利用恒力矩轉動法驗證剛體轉動慣量正交軸定理

王錦輝，賀莉蓉，楊文明，周 紅，王宇興

(上海交通大學 物理與天文系,上海 200240)

普通物理實驗

利用恒力矩轉動法驗證剛體轉動慣量正交軸定理

王錦輝，賀莉蓉，楊文明，周 紅，王宇興

(上海交通大學 物理與天文系,上海 200240)

利用恒力矩轉動法測量了自制的不銹鋼矩形薄板狀樣品的轉動慣量. 沿長、寬，和垂直于板面3個方向的轉動慣量分別是7.70×10-4kg·m2, 3.23×10-3kg·m2和3.97×10-3kg·m2. 沿長、寬方向的轉動慣量之和基本等于垂直于板面方向的轉動慣量，相對偏差僅為0.84%，驗證了剛體轉動慣量正交軸定理. 分析了由薄板厚度對長、寬方向的轉動慣量貢獻不超過5‰，在實驗中無須考慮厚度的影響. 測量結果表明:固定螺絲、定位銷對測量結果影響不大. 此外還分析了空氣阻尼、塔輪半徑和砝碼質量等因素對實驗結果的影響.

剛體；轉動慣量；恒力矩轉動法；正交軸定理

目前絕大多數國內高校有關轉動慣量的實驗內容是測量剛體(如圓盤、圓環)的轉動慣量及驗證平行軸定理. 對有關驗證正交軸定理的實驗少見報導. 正交軸定理亦稱為垂直軸定理，其主要內容為平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉動慣量，等于繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動慣量之和[1]. 測定剛體轉動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復擺等方法[2]. 本實驗采用恒力矩轉動法測定自行加工的薄板狀剛體不同方向的轉動慣量，很好地驗證了正交軸定理.

1 實驗方法

1.1 測試樣品

樣品為不銹鋼制作的矩形薄板，板長為214.96 mm, 寬為99.96 mm, 厚為5.00 mm. 板的每個側邊分別鉆有2個小孔并攻絲，內徑為3 mm. 利用固定螺絲將薄板豎直地固定在轉動慣量實驗儀[3](型號ZKY-ZS)的轉盤上[如圖1(a)～(b)所示]. 螺帽直徑為10.00 mm，螺桿直徑為3.00 mm. 薄板側邊小孔之間距離與轉盤上小孔之間距離一致. 薄板狀剛體中央固定有一定位銷，直徑為5.00 mm，長為12.00 mm，薄板平放在轉盤上，定位銷正好插入轉盤上的小孔中，使得薄板質心位于轉盤的轉動軸線上. 同時也避免轉盤轉動時，薄板產生相對轉動. 薄板質量為832.0 g，每個螺絲的質量為3.5 g，定位銷的質量為2.0 g.

(a)x方向 (b)y方向 (c)z方向

1.2 實驗結果

實驗選用的塔輪槽直徑為50.08 mm，砝碼質量為49.5 g. 先測量空轉盤勻減速運動(未加砝碼)和勻加速運動(加砝碼)時擋光小棒遮住光電門的時間序列(見表1)，再分別測量加上薄板樣品后沿著不同方向的時間序列(見表2～4).

表1 空實驗臺時間序列

表2 薄板沿x軸轉動時間序列

表3 薄板沿y軸轉動時間序列

表4 薄板沿z軸轉動時間序列

2 數據處理

2.1 角加速度計算

通常有2種方法計算勻變速運動的角加速度β. 一種方法由公式[3]

(1)

角加速度計算結果如表5所示.β1和β2分別為勻減速和勻加速轉動時的角加速度.

表5 計算得到的角加速度

2.2 轉動慣量計算

根據公式[3]

(2)

計算不同情況下的轉動慣量. (2)式中：m為砝碼質量，R為轉盤塔輪半徑，由轉動慣量疊加原理，可計算出薄板不同方向轉動時的轉動慣量(見表6，表中J測為測量值，J理為理論值).

表6 薄板樣品轉動慣量計算結果

由表6可知薄板沿x和y方向轉動的轉動慣量之和相對沿z方向轉動的轉動慣量偏差計算

該結果很好地驗證了正交軸定理. 另外可以利用公式[4]

計算薄板沿不同方向的轉動慣量的理論值，式中l1和l2分別是薄板的寬和長.

表6的結果表明沿x方向實驗值與理論值偏差較大，這主要因為沿x方向[見圖1(a)]，薄板質量分布在轉軸附近，轉動慣量較小，薄板面與豎直軸很小偏離也會引起較大誤差.

3 實驗誤差分析

1)手擰螺絲對實驗結果的影響

假設螺絲質量全部集中在螺帽上，則可計算2個螺絲相對轉動軸的轉動慣量Js為

式中：ms為螺絲質量，Rs為螺帽半徑，ds為螺絲離開轉軸距離.

在圖1(a)情況下盤上固定螺絲2個小孔之間距離為90.02 mm,Js=1.43×10-5kg·m2,相對沿y軸轉動慣量理論值誤差為2.1%.

在圖1(b)情況下,轉盤上固定螺絲2個小孔之間距離為180.34 mm,Js=5.70×10-5kg·m2,相對沿y軸轉動慣量理論值誤差為1.8%.

上述2種情況計算結果表明手擰螺絲對薄板樣品轉動慣量影響不大.

2)定位銷對實驗結果的影響

在圖1(c)情況下，定位銷轉動慣量為6.25×10-9kg·m2,顯然對薄板沿z軸轉動時轉動慣量可以忽略不計.

3)空氣阻尼對實驗結果的影響

在速度較慢的情況下，空氣阻力與轉速成正比. 相比轉盤所受到的摩擦力矩，空氣阻力引起的誤差對結果有較小影響. 利用扭擺法測量薄板樣品的轉動慣量時，發現空氣阻力引起的誤差不超過2%[5]. 對于薄板沿y軸轉動，轉動慣量實驗值與理論值相差僅為0.9%，這也意味著空氣阻尼引起的阻力矩相對摩擦力矩小得多.

4)薄板厚度對測量結果的影響

可用廣義的轉動慣量正交軸定理來考慮樣品厚度的影響[6]. 此時定理為

5)塔輪半徑和砝碼質量的影響

實驗結果表明:塔輪半徑取中等大小時誤差最小，砝碼質量越大誤差越小. 砝碼質量不變時，當塔輪半徑較小時，砝碼重力所提供的外力矩并不是遠大于摩擦阻力矩，阻力矩的波動引起的實驗誤差較大，但當塔輪半徑過大時，轉盤轉不了4圈，也會產生誤差；當塔輪半徑不變時，砝碼質量越大，所提供的外力矩越大，相對而言，摩擦阻力矩的波動影響就越小，相對誤差也就越小. 此結果與文獻[7]報導不一致.

4 結束語

利用恒力矩轉動法測量矩形薄板樣品不同方向的轉動慣量，實驗結果很好地驗證了轉動慣量正交軸定理. 此外還分析了固定螺絲、定位銷、薄板厚度、空氣阻尼、塔輪半徑和砝碼質量等因素對實驗結果的影響.

[1] 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程 力學[M]. 北京：高等教育出版社，1995:178-180.

[2] 劉赟. 教學用轉動慣量測量儀的設計與實驗[D]. 西安：西安理工大學，2009:4-6.

[3] ZKY-ZS/TD轉動慣量實驗組合儀使用說明書[Z].

[4] 田碩. 剛體轉動慣量的幾種計算方法[J]. 中國西部科技，2015，14(6)：82-84.

[5] 孔玥. 阻尼條件下轉動慣量測量技術的研究[D].哈爾濱: 哈爾濱工業大學，2013:31-34.

[6] 周國全. 剛體轉動慣量正交軸定理的推廣[J]. 物理通報，1998(3)：4-5.

[7] 班麗瑛. 剛體轉動慣量實驗中影響阻力矩因素研究[J]. 煤礦機械，2006，27(4)：603-604.

[8] 賈昱,程敏熙,安盟，等. 基于視頻分析軟件Tracker測量剛體轉動慣量[J]. 物理實驗，2014,34(5)：33-35.

[9] 謝亮，張進治，安艷偉，等. 轉動慣量測試儀的設計[J]. 物理實驗，2015,35(7)：27-30.

[10] 汪仕元,朱俊穆,萬軍，等. 對扭擺式剛體轉動慣量測量儀載物裝置的改進[J]. 物理實驗，2013,33(5)：40-42.

[責任編輯：尹冬梅]

Verifying the perpendicular axis theorem of rotational inertia of rigid body using a constant-torque rotational method

WANG Jin-hui, HE Li-rong, YANG Wen-ming, ZHOU Hong, WANG Yu-xing

(Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The moment of inertia of a self-made stainless sheet with rectangle shape had been measured using a constant-torque rotational method. The experimental data were 7.70×10-4kg·m2and 3.23×10-3kg·m2for the rotational axis parallel to long and short edge of sheet, respectively, and 3.97×103kg·m2for the rotation axis vertical to the surface of plate. The sum of the moment of inertia along the long and short edge of the sheet was approximately equal to that along the surface normal of the sheet. The relative error was about 0.84%, perfectly proved the perpendicular axis theorem. It was also shown that the improvement of the moment of inertia by considering the thickness of the sheet was less than 5‰, then it was reasonable to omit the effect of thickness. The experimental results indicated the screws and dowel pin played no important role. Moreover, the effects of air damping, radius of cone pulley and mass of weights were discussed.

rigid body; moment of inertia; constant-torque rotational method; perpendicular axis theorem

2016-05-31

王錦輝(1969-)，男，江蘇淮安人，上海交通大學物理與天文系副教授，博士，主要研究方向為磁性材料.

O313.3

A

1005-4642(2017)03-0011-04

“第9屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文