非完整約束移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制

馬建偉，石佳玉

(河南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

非完整約束移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制

馬建偉，石佳玉

(河南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

針對(duì)非完整約束移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)軌跡跟蹤控制目標(biāo)的需要，設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的控制器，該控制器結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)和動(dòng)力學(xué)控制器兩部分；針對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，采用自適應(yīng)算法對(duì)其未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，針對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法克服未知擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，使速度誤差盡可能地縮小；在Lyapunov穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上證明了系統(tǒng)的收斂性和穩(wěn)定性，該控制算法簡(jiǎn)單有效，易于實(shí)現(xiàn)；仿真結(jié)果表明：該控制策略可以實(shí)現(xiàn)對(duì)移動(dòng)機(jī)器人期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤，驗(yàn)證了算法的有效性。

移動(dòng)機(jī)器人；自適應(yīng)控制；神經(jīng)網(wǎng)路；軌跡跟蹤

0 引言

在移動(dòng)機(jī)器人的控制研究中，一般考慮理想的約束條件，這使得非完整約束移動(dòng)機(jī)器人成為非完整系統(tǒng)的研究重點(diǎn)，作為非完整約束移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的問(wèn)題之一，軌跡跟蹤問(wèn)題已經(jīng)受到越來(lái)越多的關(guān)注，軌跡跟蹤的最終目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的控制器，使實(shí)際軌跡盡可能快速穩(wěn)定的跟蹤到期望軌跡，然而在實(shí)際的工程實(shí)踐中，由于外部擾動(dòng)及系統(tǒng)本身參數(shù)等不確定因素的存在，要達(dá)到快速跟蹤的目的，就顯得尤為困難。

最初的研究大多基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)速度控制率，Aneesh[1]使用積分反推的非線性狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)了全局軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)[2]針對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型使用積分反推的方法，確定非線性控制率，確保了全局漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[3]采用基于積分Backstepping的方法引入一種新的虛擬反饋量，設(shè)計(jì)了機(jī)器人全局軌跡跟蹤算法。Cheng[4]利用反演思想設(shè)計(jì)了基于反饋控制率的全局漸近跟蹤控制器。文獻(xiàn)[5]針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以兩后輪為控制輸入，設(shè)計(jì)了具有全局漸近穩(wěn)定性的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器。但是以上控制器設(shè)計(jì)均為考慮系統(tǒng)未知參數(shù)對(duì)軌跡跟蹤效果的影響，具有一定的局限性。Jia等[6]在充分考慮未知參數(shù)影響的前提下，運(yùn)用自適應(yīng)控制算法實(shí)現(xiàn)其魯棒控制。上述控制算法都是僅僅基于移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)速度控制率，它們都是以完美速度跟蹤為前提的，但是這種前提并沒(méi)有考慮外界干擾等因素的存在，有很大的缺陷。

針對(duì)以上問(wèn)題，結(jié)合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)控制器的方法得到了越來(lái)越多的使用。文獻(xiàn)[7]針對(duì)完美速度跟蹤假設(shè)難以實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器，文獻(xiàn)[8]針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用自適應(yīng)和反演算法，設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器。上述控制器設(shè)計(jì)雖然充分考慮了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，但是并沒(méi)有注意到外界干擾對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[9]，[10]建立了雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，充分協(xié)調(diào)了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)層面的控制。

在研究非完整移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)行學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，并充分考慮外界未知擾動(dòng)和系統(tǒng)本身參數(shù)變化的基礎(chǔ)上，結(jié)合自適應(yīng)控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤控制器.

1 非完整約束移動(dòng)機(jī)器人模型

研究對(duì)象為輪式移動(dòng)機(jī)器人，通過(guò)后輪兩個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的不同可實(shí)現(xiàn)輪式移動(dòng)機(jī)器人的轉(zhuǎn)彎。如圖1所示，移動(dòng)機(jī)器人在笛卡爾坐標(biāo)系{O,X,Y}中的姿態(tài)用q=[xyθ]T表示，其中(x,y)表示參考點(diǎn)P在笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，θ表示笛卡爾坐標(biāo)系與{P,Xc,Yc}之間的夾角，r和2b分別表示機(jī)器人驅(qū)動(dòng)輪的半徑和兩個(gè)驅(qū)動(dòng)的間距，移動(dòng)機(jī)器人兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪中心設(shè)為點(diǎn)M，重心位置為P。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人

n維系統(tǒng)狀態(tài)并受m維約束的非完整移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為:

B(q)τ-AT(q)λ

(1)

其中:m表示移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)量，I表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，τr和τl分別表示移動(dòng)機(jī)器人右輪和左輪的力矩。

移動(dòng)機(jī)器人非完整約束可以表示為：

(2)

選擇一個(gè)n-m維矩陣S(q)為A(q)零空間的一組基，所以有：

A(q)S(q)=0

(3)

由式(2)和式(3)可以得到ν(t)作為控制輸入的系統(tǒng)狀態(tài)與其的導(dǎo)數(shù)非線性關(guān)系：

(4)

其中:νp和ωp分別為機(jī)器人線速度和角速度。

機(jī)器人的線速度和角速度與其驅(qū)動(dòng)輪的角速度之間存在如下關(guān)系：

(5)

其中:ωr和ωl分別為機(jī)器人驅(qū)動(dòng)輪右輪和左輪的角速度，所以運(yùn)動(dòng)學(xué)方程又可以表示為：

(6)

(7)

其中參數(shù)矩陣為：

式(7)可以重新表示為：

(8)

(9)

2 控制器設(shè)計(jì)

分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的角度分析移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，圖2是機(jī)器人控制結(jié)構(gòu)框圖，采用基于單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方法，這樣可以使機(jī)器人的實(shí)際速度可以平滑地跟蹤參考控制輸入。

圖2 移動(dòng)機(jī)器人控制結(jié)構(gòu)框圖

其中，q=[xyθ]T表示機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，用qr=[xryrθr]T表示參考運(yùn)動(dòng)軌跡。

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

(10)

位姿誤差變化率可以表示為：

(11)

根據(jù)及誤差公式(9)選擇用于跟蹤的控制輸入：

(12)

其中，k1和k2均為正數(shù)。

(13)

位姿誤差變化率式(10)又可以表示為：

(14)

定義Lyapunov函數(shù):

(15)

其中，γ1和γ2為正數(shù)，對(duì)式(15)求導(dǎo)得到：

(16)

取未知參數(shù)自適應(yīng)率：

(17)

將式(17)代入式(16)得：

2.2 動(dòng)力學(xué)模型的神經(jīng)網(wǎng)路控制器設(shè)計(jì)

由于在實(shí)際情況下，移動(dòng)機(jī)器人不能實(shí)現(xiàn)對(duì)于速度控制率完美假設(shè)，所以必須設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)模型控制器以保證其速度達(dá)到預(yù)期速度控制率的要求，在考慮系統(tǒng)外界擾動(dòng)和本身不確定性的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。

定義速度誤差：

(19)

其中，νc表示理論角速度，ν表示實(shí)際角速度。設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)模型控制器的目的是使速度跟蹤誤差ec趨近于零。

對(duì)式(19)求導(dǎo)，可以得到：

(20)

(21)

(22)

其中:τNN是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出力矩，k3是正定對(duì)角增益矩陣，φ用于補(bǔ)償系統(tǒng)未知擾動(dòng)量。從機(jī)器人控制結(jié)構(gòu)框圖可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出可以表示為：

(23)

將式(22)代入式(21)，同時(shí)結(jié)合式(23)可以得到：

(24)

φ=kdecsign(ec)

(25)

其中:kd是正定增益矩陣，并且滿足min(diag(kd))>bd。

2.3 穩(wěn)定性分析

采用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

L=L1+L2

(26)

(27)

(28)

(29)

其中:k3min，kdmin分別是k3和kd的最小奇異值。

(30)

式(27)可以化簡(jiǎn)為：

(31)

綜上所述，在李雅普諾夫理論的基礎(chǔ)上構(gòu)造的上述控制器可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制。

3 仿真研究

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，在MATLAB環(huán)境下，通過(guò)系統(tǒng)跟蹤期望直線軌跡，對(duì)本文算法做出了仿真研究，選取機(jī)器人參數(shù)為：

m=10 kg，I=5 kg·m2，R=0.75，r=0.15，d=0.3。

仿真效果圖如圖3～圖8所示：

圖3 移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤

圖4 軌跡跟蹤位姿誤差

圖5 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)估計(jì)

圖6 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值

圖7 驅(qū)動(dòng)輪角速度

圖8 驅(qū)動(dòng)輪角速度跟蹤誤差

仿真結(jié)果表明：系統(tǒng)對(duì)未知運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行了快速識(shí)別，在存在初始位姿誤差的基礎(chǔ)上，在0.5 s時(shí)間內(nèi)，控制器能夠使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)軌跡的快速、穩(wěn)定跟蹤控制，軌跡跟蹤過(guò)程中，軌跡跟蹤發(fā)誤差和驅(qū)動(dòng)輪角速度跟蹤誤差都較小，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的控制要求，在存在外界擾動(dòng)和系統(tǒng)本身參數(shù)變化的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)了控制器本身的魯棒性和穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制問(wèn)題，提出了一種簡(jiǎn)單有效的控制算法，集中解決了系統(tǒng)未知參數(shù)和外界擾動(dòng)對(duì)控制效果影響較大的問(wèn)題，通過(guò)Lyapunov理論分析其穩(wěn)定性，并對(duì)直線軌跡進(jìn)行了實(shí)時(shí)跟蹤。仿真結(jié)果表明：該控制方法具有良好的控制效果，后續(xù)還將進(jìn)一步研究，考慮更多地外界因素，如軌跡跟蹤目標(biāo)的變化以及地形因素等，同時(shí)考慮在工程實(shí)踐中進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證，以增加該控制器的實(shí)用性。

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Trajectory Tracking Control of Mobile Robot with Nonholonomic Constraints

Ma Jianwei，Shi Jiayu

(Department of Information Engineering, Henan University of Science & Technology,Luoyang 471023, China)

For kinematics and dynamic model of nonholonomic mobile robot, according to the need of trajectory tracking control target, this paper designs a simple controller, which includes a kinematics controller and a dynamic controller. For the kinematics model, this paper uses the adaptive algorithm to estimate the unknown parameters. For the dynamic model, this paper uses the monolayer neural network algorithm to overcome the effect of unknown disturbance for system stability as far as possible and reduce the velocity error. On the basis of theory of Lyapunov stability, the convergence and stability of system are proved. The algorithm is simple and effective, and it is easy to implement。 The simulation results show that the control method can achieve the stable tracking for the desired trajectory of the mobile robot and demonstrate the effectiveness of the algorithm.

mobile robot; adaptive control; network; trajectory tracking

2016-10-12；

2016-11-21。

馬建偉(1965-)，男，河南省鞏義市人，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事精確制導(dǎo)、控制與組合導(dǎo)航技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2017)03-0077-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.03.022

TP242

A