區域似大地水準面精化的方法探討與精度分析

布金偉，左小清

(昆明理工大學 國土資源工程學院，云南 昆明 650093)

區域似大地水準面精化的方法探討與精度分析

布金偉，左小清

(昆明理工大學 國土資源工程學院，云南 昆明 650093)

闡述與GPS/水準高程擬合相關的基本理論及區域似大地水準面精化的原理與方法，并結合區域的具體實例，重點比較二次多項式曲面擬合法、三角剖分雙線性內插法、加權平均推估法的精度情況，從中得到結論。實驗表明，在沒有足夠重力數據的支持下，三角剖分雙線性內插法獲得比較理想的精度，利用該方法精化似大地水準面獲得的高程可以代替四等水準。

GPS/水準；區域似大地水準面；二次多項式曲面擬合法；三角剖分雙線性內插法；加權平均推估法

隨著全球導航衛星(GNSS)定位技術及連續運行參考站(CORS)的廣泛應用，能提供高于10-7相對精度的大地測量數據，但我國使用的高程系統是正常高系統，GNSS 獲得的數據高程為大地高。如果地區沒有一個高精度高分辨率似大地水準面模型，即使能用GNSS給出高精度的大地高，也無法達到GPS大地高至正常高的高精度轉換[1-2]。為了滿足用GPS代替水準測量方法測定高程的需求，似大地水準面需要達到厘米級精度。而在地形起伏復雜的某些區域，還存在一定的缺陷，因此本文從理論上利用不同類型的觀測數據，從算法上對似大地水準面進行精度分析。

1 幾種擬合方法的原理

1.1 多項式曲面擬合法

曲面擬合[3-6]是一種局部逼近的方法。基本思想是以每一個內插點為中心，用內插點周圍數據點的值建立一個擬合曲面，使其到各數據點的距離加權平方和為極小，而這個曲面在內插點上的值就是所求內插值。

根據地區高程變化的復雜程度，可選n次曲面來擬合，設高程控制點的高程異常值ζ與坐標(x，y)之間的函數關系式為

ζ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+

a4x2+a4y2+….

(1)

各高程異常點的已知高程異常與其擬合值之差為

Δi=ζ(x,y)-ζ(x,y).

(2)

Δi稱為殘差。根據最小二乘原理，應有

(3)

原則下，求出式中各系數ai，那么就可以利用相應的擬合方程推算出其它點的高程異常值。對函數式求一階偏導，則

(4)

求二階偏導

(5)

一旦擬合函數確定(確認擬合次數)，ai(i=1,2…)均為一常數，模型函數與某一切平面存在一個切點，說明幾何表示為一拋物單曲面，僅有一個凹面或圖面。

上述的多項式曲面擬合存在以下問題：擬合多項式階次過高，則擬合曲面形態過于復雜；擬合多項式階次過低，GPS/水準點使用率太低，其攜帶的高精度信息體現不顯示；殘差模型不通過GPS/水準點，容易出現異常點；且擬合面邊緣地區會出現劇烈的震蕩現象。考慮到山區地形起伏大，似大地水準面變化復雜。由此，論文提出進一步分區擬合的思想，采用三角剖分雙線性內插法與加權平均推估法進行擬合。

1.2 小三角形雙線性內插法

1.2.1 Delaunay準則三角形剖分

三角剖分是將離散的殘差點剖分成不規則的三角形網，Delaunay三角剖分滿足以下兩個準則：①空圓準則，網中任一三角形的外接圓范圍內不會有其它點存在；②最大化最小角準則，其所形成的三角形的最小角最大。采用Delaunay準則進行三角剖分具有如下特點[7]：①以最臨近的三點形成三角形，且各線段皆不相交，可保證擬合成果具有高空間相關性；②剖分結果唯一性；③任意兩個相鄰三角形形成的凸四邊形的對角線如果可以互換的話，那么兩個三角形6個內角中最小角不會變大，避免內插時出現病態方程；④改變任意節點只會影響相鄰三角形，保證誤差不會整網傳遞。

1.2.2 雙線性內插法的原理

設三角形的3個端點分別為A,B,C，點L、點R分別位于AB與AC上，待求點P為直線LR上的點，又由于三點決定一面，即點P在此面上，而通過P點的二維直線段在此面上有無數條，又因為無論任何一條從理論上內插出的點值是唯一的，故為方便計算，設上述點P,L,R中Y值相同，即YP=YL=YR。則點P,點R,點L的內插高程異常差值算式為

(6)

1.3 加權平均推估法

關于推估問題，主要有兩種方法：一種是以最小二乘推估法為代表的統計推估方法；另一種是函數擬合法、加權平均法等為主的解析推估方法。由于前者的計算工作量大，本論文采用加權平均法推估內插點處的高程異常差值。

假設三角形為ABC，待求點為P， 則算式為

(7)

2 殘差模型的建立

在沒有足夠重力數據的條件下，構想利用地區局部區域高精度GPS/水準高程異常控制網與省級精化似大地水準面疊加融合，利用局部高精度高分辨率糾正廣域低精度低分辨率，實現建立局部區域厘米級精度似大地水準面模型。

首先將GPS/水準獲得的高程異常值[8]與省級精化似大地水準面計算的高程異常值求差，獲得殘差值。

Δξ=ξGPS-ξG,

(8)

ξGPS=H水準-H大地高，

(9)

ξG=H插值-H大地高.

(10)

綜合以上算式得到簡化算式為

Δξ=H水準-H插值.

(11)

式中:Δξ為兩種基準高程異常值差值；ξGPS為GPS/水準獲得的高程異常值；ξG為省級精化似大地水準面計算的高程異常值。

利用離散的殘差值采用幾何方法構造一個連續的擬合數值模型

Δξ=f(B，L).

(12)

式中:B,L為坐標系與橢球參數統一的緯度與經度。

在連續的殘差數值模型上疊加融合省級精化似大地水準面計算的高程異常值ξG，即采用移去-恢復法完成區域似大地水準面的構建。

ξ′(B，L)=Δξ(B，L)+ΔξG(B，L).

(13)

該方法避免了缺少重力數據而丟失物理場信息的弊端，以及純幾何擬合內插的缺陷，可靠性和精度更高。

3 算例分析

3.1 項目說明

整個項目共有4個分區，論文采用一分區作為實驗區域，測區范圍為98.625 km2。其中，已有測區周圍GPS的C級點2個，GPS的D級點16個，坐標系為×××市坐標系，測區內有1985國家高程基準的一等水準點1個，二等水準點18個，同時有***局提供的三等水準點成果。

基于連續運行參考站(CORS)同步快速靜態觀測模式進行GPS一級控制測量，完成GPSⅠ級控制點35個；利用四等水準測量對GPS一級點進行高程聯測，完成四等水準觀測88.5 km。其中，35個一級GPS點轉換至2000國家坐標系后，參與插值軟件計算，高程異常差值見表1，殘差統計結果見圖1。

表1 高程異常差值表 m

圖1 殘差統計

3.2 殘差模型算法分析

殘差模型法的關鍵在于尋求數學算法，確定f(B，L)，使其能準確反映區域GPS/水準與省級精化似大地水準面之間的差距。

3.2.1 多項式曲面擬合法

按二次計算，則高程異常差值算式為

Δξ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2.

(14)

其中，35個一級GPS點全部參與擬合計算，最終內符合精度統計見表2。

表2 多項式曲面擬合殘差表 m

根據統計計算，高程異常差值擬合殘差中誤差：MΔξ=0.028 5 m。

3.2.2 三角剖分雙線性內插法與加權平均推估法

3.2.2.1 Delaunay準則三角形剖分

根據試驗區35個GPS/水準點以及計算的相應的省級精化似大地水準面高，選擇27個點參與計算，其余8個分布均勻的點用于外部檢核。以這27個殘差點為節點，采用Delaunay準則將整個測區剖分成小的三角形區域，整個測區的三角剖分結果見圖2。

圖2 Delaunay三角剖分示意圖

3.2.2.2 三角剖分雙線性內插

在對高程異常差值點進行三角剖分后，要對待求點所在小三角形進行擬合計算，計算采用雙線性內插法。然后，根據式(12)將ξG省級精化似大地水準面與殘差擬合模型疊加，建立區域精化似大地水準面ξ′(B，L)。則擬合疊加以后計算的正常高高程為

H′=H+ξ′(B，L).

(15)

通過計算，檢核點的擬合、疊加計算高程與實際GPS/水準高程對比數據見表3。

表3 雙線性內插法精度檢查統計表 m

根據表3分析統計，建立的區域似大地水準面基于水準數據的檢核中誤差為：

3.2.2.3 加權平均推估

選擇27個點參與計算，其余8個分布均勻的點用于外部檢核。

表4 加權平均推估法精度檢查統計表 m

表5 加權平均推估法精度檢查統計表 m

表6 加權平均推估法精度檢查統計表 m

3.3 精度對比分析

由表7和圖3分析可知：三角剖分雙線性內插法和加權平均推估法明顯比二次曲面擬合法效果更為理想，精度相對更高。主要原因有兩點：①由于二次曲面擬合為整體區域擬合，可能由于似大地水準面變化不平緩引起擬合函數無法準確表達，而三角剖分則使得擬合區域分成若干小的三角形擬合區域，擬合精度分配較為均勻；②二次曲面擬合是不過點擬合，擬合后的曲面不經過已知高程異常控制點，而三角剖分雙線性內插法和加權平均推估法是以各個已知高程異常控制點為頂點進行內插，保證過點擬合的優勢。

表7 二次曲面擬合法、三角剖分雙線性內插法和加權平均推估法精度對比表 m

圖3 二次曲面擬合法、三角剖分雙線性內插法和加權平均推估法精度對比圖

4 結 論

從實驗數據分析得出的精度，可得如下結論：

1)在沒有足夠重力數據的支持下，三角剖分雙線性內插法獲得了比較理想的精度，利用該方法精化似大地水準面獲得的高程可以代替四等水準。

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[2] 郭春喜，聶建亮.區域似大地水準面擬合方法及適用性分析[J].大地測量與地球動力學，2013，33(1)：103-107.

[3] 朱毅.云南省局部區域似大地水準面精化方法探討與精度分析[D].昆明：昆明理工大學，2012.

[4] 高西峰.GPS水準在帶狀區域似大地水準面精化中的應用研究[D].西安：長安大學，2007.

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[6] 黃鵬.市級大地水準面精化的研究與應用[D].青島：山東科技大學，2010.

[7] 劉振宇，高炳浩.基于CQG2000的吉林省西部地區似大地水準面的建立[J].測繪學報，2010，39(5)：441-443,464.

[8] 范占永，李磊.GPS似大地水準面精化及精度分析[J].水利與建筑工程學報，2015，39(5)：161-164.

[責任編輯：張德福]

Discussion of quasi local level method and its precision analysis

BU Jinwei, ZUO Xiaoqing

(School of Land and Resources Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093,China)

This paper presents the principle and method of GPS/ leveling fitting the basic theory and the regional quasi geoid. Combined with concrete examples of regional key comparison, two polynomial curve fitting methods: bilinear interpolation method of triangulation, and weighted average push accuracy estimate method are given to obtain some useful conclusions. The experimental result shows that in the absence of sufficient gravity data, triangulation bilinear interpolation can obtain the ideal accuracy,by which the method of refined quasi geoid height can cover the fourth level.

GPS/ level; quasi local level; two degree polynomial surface fitting method; bilinear interpolation method; weighted average method

引用著錄：布金偉，左小清.區域似大地水準面精化的方法探討與精度分析[J].測繪工程，2017，26(6)：40-45.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.06.008

2016-07-15

布金偉(1992-)，男，碩士研究生.

P228

A

1006-7949(2017)06-0040-06