一道江蘇高考真題的探究引申及應用

湖南 石向陽 劉 丹

(作者單位：湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學)

一道江蘇高考真題的探究引申及應用

一、試題呈現

在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________．

這是2016年江蘇省數學高考第14題，填空題的壓軸題．本題題意清晰，簡潔明了，學生不需要花太多時間讀題、理解題意，且解題思路常規、明了，符合考試大綱的要求．看似平常無奇的問題，卻有著多樣的解法、深刻的背景，完全可以考查出學生的知識面、計算能力等各方面的數學素養．

二、解法探究

解題的目標是求tanAtanBtanC的最小值，是一個多變元三角函數條件最值問題.解題大致方向有兩個，一是函數最值，二是基本不等式.為敘述方便，令u=tanAtanBtanC.

【解法二】由sinA=sin(π-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，又sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC(1)，

在(1)式兩側同時除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC(2)，

把(2)、(3)式代入u,可得

由A,B,C為銳角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，由(3)得1-tanBtanC<0，解得t>1.

三、解法點評

解法四和解法五是基本不等式的方法，比前三種解法顯得更簡捷，關鍵因素是用了一個重要結論：

對于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

這個結論是和角正切公式的變形.課本有關于正切公式的變形的應用.相關的經典變式有：

2.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)·…·(1+tan44°)(1+tan45°)的值；

四、結論及推廣引申拓展

【定理】在任意非直角三角形△ABC中,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

【推論1】若A+B+C=kπ(k∈Z),且tanA,tanB,tanC都有意義，則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

五、應用舉例

【例1】在△ABC中，已知lgtanA+lgtanC=2lgtanB，求∠B的取值范圍.

【分析】此題直接入手很難，但注意到有類似b2-4ac≥0的形式，可用構造方程的方法解題.

而由萬能公式得

【例5】已知△ABC為非直角三角形，∠A>∠B，且tanA=-2tanB，求tanC的最大值.

(作者單位：湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學)