利用“區(qū)間轉(zhuǎn)換法”探求分段函數(shù)

廣東 張紅紅

(作者單位:廣東省惠來縣惠來一中)

利用“區(qū)間轉(zhuǎn)換法”探求分段函數(shù)

對于自變量x不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).顧名思義，分段函數(shù)的圖象往往按區(qū)間被分成若干段.它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).在各類考題中，命題者常常給出分段函數(shù)在某一區(qū)間的表達(dá)式，要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)(或類似這些性質(zhì))推出該函數(shù)在其他區(qū)間的表達(dá)式或相應(yīng)的性質(zhì).有些學(xué)生往往不顧自變量所在區(qū)間盲目代入解析式而導(dǎo)致錯誤.為了避免這種錯誤的發(fā)生，我們直擊這類問題的解決關(guān)鍵：將未知區(qū)間的自變量x轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，再代入已知的表達(dá)式.下面從各個類型闡述這一具體做法.

類型一、求未知區(qū)間的函數(shù)值(將未知區(qū)間的自變量x轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間)

( )

A.2________ B.-1________ C.0________ D.2

【解析】由條件①“當(dāng)x<0時，f(x)=x3-1”，說明題目只告訴我們函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的表達(dá)式，要求解出自變量x=6時對應(yīng)的函數(shù)值f(6).

結(jié)合以上信息，我們嘗試將自變量6轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間(-∞,0).

因為條件③，所以f(6)=f(5)=…=f(1)；因為條件②，所以f(1)=-f(-1)；因為條件①，所以f(-1)=(-1)3-1=-2；綜上所述f(1)=-f(-1)=2.故選D.

類型二、求未知區(qū)間的表達(dá)式(通過“加負(fù)號”轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間——類似奇偶性)

【例2】(2016·山東)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當(dāng)x<0時，f(x)=x3-1；當(dāng)-1≤x≤1 時，f(-x)=-f(x)；則當(dāng)x∈(0,1)時，函數(shù)f(x)的表達(dá)式為________.(改編)

【解析】設(shè)0

【評注】先設(shè)自變量x屬于未知區(qū)間，即0

以上思路可簡化為：設(shè)未知區(qū)間→“加負(fù)號”化到已知區(qū)間→代已知表達(dá)式→通過f(x)與f(-x)的關(guān)系式解得f(x).這樣我們可以求得分段函數(shù)在未知區(qū)間上的表達(dá)式，進(jìn)而探究其他性質(zhì).

【變式2】(2016·山西四市二模)已知函數(shù)f(x)=ex(x≥0)，當(dāng)x<0時，f(-x)=4f(x)，若函數(shù)g(x)=f(x)-ax-a(a>0)有唯一零點，則a的取值范圍為

( )

【解析】設(shè)x<0，則-x>0，則f(-x)=e-x.

因為當(dāng)x<0時，f(-x)=4f(x)，

要使函數(shù)g(x)=f(x)-ax-a(a>0)有唯一零點，

如圖所示畫出兩者圖象.

類型三、求未知區(qū)間的表達(dá)式(通過“加減常數(shù)”轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間——類似周期性)

【解析】設(shè)1

因為當(dāng)-1≤x≤1時，f(-x)=-f(x)，所以f(1-x)=(1-x)3-1=-f(x-1).即解得f(x-1)=(x-1)3+1.

又在區(qū)間(0,+∞)上，f(x)=f(x+1)(理由見例1解析).所以上式即f(x-1)=f(x)=(x-1)3+1.故選B.

【評注】設(shè)出未知區(qū)間1

【解析】設(shè)2k-1

A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】要研究函數(shù)y=f(x)-x的零點個數(shù)，令y=f(x)-x=0，解得f(x)=x，則研究y=f(x)和y=x兩圖象的交點個數(shù).易得函數(shù)f(x)的解析式為：

畫出相應(yīng)的圖象如下(在原點右邊的圖象以類似周期的規(guī)律進(jìn)行變化)：

顯然，兩圖象的交點為O(0,0),A(2,2)，故函數(shù)y=f(x)-x有2個零點(注意B為空點).故選C.

( )

A．(1,+∞) B．[1,+∞)

C．(-∞,1) D．(-∞,1]

【解析】設(shè)0

所以f(x)=f(x-1)=2-(x-1)-1.

同理設(shè)1

可得f(x)=f(x-1)=2-(x-1-1)-1=2-(x-2)-1.

因為函數(shù)g(x)=f(x)-x-a只有一個零點，

即y=f(x)和y=x+a只有一個交點.

畫出兩者圖象，當(dāng)直線y=x+a過(0,1)時，a=1，

顯然當(dāng)a≥1時，y=f(x)和y=x+a只有一個交點.

故選B.

類型四、求未知區(qū)間的表達(dá)式(通過“加減常數(shù)”轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間——圖象類似伸縮與平移變換的疊加)

( )

A．7 B．6 C．5 D．4

【解析】設(shè)x∈[-3,-1]，則x+2∈[-1,1]，

所以此時g(x)的圖象為圓心在原點半徑為1的上半圓.

用同樣的方法可得出其他區(qū)間的圖象，如圖所示.

根據(jù)y=f(x)與y=g(x)兩者的圖象可知，一共有4個交點，所以函數(shù)y=f(x)-g(x)在區(qū)間[-4,4]上零點的個數(shù)為4.故選D.

【解析】當(dāng)x∈[-4,-2)時，函數(shù)f(x)≥t2+2t恒成立，則f(x)min≥t2+2t.

易得f(x)=x2-2x+13,x∈[0,1)的最小值為f(x)>f(1)=12.

因為f′(x)=(xlnx)′=lnx+1>0,x∈[1,2)，

所以f(x)單調(diào)遞增，此時f(x)min=f(1)=0.

綜上，當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)min=0.

所以當(dāng)x∈[-4,-2)時，f(x)min=0.

所以0≥t2+2t，故解得實數(shù)t的取值范圍是[-2,0].

從以上例題可以看出，為了求出分段函數(shù)在未知區(qū)間的表達(dá)式，我們常常設(shè)出自變量x屬于未知區(qū)間，再將不等式兩邊同時乘以-1或同時加上或減去某一常數(shù)，從而將含x的代數(shù)式g(x)變到了已知區(qū)間，再代入已知區(qū)間的表達(dá)式得f[g(x)]，最后經(jīng)過f(x)與f[g(x)]的關(guān)系轉(zhuǎn)化求得f(x)在未知區(qū)間的表達(dá)式.

(作者單位:廣東省惠來縣惠來一中)