解決多元最值問題的八種策略

四川 蔡勇全

(作者單位：四川省資陽市外國語實驗學校)

解決多元最值問題的八種策略

多元最值問題是指含有多個變量,以求解最大值或最小值為目的的一類數(shù)學問題.此類問題具有解答思維靈活、解法多樣、涉及的知識面廣、綜合性強等特點，學生正確解答率普遍較低，因此備受各級各類考試命題者的青睞.本文結(jié)合實例介紹解決此類問題的八種有效策略，旨在探索題型規(guī)律，揭示解答方法，供大家參考.

一、判別式法

若目標函數(shù)通過一定的變形整理成為關(guān)于某一變量的一元二次方程，則可借助“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解時其判別式非負”這一結(jié)論予以解決.

【例1】若實數(shù)x，y滿足log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則|x|-|y|的最小值是________.

【變式1】設實數(shù)x，y滿足x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最值.

【變式2】設實數(shù)x，y，z滿足x+2y-3z=7，求x2+y2+z2的最小值.

【評注】在例1及其兩個變式的解答過程中，均將目標函數(shù)作為一個整體代換為u，再變形整理為關(guān)于u之外的其他變元的一元二次方程，借助該方程有實根時判別式非負這一特點獲解，值得注意的是，變式2反復用到了判別式非負來求解.

二、三角代換

求解多元最值問題時，若已知條件或已知條件變形后與某些同角三角函數(shù)關(guān)系式從形式上相似時，則可考慮用三角函數(shù)代替題目中的字母或式子，然后利用我們所熟知的三角公式進行化簡.

【例2】若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值為

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【變式1】設x，y∈R，且1≤x2+y2≤2，求2x2+3xy+2y2的最值.

【評注】從變式1可以看到，三角函數(shù)的取值范圍為探求多元最值問題提供了一種放縮視角.

【評注】本題利用三角函數(shù)中正、余弦值的有界性，選取適當?shù)牟坏仁竭M行放縮而使問題得以解決.

三、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是指將目標多元代數(shù)式用條件中已有的多元代數(shù)式結(jié)合必要的待定系數(shù)表示出來，再按照一定的技巧求出待定系數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為研究新表達式的相關(guān)指標.

【例3】設實數(shù)x，y滿足3<2x+y≤4，5≤3x-2y≤7，求13x-4y的最大值.

四、引入向量或復數(shù)

向量與復數(shù)是溝通代數(shù)和幾何的重要橋梁，也是解決包括多元最值問題在內(nèi)的眾多數(shù)學問題的有效工具，巧妙運用向量與復數(shù)的性質(zhì)可以使很多問題的解答“柳暗花明”.

【評注】構(gòu)造復數(shù)或向量解答多元最值問題，簡化了運算，有效降低了運算量，起到了事半功倍的解題效果，關(guān)鍵還是要有構(gòu)造意識，善于提煉出復數(shù)與向量這兩種構(gòu)造對象.

五、數(shù)形轉(zhuǎn)化

著名數(shù)學家華羅庚先生曾說過:“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”，可見，數(shù)形轉(zhuǎn)化在處理數(shù)學問題時具有難以替代的優(yōu)越性，事實上，對于多元最值問題，如果數(shù)形轉(zhuǎn)化應用得當，往往能夠化難為易，極大地優(yōu)化解題.

【變式1】如果實數(shù)a，b，c，d滿足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0，那么(a-c)2+(b-d)2的最小值為________.

六、不等式法

這里的“不等式”主要是指基本不等式與柯西不等式，這些不等式關(guān)系及其等號成立的條件為求解多元最值問題創(chuàng)造了得天獨厚的基礎.

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【評注】從上述案例可以看出，在利用基本不等式求解多元最值問題時，有時根據(jù)需要可以將式子巧妙地分解為多個式子的和或乘積的形式.

【例8】設實數(shù)x，y，z滿足x+2y-3z=7，求x2+y2+z2的最小值.

【變式1】設實數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的最值.

【評注】利用柯西不等式解答本題時，關(guān)鍵是根據(jù)條件的特點及其關(guān)系，構(gòu)造柯西不等式應滿足的條件，探尋多個變量間的關(guān)系，從而減少變量的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)解決.

七、配方法

當所給出的多元函數(shù)表達式的結(jié)構(gòu)中蘊含二次關(guān)系時，不妨可考慮利用配方法來予以解決.

【例9】設x，y∈R，求u=x2-2xy+6y2-14x-6y+72的最小值.

【解析】因為u=x2-2xy+6y2-14x-6y+72=(x-y-7)2+5(y-2)2+3≥3，所以當x-y-7=y-2=0，即x=9，y=2時，u取得最小值3.

【變式2】設x，y∈R，求u=(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2的最小值.

【評注】利用配方法求解多元最值問題時，關(guān)鍵要注意兩點，一是看是否能從目標函數(shù)中構(gòu)造出條件式來，二是找出能夠構(gòu)造成完全平方的背景.

八、消元歸一

消元歸一是指通過不斷的代入或?qū)嵤┘印p、乘、除運算，使題目中的多個變量逐漸消去或減少，直至最終只含有一個變量，然后利用函數(shù)知識獲得最值.

【例10】設實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，且x2+y2+z2=3，求xyz的最大值.

(作者單位：四川省資陽市外國語實驗學校)