在探究中培養學生抽象概括能力

甘小生++李朝暉

抽象和概括是兩種常用的數學思維方法，數學概念、原理、命題的形成都需要進行抽象與概括。小學數學學習的一個重要特點就是在形象思維的基礎上，逐步培養學生的抽象概括能力，這樣有利于學生正確理解掌握數學概念，并能運用概念形成恰當的原理、命題，進行合乎邏輯的推理。下面結合“人教版”《數學》四年級上冊《平行與垂直》的教學，談談如何培養并提出小學生的抽象概括能力。

一、獲取自然的數學原型，提供必要的抽象素材

抽象是透過事物的表象獲得事物的內在聯系和本質屬性。教學中，應盡量為學生提供有代表性的材料及必要的變式情境，充分調動學生的多種感官，讓學生善于從諸多表象中發現它們的共同屬性。教學時，筆者先讓學生在一張長方形紙上任意畫兩條直線，要求分別畫出幾組形狀和位置不同的圖形。通過操作學生感受到在同一平面內的這些圖形都由兩條直線組成，初步建立同一平面內兩條直線位置關系的表象，為后面深入學習兩條直線間位置關系的差異性與同一性提供一個探究平臺。

二、探究內在的共性特點，掌握常用的抽象方法

看似非常復雜的抽象過程都涉及比較和區分、舍棄和抽取四個環節。其中比較和區分就是確定研究對象的共同點和不同點，它是抽象的基礎。舍棄和抽取是在比較和區分的基礎上，舍棄掉研究對象次要的、非本質的因素，抽取研究對象中我們需要的某些最本質的特性。筆者在執教《平行與垂直》時，挑選能呈現各種典型情況的學生作品（如圖）展示在黑板上，再讓學生按照一定的標準分類。

學生先獨立思考，然后將分類情況進行交流。剛開始出現了以下幾種分法：

第一種，分為兩類——相交的一類（圖1、圖2、圖3、圖4、圖6），不相交的一類（圖5、圖7）。

第二種，分為三類——相交的一類（圖1、圖4、圖6），快要相交的一類（圖2、圖3），不相交的一類（圖5、圖7）。

第三種，分為四類——相交的一類（圖1、圖4），快要相交的一類（圖2、圖3），不相交的一類（圖5、圖7），相交成直角的一類（圖6）。

不同的分法反映了不同層次的學生認知體驗的真實性，也為更好地理解與掌握平行的本質特征提供探究方向。此時，筆者問：直線有什么特點？學生答：直線無限長，可以向兩端無限延長。緊接著，筆者讓學生把快要相交中的兩條直線向兩端延長試一試，看它們能否相交？

最后，學生在動手操作、交流討論后達成共識：圖2、圖3中快要相交的兩條直線延長后實際上是相交了，圖6中兩條直線相交成直角實際也是相交的，只不過是相交中的一種特殊位置關系。對于第三種分類方法，前面是根據兩條直線是否相交的標準來分類的，可是相交成直角是按照兩條直線相交后所成的角度來分類的，前后標準不統一。經過反復比較、區分、舍棄，最終將圖分成了兩大類，即相交的一類和不相交的一類。

三、提煉簡明的數學本質，學習簡單的概括方法

數學概念、原理是極度抽象概括的，教師必須在學生積累感性認識、掌握研究對象本質屬性的基礎上，及時引導學生用完整、準確、簡潔、嚴密的數學語言表述出來或用數量關系式（公式、符號）表達出來。

教學中，筆者分別嘗試用以下幾種不同方法引導學生進行概括：

巧設問題，培養概括的邏輯性。在學生對兩條直線的位置關系分類達成共識后，筆者告訴學生，像圖5、圖7這樣的兩條直線在數學上叫平行線，并提出問題：你能給平行線下個定義嗎？同時，設計以下問題引導學生思考：平行線是幾條直線間的位置關系？這兩條直線是在幾個平面內？兩條直線是永不相交，還是看似不相交？

補充句子，培養概括的完整性。小學生用規范的數學語言對研究對象的屬性進行概括的能力還不夠強，教師有必要設計句子補充練習，幫助學生完整地進行概括。教學中，筆者設計如下擴充句子練習：在同一平面內， 的 直線叫做平行線，也可以說這 直線互相平行。

選詞填空，培養概括的準確性、簡潔性。數學概念、原理、命題都是用簡潔、準確的數學語言敘述的。教學中，通過挑選詞語，幫助學生學會準確用詞。為了讓學生正確理解和掌握平行線的本質特征，可設計一道選詞填空題：在同一（ ）內（長方形、平面），不相交的（ ）直線叫做平行線（一條、兩條），也可以說這兩條直線（ ）（平行、互相平行）。

列舉反例，培養概括的嚴密性。根據以往教學經驗，對于平行線的定義，學生容易忽視限制條件“在同一平面內”。教學中，必須適時列舉學生比較熟悉的實際生活中兩條異面不相交的直線，同時，課件出示下圖辨析，讓學生明白“在同一平面內”是兩條直線互相平行不可缺少的前提條件。

符號表示，培養概括的簡捷性。數學符號在數學中不僅是非常重要的一種語言，也是研究數學的工具。數學符號具有抽象性、明確性、可操作性、簡明性和通用性。符號的使用是學生進行數學思考和數學表達的重要形式。在學生認識了平行線的本質屬性并能用語言概括后，筆者出示下圖，向學生介紹用符號表示平行線的方法：圖中直線a與直線b互相平行，用符號“∥”來表示平行，a與b互相平行，記作a∥b，讀作a平行于b。

四、拓展新的屬性特征，培養學生有層次的抽象概括

數學中有些概念是在已有的抽象認知基礎之上再次進行抽象概括形成的，較好地體現了抽象概括的層次性和深刻性?！镀叫信c垂直》就是很好的教學范例，在學生理解了平行的本質特征后，筆者讓學生觀察相交的情況，思考：“你發現相交圖形中的角有什么特點？”使學生關注“相交所成角”這一屬性。學生仔細觀察后發現：兩條直線相交都形成了四個角，有的是銳角，有的是鈍角，還有一種比較特殊，四個角都是直角。為了讓學生獲得更清晰、更嚴密的認識，筆者請學生用學具量一量，驗證相交后成直角的現象，進而讓學生抽象概括出互相垂直的概念，即“兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線”。接下來，出示下面三幅圖，讓學生觀察、比較它們有什么相同點和不同點，從中能發現什么。

學生通過觀察、比較、討論，得出：垂直的關鍵要素是兩條直線相交是否成直角，與直線擺放的方位無關，也就是說怎樣擺放是非本質屬性。

以上教學幫助學生克服了思維定勢，養成了嚴謹的學習態度，學會了科學的探究方法。

抽象與概括是小學數學中常用的兩種思維方法，教師要充分估計學生學習中可能出現的問題，設計好教學活動，教給學生必要的抽象概括方法，適時引導點撥，培養和提高學生的抽象概括能力，同時，避免思維定勢，增強學生思維的深刻性。