跳擴散模型下具有信用風險的亞式期權定價

展瑜萌，李翠香

(河北師范大學 數學與信息科學學院，河北 石家莊 050024)

跳擴散模型下具有信用風險的亞式期權定價

展瑜萌，李翠香*

(河北師范大學 數學與信息科學學院，河北 石家莊 050024)

假設期權的標的資產服從幾何布朗運動，交易對手公司價值服從跳擴散模型，利用測度變換的方法，推導了具有信用風險的連續幾何平均亞式看漲與看跌期權的定價公式.

信用風險；亞式期權；跳擴散模型；測度變換

0 引言

期權[1]是一種衍生金融工具，隨著金融理論的發展和市場的需求，人們在標準期權的基礎上設計出了許多新型期權.亞式期權[2]就是其中一種具有路徑依賴性的新型期權，其價值取決于期權到期日前一段時間內或整個期權期限內標的資產價格的平均值.相對于普通歐式期權，亞式期權的價值通常具有較小的波動性，因此受到了投資者的廣泛關注.信用風險也就是違約風險，是指由于合約另一方未履行合約訂立的義務而導致債券人發生經濟損失的可能性.隨著期權在場外交易市場的交易量日漸上升，其遭受到信用風險的可能性增大，并且現實中標的資產價格不一定是連續的，其價格可能會因為某些重大事件(如金融危機、自然災害等)的出現而發生間斷性的跳躍，研究跳擴散模型下的期權定價更具有現實意義，因此本文將考慮跳擴散模型下具有信用風險的幾何平均亞式期權的定價.

c(ST,T)=[GT-K]+(1{VT≥L}+θ(T)1{VT

p(ST,T)=[K-GT]+(1{VT≥L}+θ(T)1{VT

以下假設市場是均衡的，完備的，無套利存在，并且Vt，St分別服從如下SDE

(1)

(2)

1 預備知識

Ep[X]=EQ[Λ(T)X]，

其中E[·]表示期望.

2 跳擴散模型下具有信用風險的亞式期權定價

在證明跳擴散模型下具有信用風險的亞式期權定價之前首先證明下面兩個引理.

引理2.1 設

其中

證明 利用伊藤積分的分部積分公式[4]可知

其中

(3)

從而

(4)

(5)

從而

(6)

由全期望公式知

(7)

因為

(8)

(9)

Q1(XT>A,YT>B|N(T)=n)=N2(dn,d;ρn).

(10)

聯合(3)(7)(10)，引理2.1得證.

引理2.2 在引理2.1的條件下，若ZT改為

則

其中ρn由引理2.1給出，

證明 類似于(2.3)并由分部積分公式可得

(11)

其中

EQ[ZT1{XT>A,YT>B}]=Z0eDEQ2[1{XT>A,YT>B}],

(12)

且由引理1.2知

(13)

類似引理2.1的證明可得

(14)

將(14)代入(12)可知引理2.2得證.

定理2.1 設Vt，St分別服從SDE(1)，(2)，則到期日為T，執行價格為K的具有信用風險的幾何平均亞式看漲期權在0時刻的價格為

其中

證明 由風險中性定價原理知

c(S0,0)=e-rTEQ[c(ST,T)]=e-rTEQ[GT1{VT≥L,GT>K}]-Ke-rTEQ[1{VT≥L,GT>K}]+

(15)

解SDE(1)，(2)可得

(16)

(17)

在引理2.1中，取XT=VT，YT=GT，ZT=GT得

(18)

在引理2.1中，取XT=VT，YT=GT，ZT=0得

(19)

由(16)(17)可得

在引理2.2中，取XT=VT，YT=GT，ZT=GTVT得

(20)

在引理2.2中，取XT=VT，YT=GT，ZT=VT得

(21)

由(15)，(18)-(21)可知，定理2.1得證.

類似定理2.1的證明可得下面定理2.2.

定理2.2 在定理2.1的條件下，具有信用風險的連續幾何平均亞式看跌期權在0時刻的價格為

3 總結

本文在標的資產服從幾何布朗運動，交易對手公司資產服從跳擴散過程，公司負債為常數的情況下利用測度變換的方法和風險中性定價原理研究了具有信用風險的亞式期權定價.給出了具有信用風險的連續幾何平均亞式看漲，看跌期權在0時刻的價格.當N(t)=0時，交易對手公司服從幾何布朗運動，很容易看出跳擴散過程富含了幾何布朗運動和不規則的跳躍，因此這種假設更具有現實意義.

[1] John C.Hull.Option futures and other derivatives[M].北京:機械工業出版社,2011：138-243.

[2] Peter G.Zhang.Exotic options[M].北京:機械工業出版社,2014：75-81.

[3] M.K.Kwok.Mathematical models of financial derivatives[M].Berlin: Spinger Press,2008：188-200.

[4] Fima C.Klebaner.Introduction to Stochastic Calculus with Applications[M].北京:人民郵電出版社,2008：267-280.

[5] 李翠香,石凌.基于隨機利率下跳-擴散過程的復合期權定價[J].黑龍江大學學報：自然科學版,2012,29(4):431-436.

[6] 姜博.幾何平均亞式期權的定價及參數敏感性分析[D].石家莊：河北師范大學,2014.

(責任編輯 鄭綏乾)

Pricing of Asian Options with Default Risks Under Jump-diffusion Models

ZHAN Yu-meng,LI Cui-xiang*

(CollegeofMathematicsandInformationScienceofHebeiNormalUniversity,Shijiazhuang050024,China)

In this paper,we assume the underlying asset prices follow Geometric Brownian process,and the asset value of the counterparty company follow jump-diffusion models.By the help of changing measures,we derive the analytical formulas of continuous geometric average Asian call and put options with default risks.

default risk;asian option;jump-diffusion models;measure transform

2016-12-15

國家自然科學基金(11401159)

展瑜萌(1991-)，女，碩士，研究方向：概率與數理統計，E-mail：1530040347@qq.com.

*通訊作者：李翠香(1971-)，女，博士，教授，研究方向：金融數學，E-mail：cuixiang_li@126.com.

O 211.6

A

1000-5846(2017)01-0009-06