《九章算術》與高考數學的完美邂逅

江蘇 王佩其

(作者單位:江蘇省太倉市明德高級中學)

《九章算術》與高考數學的完美邂逅

眾所周知，《九章算術》是流傳到現在的中國最早的一部數學專著.《九章算術》的內容豐富，而且大多和實際生活密切聯系.這些密切聯系實際生活的題材，反映出中國古代先賢的智慧，同時也顯出古代中國數學的研究多以實用性為主.《九章算術》中所蘊含的科學思想可謂極其深邃，如邏輯思想、重驗思想、極限思想、求理思想、創新思想、對立統一思想等.從某種意義上看，當代高中數學與之“一脈相承”，《九章算術》必然會在倡導“學以致用”理念的新課標數學高考中有所體現，于是與《九章算術》有關的高考題或模擬題應運而生，從這些試題中，我們可以看到《九章算術》與現代高考的優美結合，看到中華古代文明與現代文明的交相輝映.下面我們一起來賞析幾例.

一、《九章算術》與算法初步

【例1】下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=

( )

A.0 B.2

C.4 D.14

【答案】B.

【解析】逐一寫出循環：a=14，b=18→a=14，b=4→a=10，b=4→a=6，b=4→a=2，b=4→a=2，b=2，結束循環.

【點評】本題將《九章算術》中的“更相減損術”設計成算法初步試題，用算法初步體現《九章算術》的計算原理，古為今用，新穎別致.

【變式】我國古代名著《九章算術》用“更相減損術”求兩個正整數的最大公約數是一個偉大的創舉，這個偉大創舉與我國古老的算法——“輾轉相除法”實質一樣，如圖的程序框圖即源于“輾轉相除法”.當輸入a=6 102，b=2 016時，輸出的a=

( )

A.6 B.9

C.12 D.18

【答案】D.

【解析】6 102=2 016×3+54，2 016=54×37+18，54=18×3，18是54和18的最大公約數，∴輸出的a=18.

二、《九章算術》與概率統計

【例2】我國古代數學名著《算術九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送米1 534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為

( )

A.134石 B.169石

C.338石 D.1 365石

【答案】B.

【點評】本題以《算術九章》中“米谷粒分”為背景，增強了數學文化的色彩，考查了簡單隨機抽樣問題，屬于基礎題.

【變式】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3.假如這堆米中均勻地混進了沙粒，且1斛米中含有10顆沙粒，則估算出堆放的米中約有沙粒

( )

A.140顆 B.220顆

C.360顆 D.660顆

【答案】B.

故堆放的米中約有沙粒為10×22=220(粒).

三、《九章算術》與數列

【例3】《九章算術》是我國古代數學名著，在其中有道“竹九問題”，“今有竹九節，下三節容量四升，上四節容量三升.問中間二節欲均容各多少？”意思為：今有竹九節，下三節容量和為4升，上四節容量之和為3升，且每一節容量變化均勻(即每節容量成等差數列).問每節容量各為多少？在這個問題中，中間一節的容量為

( )

【答案】C.

【解析】設從最下節往上的容量構成等差數列{an}，公差為d.

中間為第五節，

【點評】《九章算術》博大精深，幾乎涵蓋當代數學的全部內容，本題以“竹九問題”為“引子”，考查了等差數列的基本量.

【變式】我國古代數學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：

第二步：將數列①的各項乘以n，得數列(記為)a1，a2，a3，…，an.則a1a2+a2a3+…+an-1an等于

( )

A.n2B.(n-1)2

C.n(n-1) D.n(n+1)

【答案】C.

【解析】a1a2+a2a3+…+an-1an

四、《九章算術》與立體幾何

【例4】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE.

(1)證明：PB⊥平面DEF.并判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由.

【解析】(1)證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.

而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.

又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC.

而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC.

而PB?平面PBC，所以PB⊥DE.

又PB⊥EF，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

(2)如圖所示，在面PBC內，延長BC與FE交于點G，連接DG，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.

由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.

又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.

而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.

故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角.

【點評】此題背景源于《九章算術》卷第五《商功》之[一五]:今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何；之[一六]:今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣，高七尺.問積幾何.考題將“陽馬”“鱉臑”相結合，并與課本例題有機整合.巧妙嫁接配合精典設問，和諧優美的考題呼之即出.讓數學教育者與高考學子為之贊嘆！

【變式】《九章算術》是我國古代的數學巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)”，下底面寬AD=3丈，長AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD.EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是

( )

A.4立方丈 B.5立方丈

C.6立方丈 D.8立方丈

【答案】B.

【解析】如圖，設E,F在平面ABCD上的射影分別為P，Q，過P，Q分別作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，連接EH,EG,FN,FM,則平面EGH與平面FMN將原多面體分成四棱錐E-AGHD與四棱錐F-MBCN與直三棱柱EGH-FMN.

由題意得GH=MN=AD=3，GM=EF=2，

EP=FQ=1，AG+MB=AB-GM=2，

五、《九章算術》與解析幾何

【解析】設水深為x，則x2+52=(x+1)2，解得：x=12.

∴水深12尺，蘆葦長13尺，以AB所在的直線為x軸，蘆葦所在的直線為y軸，建立如圖所示直角坐標系.

在牽引過程中，P的軌跡是以O為圓心，半徑為13的圓，其方程為x2+y2=169(-5≤x≤5，12≤y≤13)，①

【點評】本題是《九章算術》中的一道名題，可用現代數學的解析法來解決，體現了數學解題的與時俱進，可以考查考生處理數學問題的靈活性.

六、《九章算術》與幾何證明

【例6】《九章算術》中的邪田意為直角梯形，上、下底稱為畔，高稱為正廣，非高腰邊稱為邪(如圖).已知在邪田ABCD中，以正廣為直徑的半圓與邪相切于E，EF⊥BC，垂足為F，AC與EF相交于M.

(1)求證ME=MF；

【解析】(1)證明：∵邪田ABCD的邪與以BC為直徑的圓相切，∴AB，DC都與半圓相切，∴AB=AE，DC=DE.

又EF⊥BC，∴AB∥DC∥EF.

∴ME=MF.

∴2AB·DC=AD=AE+DE=AB+DC.

【評注】直角梯形即為《九章算術》中的“邪田”，本題以此引入正題，給正題賦予豐富的內涵.考查直線與圓的位置關系，難度不大，卻給人以耳目一新的感覺.

【變式】《九章算術》是我國古代著名數學經典,其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺.問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內的部分).

已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為

( )

A.600立方寸 B.610立方寸

C.620立方寸 D.633立方寸

【答案】D.

【解析】連接OA,OB，OD，設⊙Ο的半徑為R，

∴∠AOD=22.5°，即∠AOB=45°.

∴該木材鑲嵌在墻中的體積為V=S弓形ACB×100≈633立方寸.

(作者單位:江蘇省太倉市明德高級中學)