一道高考解析幾何題帶來的思考

湖北 高豐平

(作者單位：湖北省孝昌縣第二高級中學)

一道高考解析幾何題帶來的思考

2016年的四川高考第20題(解析幾何)需要學生有探究猜想的能力，先通過特殊直線將點找出來，再去證明．該道題目立足現行教材，回歸數學本質，重視基礎知識、基本技能的考查，強調通性通法，注重能力立意，在知識交匯處考查學生的數學思維方法和能力，同時試題在穩定中追求創新，有利于考查學生的數學素養與學習潛能，并且更注重代數與幾何綜合的考查．這種解題思路的變化可能對很多考生來說難以適應．該題立意深遠，其本源是圓冪定理在橢圓(乃至圓錐曲線)中的推廣所得到的相交弦定理、切割線定理、切線長定理等．下面就這方面的內容做幾點思考與探析．

(Ⅰ)求橢圓E的方程及點T的坐標；

(Ⅱ)設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A,B，且與直線l交于點P．證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值．

思考一 該題的解法多樣，較為靈活，具有代表性的解法有如下幾種．如圖1．

【評注】 本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質，考查學生的分析問題解決問題的能力和數形結合的思想．利用解析幾何中的“設而不求”法．可減少計算量，簡化解題過程．

【解法二】(Ⅰ)同解法一．

【評注】該解法使用了直線的參數方程，相較于解法一運算量較小，但參數t的幾何意義并不明顯．下面解法三中的參數t有明確的幾何意義．

【解法三】(Ⅰ)同解法一．

【評注】本解法中的參數t有明確的幾何意義，且為數量．利用一元二次方程中根與系數的關系，得到數量之間的關系，對數據進行整體處理，避免解題過程中求根或找點的麻煩．當然直線AB與橢圓E有交點的情況下，該結論才成立．

當點A,B在橢圓E上時，該值固定，與點P的位置無關，即點P不是固定的．

思考三 更一般的情況是怎樣的？

由式子結構可以聯想到圓中的切割線定理，下面來做一個一般性的推導．

思考四 2016年四川卷文科20題其實考查的就是橢圓中的相交弦定理，與理科題是一對姊妹題．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(作者單位：湖北省孝昌縣第二高級中學)