受擾線性不確定系統魯棒H∞混合鎮定

莊梁， 林燦煌， 孫洪飛

(廈門大學 航空航天學院， 福建 廈門 361005)

受擾線性不確定系統魯棒H∞混合鎮定

莊梁， 林燦煌， 孫洪飛

(廈門大學 航空航天學院， 福建 廈門 361005)

針對受外界擾動和參數不確定性影響的線性系統，同時考慮其暫態性能和穩態性能，提出基于混合穩定的魯棒H∞控制概念和控制方法.給出閉環系統混合穩定且抑制外部擾動對被控輸出影響的充分條件，并將這些條件轉化為線性矩陣不等式約束.所設計的是一個關于時間連續的H∞混合鎮定控制器，簡化了設計過程，避免控制器切換導致的抖振.仿真結果表明：在外界擾動和參數不確定影響的情況下，該控制方法達到預期的暫態性能和穩態性能的要求，且有效抑制了干擾對系統狀態的影響. 關鍵詞：H∞混合鎮定控制器； 魯棒H∞控制； 線性不確定性系統； 外界擾動； 閉環系統

在實際應用中，除了研究控制系統的穩態性能[1]外，更加注重的是控制系統能否滿足相應的暫態性能指標要求[2].為了研究系統的暫態性能，Dorato首先提出了“短時間穩定性”的概念，即后來所謂的有限時間穩定(finite-time stable，FTS)，并得到學術界的廣泛關注和研究.有限時間穩定要求在給定時間區間內，系統的狀態始終不超過給定界限[3-4].有限時間穩定和李亞普若夫漸近穩定(Lyapunov asymptotic stability，LAS)是兩個互相獨立的概念[5].對于控制過程比較短暫的系統,如機器人操控系統、導彈系統等，除了研究控制系統的穩態性能外，更加注重的是控制系統能否滿足相應的暫態性能指標要求.林燦煌等[6]研究了輸入受限不確定線性系統的鎮定問題，并首次提出了混合穩定的概念，給出混合穩定的穩定性條件.目前，控制系統擾動抑制采用的控制策略主要有內模原理[7]、滑模控制[8-10]、自適應干擾抑制[11]和H∞控制理論[12-13].申鐵龍[12]在控制器設計過程中不僅能實現對干擾的抑制，且考慮了系統數學模型在一定范圍內存在的不確定性影響.Sun等[13]通過H∞控制和非線性干擾觀測器解決了系統含有周期擾動時的控制問題.本文針對受外界擾動和參數不確定性影響的線性系統，同時考慮系統控制過程中的暫態性能和穩態性能，提出一種基于混合穩定的魯棒H∞控制概念和控制方法.

1 問題描述

考慮如下受擾線性不確定系統

(1)

式(1)中:x∈Rn為系統的狀態變量；z∈Rp為系統的被調輸出；u∈Rm為系統的控制向量；w∈Rq為能量有限的外部干擾信號；A∈Rn×n，B∈Rn×m，G∈Rn×q，C∈Rp×n，D∈Rp×m為描述標稱系統的矩陣.ΔA，ΔB是系統的不確定參數矩陣并假設它們是范數有界的，則有形式[14]為

(2)

外部擾動條件應滿足

(3)

定義1[3]考慮如下線性系統，有

(4)

則稱該系統關于(c1，c2，T，R)是有限時間穩定的，其中,x0=x(0)是系統的初始狀態.

定義2[6]如果系統(4)關于(c1，c2，T，R)是有限時間穩定的，且在無窮時間區間上是李雅普諾夫漸近穩定(LAS)的，則稱系統是混合穩定的.

問題1 (H∞混合鎮定)對系統(1)設計一個狀態反饋控制器，即

(5)

使得系統(1)連同控制器(5)形成的閉環系統.a) 當w=0時，混合穩定；b) 當x(0)=0時，從外部擾動w到被控輸出中z的L2增益小于給定正數γ.K為需要設計的控制器增益矩陣，稱具有性質a)和b)的控制器u為H∞混合鎮定控制器.

2 H∞混合鎮定控制器設計

混合控制需要同時考慮系統的暫態性能和穩態性能.文獻[6]給出的混合控制器本質上包含兩部分，暫態過程控制器u1=K1x和穩態過程控制器u2=K2x，其中,K1，K2為控制器增益矩陣.控制器u1的作用是使閉環系統滿足暫態過程性能要求，控制器u2的作用是使閉環系統滿足穩態過程性能要求.一般的混合控制器的形式為

(6)

上述混合控制器是關于時間的切換控制器，在t=T時刻，由于控制輸入的不連續性會導致系統狀態出現跳變甚至抖振.文獻[6]通過引入緩沖時間消除潛在抖振，得到控制器形式為

(7)

式(7)中:ts為切換緩沖時間；k=K1+(K2-K1)(t-T)/ts為過渡時間段控制器增益矩陣.

仿真結果表明:通過引入緩沖時間可以在一定程度上消除抖振，但無法在理論上保證閉環系統混合穩定.以下給出控制器簡化的設計過程，所設計關于時間連續的H∞混合鎮定控制器使H∞混合鎮定問題1可解.

引理1[15]給定適當維數的矩陣N，E和M，其中,N是對稱的，則

對所有滿足ΔT(t)Δ(t)≤I的矩陣Δ(t)成立，當且僅當存在數ε>0，使

下面定理通過給出一個關于時間連續的H∞混合鎮定控制器，使當系統受到外界干擾和不確定影響時，滿足有限時間穩定和漸近穩定.

定理1 如果存在標量α≥0，γ>0，ε>0，矩陣L∈Rn×m和正定對稱矩陣Q∈Rn×m，使

(8)

(9)

(10)

式(10)中:A1=A+ΔA+(B+ΔB)K,且有

(11)

另一方面，由Schur補引理可知，式(8)等價于

(12)

(13)

再由引理1可知，式(13)等價于

(14)

式(14)中:C1=C+DK.

(15)

(16)

對式(16)從 0到t積分，?t∈[0，T]，可得

(17)

則有

(18)

又因xTR1/2Q-1R1/2x(t)≥λmin(Q-1)x(t)TRx(t)，則λmin(Q-1)x(t)TRx(t)≤xTR1/2Q-1R1/2x(t)≤exp(αT)[λmax(Q-1)x(0)TRx(0)]，由此可得

(19)

則有

再由式(9)可得x(t)TRx(t)

因此,當外擾為零時，閉環系統在時間[0，T]上有限時間穩定，在無窮時間內漸近穩定，即當外擾為零時，閉環系統混合穩定.

(20)

對比式(11)和式(20)可得

(21)

兩邊對式(21)積分，可得

(22)

(23)

即‖z‖<γ‖w‖.故x(0)=0時，從外部擾動w到被控輸出z的L2增益小于γ.

注1 文獻[6]中使用的是兩個不同的李雅普諾夫函數,分別刻畫系統的有限時間穩定和漸近穩定性;而定理1中使用的是一個李雅普諾夫函數,同時刻畫系統的有限時間穩定和漸近穩定性，具有一定的保守性.定理1給出的H∞混合鎮定控制器是一個關于時間連續的控制器，簡化了設計過程，避免了控制器切換過程存在的潛在抖振.

由定理1可知，式(8)是一個線性矩陣不等式形式，而式(9)不是線性矩陣不等式形式.為了方便控制器求解，將定理1轉化為如下基于線性矩陣不等式(LMI)的可行解問題.

推論1 如果存在標量α≥0，γ>0，ε>0，矩陣L∈Rm×n和正定對稱矩陣Q∈Rn×n，使式(8)和下列LMI成立，即

(24)

3 數值仿真

考慮外界干擾和不確定影響，設計H∞混合鎮定控制器，將得到的控制器在線性系統上進行仿真.使過渡時間在10s內，超調量不超過10%，系統狀態穩定到平衡點且對外界干擾有一定的抑制作用.

假設受控系統(1)參數為

ΔA，ΔB分別滿足‖ΔA‖≤0.1，‖ΔB‖≤0.1，將不確定性矩陣ΔA，ΔB寫成式(2)形式，其中

狀態變量的初值為

給定的外部擾動具有衰減特性，由如下線性系統描述

為了實現控制目的，取(c1，c2，T，R)=(1，4，10，I2×2)，給定α=0.2，γ=1.3.由推論1可得H∞混合鎮定控制器u=Kx，其中，K=[-1.355 760 0 -1.013 010 4].將得到的控制器在本節給出的線性系統上進行仿真，仿真結果如圖1,2所示.

圖1 系統狀態變化曲線 圖2 xTRx變化曲線圖 Fig.1 Curves of state Fig.2 Curves of xTRx

為了說明H∞混合控制器的優越性，對給出的系統分別使用H∞混合鎮定控制器、漸近控制器[15]、混合穩定控制器[6]進行仿真.其中:H∞漸近控制器增益矩陣K漸近=[-2.796 947 3 -7.591 343 0];混合穩定控制器中的有限時間穩定控制器增益矩陣K1=[-1.097 713 1 -2.865 556 4];漸近穩定控制器增益矩陣K2=[-3.526 577 2 -7.020 336 6].在H∞混合鎮定控制器和H∞漸近控制器作用下，系統狀態1的變化曲線，如圖3所示.在H∞混合鎮定控制器和混合穩定控制器作用下，系統狀態1的變化曲線，如圖4所示.

圖3 使用H∞ 混合鎮定控制器和 圖4 使用H∞混合鎮定控制器和混H∞漸近控制器系統狀態1變化曲線 穩定控制器系統狀態1變化曲線Fig.3 Curves of state under H∞ mixed Fig.4 Curves of state under H∞ mixed stabilization controller and H∞ asymptotic controller stabilization controller and mixed controller

由圖3,4可知：系統在受到外界擾動和不確定影響的情況下，系統狀態最終能穩定到平衡點，超調量小且系統的狀態不超過給定的界限.由圖3可知:單獨使用漸近控制器，系統狀態穩定到平衡點過渡時間長，超調量大.由圖4可知:H∞混合鎮定控制器相對于一般的混合穩定控制器能有效抑制干擾對系統狀態的影響.這說明設計的H∞混合鎮定控制器的有效性和優越性，保證了系統的暫態性能和穩態性能要求，且對外界擾動有一定的抑制作用.

4 結束語

針對受外界擾動和參數不確定性影響的系統，提出了基于混合穩定意義下的魯棒H∞控制方法.同時考慮系統的暫態性能和穩態性能，給出了閉環系統混合穩定且抑制外部擾動對被控輸出影響的充分條件，將這些條件轉化為線性矩陣不等式約束.本文設計的H∞混合鎮定控制器是一個關于時間連續的函數，簡化了控制器設計過程.如何將文中結果應用于不僅需要滿足穩態性能指標要求，而且需要滿足相應暫態性能指標要求的系統，如機器人操控系統、導彈系統、宇航控制系統等控制過程比較短暫的實際系統，有待于進一步研究.

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(責任編輯： 錢筠 英文審校： 崔長彩)

RobustH∞Mixed Stabilization of Uncertain Linear Systems With Disturbances

ZHUANG Liang， LIN Canhuang， SUN Hongfei

(School of Aerospace Engineering， Xiamen University， Xiamen 361005， China)

To guarantee both the transient and steady performances of a linear system with uncertainties and disturbances， a new control method called mixed-stability-basedH∞stabilization is proposed. The solvable conditions of mixed-stability-basedH∞stabilization are presented by using the linear matrix inequalities. The mixed-stability-basedH∞stabilization controller given in this paper is continuous in time domain， thus simplifies the design process and avoids the potential chattering. Finally， a numerical simulation is conducted to demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed method. Keywords：H∞hybrid stabilization controller; robustH∞control; linear uncertain system; external disturbance; closed loop system

10.11830/ISSN.1000-5013.201702003

2016-08-02

孫洪飛(1970-)，男，教授，博士，主要從事混合系統控制、基于網絡的系統控制和非線性控制理論及在運動體控制上的應用的研究.E-mail:sunhf@xmu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(61273153， 61374037)

TP 273

A

1000-5013(2017)02-0147-06