集合問題常見的處理策略

山東 楊成武

(作者單位：山東省濱州市鄒平縣黃山中學(xué))

集合問題常見的處理策略

集合是高中數(shù)學(xué)一個最基本的概念，是表述數(shù)學(xué)問題的重要工具和載體.集合知識的基礎(chǔ)性地位，使其成為高考必考內(nèi)容.近年來，隨著高考能力立意思想的加強，對集合知識考查的深度、廣度和交匯度都在不斷增大.下面結(jié)合典型例題，介紹集合問題的處理策略.

一、用數(shù)軸解決集合間的包含關(guān)系

【解析】化簡得B={x|(x+3)(5-x)≥0}={x|-3≤x≤5}．由BA，得且等號不能同時取到，解得-8≤a≤2．經(jīng)檢驗，a=2和a=-8均滿足題意，所以實數(shù)a的取值范圍是{a|-8≤a≤2}.

【評注】P?Q的含義是：若x∈P則x∈Q；PQ的含義是：若x∈P則x∈Q，并且P≠Q(mào).在數(shù)軸上表現(xiàn)為一個區(qū)間完全落在另一個區(qū)間的內(nèi)部，但要注意端點是否包含.因此做此類題目一定要有檢驗環(huán)節(jié)，比如中等號不能同時取到，可以求解之后再檢驗一下，否則容易得出錯誤答案.

【變式1】已知集合A={x|-1

【解析】-a+1≤-1且3≤2a-1且-a+1<2a-1，且這兩個不等式中的“等號”不能同時取到，解得a>2.

二、用數(shù)軸處理兩個集合存在公共元素的問題

【例2】已知集合A={x|-1

【解析】(法一)由于集合B的長度長于集合A的長度，又A∩B≠?，則集合A的兩個端點至少有一個在集合B所在的區(qū)間中，如圖(1)，則a+3>-1；或如圖(2),則a<1.

(法二)設(shè)A∩B=?，則a+3≤-1或a≥1，解得a≤-4或a≥1.由題意結(jié)合補集思想得出實數(shù)a的取值范圍是{a|-4

【評注】兩個數(shù)集之間有公共元素，也就是它們表示的區(qū)間有公共的點，通常我們可以利用數(shù)軸，比較兩個區(qū)間的端點即可,注意檢驗等號能否成立．本題采用補集思想解答顯然更簡潔.

【變式2】已知集合A=(-∞,-1]∪[2,+∞)，B=[a,3-a]，A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是________．

(法一)比較區(qū)間端點可知A∩B≠?時，a≤-1或3-a≥2，解得a的取值范圍是a≤1.

三、 韋恩圖(Venn圖)的應(yīng)用

【例3】在開秋季運動會時，某班級共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加徑賽，有8人參加田賽，有14人參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的有3人，同時參加徑賽和球類比賽的有3人，沒有同時參加三項比賽的同學(xué)，問同時參加田賽和球類比賽的有多少人,只參加徑賽的同學(xué)有多少人?

【解析】畫出韋恩圖如圖所示，只參加徑賽的人數(shù)為y=15-3-3=9.設(shè)同時參加田賽和球類比賽的有x人，列式得9+3+5-x+3+x+11-x=28，化簡得31-x=28，解得x=3，故同時參加田賽和球類比賽的有3人，只參加徑賽的同學(xué)有9人.

【評注】對于涉及的集合信息較多或?qū)τ谖唇o元素的抽象集合，研究其關(guān)系或運算時，常可考慮用韋恩圖求解．畫出韋恩圖，將每一個區(qū)域內(nèi)的元素個數(shù)標出來.

【變式3】已知I為全集，集合M，NI，若M∩N=N，則

( )

【解析】因為M∩N=N，所以N?M，畫出韋恩圖(圖略)，所以IM?IN.

四、函數(shù)圖象處理集合之間的包含關(guān)系

【例4】設(shè)集合M={x|x2+2(1-a)x+3-a≤0,x∈R}，集合B={x|-1≤x-1≤2}，若M?B，求實數(shù)a的取值范圍.

【評注】本題集合A是不等式x2+2(1-a)x+3-a≤0的解集[x1,x2]，實質(zhì)上就是函數(shù)f(x)的函數(shù)值小于0時對應(yīng)的x的范圍，在圖形上表現(xiàn)為圖象位于x軸下方的自變量的范圍，[x1,x2]?[0,3]，就是在區(qū)間[0,3]上f(x)的函數(shù)值都不大于0.

【變式4】設(shè)集合M={x|x2+2(1-a)x+3-a≤0,x∈R}，集合B={x|1≤x≤3}，若M?B，求實數(shù)a的取值范圍.

或-1

五、元素不屬于集合的兩種處理方式

【評注】這類問題適合用補集思想,即先求2∈M時a的取值范圍再取補集即可.法2 中容易遺漏4a-1<0(即M=?)這種情況.

六、單元素集合與集合的子集只有一個的問題

【評注】注意只有一個子集與只含有一個元素的區(qū)別.單元素集合有兩個子集，而空集只有一個子集.

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A．4________B．3________C．2________D．1

【解析】由題意，A∩B為單元素集，即雙曲線x2-y2=1與y=t(x+2)+3有且僅有一個交點，則y=t(x+2)+3為雙曲線切線(有兩條)或與漸近線平行(有兩條)，所以對應(yīng)t值的個數(shù)為4，故選A.

(作者單位：山東省濱州市鄒平縣黃山中學(xué))