駐波法測量聲速實驗的探討

邵維科，趙 霞，軒植華

(1.中國科學技術大學 a.少年班學院； b.物理學院，安徽 合肥 230026)

學生園地

駐波法測量聲速實驗的探討

邵維科a，趙 霞b，軒植華b

(1.中國科學技術大學 a.少年班學院； b.物理學院，安徽 合肥 230026)

通過建立起聲波無限次反射的模型，對用駐波法測量聲速實驗的原理進行探討. 利用該模型擬合實驗結果、分析實驗數據和現象，揭示了理論的合理性及尚存的局限.

聲速；駐波；無限次反射

聲速測量作為大學物理實驗的基礎實驗，在許多教材[1-4]中都有出現，在一些具體的實驗題目設計中也有涉及[5]. 在闡述聲速測量的實驗原理時，盡管有些教材[4]給出了正確的電壓-接收與發射換能器位置關系圖，但均簡單地解釋為發射換能器發射的聲波和接收換能器反射的聲波疊加形成駐波，接收器接收到的是駐波在接收器位置的聲壓. 很多文獻[6-9]都對這模型提出了質疑，該模型的缺陷在于其中反射波方程隱含了假設，即反射面在原點，而實際上反射面是在換能器面上. 基于聲波在兩換能器面間無限次反射疊加的構想，建立了更完善的模型，并對模型進行了驗證.

1 駐波模型的缺陷

在媒質中傳播的聲波有3個基本變量：聲壓相對于靜態的增量p、介質微元微振動的速度u、介質的密度相對于靜態的增量ρ. 為方便起見聲學理論將p稱作聲壓，把ρ稱作密度增量. 這里介質微元指的是流體力學中常用的包含一定量介質粒子，宏觀上足夠小、微觀上足夠大的介質塊.

對于空氣中的聲波，若它的3個基本變量只依賴于直角坐標(稱這種聲波為一維聲波)，則在線性近似下，這3個變量互成比例，即

(1)

其中ρ0為空氣密度，c0=γp0/ρ0為空氣中的聲速，γ=cp/cV為空氣的比熱容比，p0為大氣壓. 定義聲阻抗率Z為聲壓p與速度u之比，在空氣中，Z=p/u=ρ0c0.

測量波長所利用的駐波模型建立在一維、線性聲波的假設基礎上，適用上面的定義和公式. 發生器發出的是時諧波，其聲壓滿足

p+(x,t)=P0ei(kx-ωt),

(2)

式中+表示正向傳播，P0為聲壓的幅度，初相位設為0.k為聲波的角波數，ω為聲波的角頻率，二者滿足

(3)

平面聲波，即一維時諧聲波在反射和折射時滿足入射角等于反射角；入射角i和折射角r之間遵循Snell定律，即

(4)

其中c1和c2分別為2個介質中的聲速.

若兩介質間的聲阻抗率之比為

z=Z1/Z2,

(5)

則界面上的折射、反射聲壓與入射聲壓之比，即聲壓透射系數T、聲壓反射系數R滿足

(6)

(7)

垂直入射時，i=r=0，(6)～(7)式化為

(8)

(9)

文獻[1]給出的反射波表達式為

p-(x,t)=P0e-i(kx+ωt),

(10)

從而p+和p-疊加形成駐波，其在接收器面xr處的取值為

(11)

教材原式用空氣微元的微振動振幅來表征聲波，這里為統一起見用振幅和聲壓的關系將其改寫成聲壓式，不失其意.

(2)式和(10) 式中無衰減，意味著空氣的聲阻抗率為實數，則應有

(12)

由 (9) 式

z→∞ ,

(13)

這里，z特指換能器與空氣間的聲阻抗比，表明換能器反射面為理想反射面. (10)式實際上蘊含了換能器聲阻抗率非常大，換能器面上發生完全的反射這一假設.

(12)式僅對理想反射面才成立，由該式可以計算反射面位置x0

(14)

又由(10)式中初相位為0，可得

x0=0 ,

(15)

即反射面在原點處. 但是事實上反射面為接收器面，即x0=xr，兩者顯然矛盾. 若考慮x0變化帶來的影響，則(10)式可以修改為

p-(x,t)=P0e-i(kx+ωt-δ),

(16)

注意到 (12) 式仍成立，故

(17)

即

δ=2kx0,

(18)

p-(x,t)=P0e-i(kx+ωt-2kx0),

(19)

從而接收器面上的壓強也要做出修正. 由(8)和(13)式得

T=2 ,

(20)

故

(21)

聲速的測量實驗中，一般用接收器在不同位置處的聲壓幅度來求得聲壓變化的周期[1-4]，而由(21)式，聲壓在各處的幅度都為2P0，與接收器位置無關. 這個預言不符合聲壓幅度周期性變化的實驗現象，無法獲得波長.

2 無限次反射形成疊加聲場

上文已經闡明，僅靠發射波p+和1次反射波p-疊加形成的聲場無法得到與實驗相符合的預言，但是可以設想，聲波并不會在第1次反射后就傳向無窮遠處，而是會遇上發射器面發生第2次反射，進而遇上接收器面發生第3次反射……直至無窮. 顯然，若按照上文中往返2次波疊加的駐波模型的假設，換能器聲阻抗極大、發生完全的反射且介質無衰減，則無限次反射疊加的結果必然是聲壓趨于無窮. 為使聲壓收斂于有限值，必然要考慮介質的衰減和反射的損失(如換能器尺寸有限)，即聲波在空氣中的角波數不再是實數k，而是復數κ=k+iη，其中η的物理意義為聲波的衰減系數，并且換能器和空氣間的聲阻抗比z和聲壓反射系數R也變為復數. 但是衰減和反射的損失在1次反射中非常小，即應有

(22)

為表述清晰，不妨按產生順序記第1次來波、第1次回波、第2次來波……為第1，2，3……列波. 則接收器處接收到的第n+2列波的聲壓pn+2(t;x0)相對于第n列波的聲壓pn(t;x0)相位落后2κx0，振幅變為R2倍，即以下遞推式

pn+2(t;x0)=pn(t;x0)R2e2iκx0,

(23)

由(2)式，第1列波在接收器處的聲壓為

p1(t;x0)=P0ei(kx0-ωt),

(24)

則第2列波的聲壓為

p2(t;x0)=Rp1,

(25)

接收器處總聲壓為

Peffei[φ(x0)-ωt],

(26)

由于測量量是示波器上信號的幅度，相位φ(x0)-ωt表示信號圖像的左右移動，可以舍去不計. 記剩余部分為有效聲壓peff，則

peff(x0)=Peff=|1+R|P0(1+

|R|4exp (-4ηx0)-2|R|2exp (-2ηx0)·

cos (2kx0+2argR))-1/2.

(27)

從(26)式可以看到，無限次反射疊加的聲波在兩個換能器之間形成了復雜聲場，既非行波也非駐波. 而有效聲壓peff確實以λ/2為“周期”，所以教材中往返2列波疊加的駐波模型能得出正確的波長，是因為它恰好和有效聲壓具有同樣的周期性.

為了進一步考察有效聲壓peff的性質，考慮cos (2kx0+2argR)=+1/-1處，注意到η?1，因此

(28)

故這2組位置可以近似看作圖線的極大值點和極小值點，因而

(29)

(30)

又由 (22) 式

(31)

pmin(t;x0)≈P0.

(32)

即峰值隨接收器右移而減小，谷值基本不變. 后面的實驗結果基本支持了此結論.

3 實驗對理論的檢驗

使用SV5型聲速測量儀進行了多次實驗，圖1給出了其中某次測量的典型結果. 可以利用Mathematica軟件，用式 (27)擬合數據. 但是由于測量的區間處在 (27) 式的中段，沒有精確地確定x0=0的位置，故擬合時必須對零點作修正. 另一方面，示波器的電壓示數和實際的聲壓間有一轉換比α，故實際使用的擬合公式為

Vmeas(x0)=αpeff(x0+ξ)=

α|1+R|P0(1+|R|4exp [-4η(x0+ξ)]-

2|R|2exp [-2η(x0+ξ)]·

cos [2k(x0+ξ)+2argR)]-1/2,

(33)

式中ξ為零點漂移量.

擬合時確保|R|<1，即聲波反射時一定是衰減的，并且固定波長λ為實驗圖像中各峰最高點間距均值的2倍，擬合參量為|R|，α|1+R|P0，η，ξ，argR. 共做2次擬合：第1次擬合時固定|R|=1，令其他4個參量的初始值為0，可以得到這4個參量的初次擬合值；然后以4個初次擬合值為初始值，并且使|R|的初始值稍小于1，再次擬合得到全部5個參量的最終擬合值. 表1為4次測量的擬合參量，圖1為實驗數據和擬合曲線.

表1 各參量擬合值

圖1 實驗測量(表1中第4次)與擬合結果

在擬合過程中可以發現，令|R|=1后得到的其他4個參量的初次擬合值在較大的初始值范圍內都收斂到同一組值上；而再次擬合時|R|的初始值即使有很小的變化也會導致收斂到的最終擬合值不同. 這點從 (33) 式也顯見，常量ξ和R不獨立，可以被歸入到|R|和argR中，這就導致數值可以在這幾個常量之間有一定的自由分配，所以通過擬合無法得到這幾個數的實驗值，只能通過其他實驗事先確定|R|或argR，才能得到剩下2個常量的值. 擬合結果中ξ和argR有較大誤差正是此原因.

從圖1可以發現，總體上來看，擬合曲線和實驗數據點的變化趨勢互相吻合，尤其是二者的周期性符合得相當好.

但是仍有一些實驗結果理論模型不能解釋，例如圖像的“峰”和“谷”處有一部分符合得很好，另一小部分有一定的差距.

其次，從表1可以發現，α|1+R|P0的誤差不很大，但是按其物理意義，α和|1+R|應是固定常量，而P0比可以用幾次測量的標度之比來估計. 由圖1，α|1+R|P0之比應約為1.2-∶1∶1.2∶1.2+，而由表1，為1.29∶1∶1.26∶1.24. 可以看到，此處理論與實驗的符合程度并不高.

再次，式(28)～(32)成立的前提條件是η?1，而η的擬合值說明這個條件并不成立. 注意到式 (28) 是擬合時固定波長λ為實驗圖像中峰間距的2倍的依據，如果該式不成立，則峰的間距和λ/2理論上不相等. 但是在擬合中發現兩者之間的差距很小，峰間距仍然是λ/2的很好的近似.

另一方面，仍尚有一些結果用無限次反射的模型不能解釋，如圖線峰和谷不能完全符合，η?1條件的不成立，等等. 事實上，進一步的研究可以發現，圖線的復雜性中又有一定的規律性. 這將通過進一步做更深入的研究來加以解釋.

4 結束語

在整體上實驗結果驗證了聲波在兩換能器面間無限次反射的模型，并揭示了周期法測聲速的正確性. 實驗教材的駐波模型也正是因為和真實聲場具有相同的周期性才能得到正確的聲速，但是2列波疊加的駐波理論的周期性是建立在不完備的假設基礎之上的， 因而無限次反射的模型是更完善的理論模型. 利用該模型，可以對原理類似的實驗[10]作出更精細的預言. 事實上，該模型預言在衰減系數η非常小和非常大時的現象有顯著的不同，這也等待進一步的計算和驗證.

[1] 謝行恕，康士秀，霍劍青. 大學物理實驗(第二冊)[M]. 2版. 北京:高等教育出版社，2005:11-15.

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[5] 陳建軍，龔國斌，高文莉，等. 超聲檢測綜合實驗[J]. 物理實驗，2016，36(1)：24-27，34.

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[責任編輯：郭 偉]

Study on sound speed measurement experiment by standing wave model

SHAO Wei-kea, ZHAO Xiab, XUAN Zhi-huab

(a. School of the Gifted Young; b. School of Physical Science,University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China)

The standing wave model in sound speed measurement experiment was discussed using infinite reflection model. The new model was validated by fitting the experimental results and analyzing the data and new phenomenon, with which the validity and limitation of it were shown.

sound speed; standing wave; infinite reflection

2016-05-31；修改日期：2016-11-02

安徽省高校省級教學研究重點項目(No.2015jyxm009)

邵維科(1996-)，男，浙江金華人，中國科學技術大學少年班學院2014級本科生.

趙 霞(1973-)，女，四川閬中人，中國科學技術大學物理學院副教授，博士，從事凝聚態物理方向的研究.

O422.1

A

1005-4642(2017)03-0048-04

“第9屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文