眾多科學領域提供解決隨機現象實際問題的高效工具，也必將為隨機現象的深入研究，顯示出其巨大的威力.

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