共振頻率可調式非線性壓電振動能量收集器

吳義鵬，季宏麗，裘進浩，張 浩

(南京航空航天大學 航空宇航學院機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

共振頻率可調式非線性壓電振動能量收集器

吳義鵬，季宏麗，裘進浩，張 浩

(南京航空航天大學 航空宇航學院機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

振動能量回收技術能夠將環境中的機械振動能轉換成電能，進而為微功耗裝置供電，具有良好的應用前景。設計了一種利用壓電材料的新型振動能量收集器，該機電耦合結構由一對非對稱壓電懸臂梁組成，懸臂梁末端固定有永磁體，利用永磁體產生的非線性力，實現了懸臂梁共振頻率與外界激振頻率的匹配調節。提出了該結構的理論模型，借助Matlab/Simulink數值分析軟件對理論模型進行了仿真分析，并通過實驗進行了驗證。實驗結果表明外界激勵加速度幅值為3 m/s2的時，結構即能實現較大頻帶范圍內的頻率匹配調節，頻帶范圍不低于6.5 Hz，最大回收功率不低于2 mW。

能量回收；頻率匹配；壓電；非線性

無線傳感器節點作為典型的智能傳感器，能夠直接感受客觀世界的物理信息，成了物聯網底層網絡的重要組成部分。隨著當今科技的迅猛發展，無線傳感器節點在所需成本越來越低的情況下，智能化及可靠性程度卻越來越高。然而絕大多數節點目前仍使用電池供電技術，如果傳感器網絡中的節點數量巨大，又或者節點布置在危險區域、復雜結構內部，一旦電池電量耗盡，更換電池將需要龐大的維護費用，甚至會因為無法更換而影響節點使用壽命。

基于上述原因，回收自然環境中太陽能、風能、振動能等能量源，并將其轉化成電能的微發電技術有著相當重要的應用價值。其中機械振動能幾乎處處存在，同時具有相當可觀的能量密度，吸引了眾多學者的關注[1-3]。壓電材料由于具有較高的能量密度以及便于和結構集成等優點，利用正壓電效應將機械能轉換電能成為了振動能量回收的一種主要方式。

早期學者研究發現壓電懸臂梁是一種結構簡單且有效的振動能量回收結構，一旦外界激振頻率與懸臂梁的共振頻率匹配，高品質因子的懸臂梁結構能夠有效地放大激勵振幅，使壓電元件產生正負交替的大幅應變，進而高效地輸出電能[4]。另外，曾平等[5]研究過易于和傳感器節點集成的圓盤式發電結構，胡洪平等[6]提出過低頻螺旋狀壓電能量回收裝置，闞君武等[7]提出過多振子串聯的壓電俘能器等線性壓電能量回收結構，一般均具有固定的一階共振頻率，一旦外界激振頻率偏離該共振頻率，結構振幅將急劇降低?？紤]到實際環境振動源的復雜性，上述能量回收結構的實際應用仍存在一定的困難。為此，共振頻率可調式、陣列式、多模態式、分段線性式、非線性式等更加適應一般環境振動特征的壓電能量回收結構逐漸被提了出來。其中共振頻率可調式能量回收結構具有較高的機械品質因數和能量密度，適合大多數振動頻率隨機緩慢變化的振動源。

EICHHORN等[8]提出一種簡單可靠的共振頻率手動調節裝置，在懸臂梁軸向施加可調節的載荷改變結構的等效剛度，進而實現懸臂梁共振頻率與激振頻率的匹配功能，但頻率匹配過程中裝置必須停止工作。PILLATSCH等[9]提出了一種質量塊滑動式壓電梁結構能夠根據外界激振頻率被動調節質量塊的位置，進而改變梁結構的共振頻率，獲得較大的振幅，該裝置不需要外界干預即能實現頻率匹配的自適應調節功能，但質量塊滑動響應慢，不太適應頻率變化較快且頻繁的環境振動源。ROUNDY等[10]利用壓電驅動器實現了壓電懸臂梁的共振頻率主動自適應調節，頻率匹配速度快，但該方法需要額外的控制系統和驅動功耗。

在馬華安等[11]實驗研究的基礎上，本文提出了一種同樣基于非線性磁力調節結構共振頻率的新型機電耦合結構，首次建立了該結構的二自由度非線性動力學模型并進行了仿真研究和討論，最后通過實驗進行了相關驗證。

1 壓電能量收集器的理論建模

圖1(a)所示為非線性壓電能量收集器的原型結構示意圖，結構由一對非對稱壓電懸臂梁組成：懸臂梁末端固定有永磁體質量塊，永磁體之間產生互相排斥的非線性磁力；懸臂梁固定端與裝置的基礎框架相連。

(a)

(b)

結構在外界振動源激勵下，懸臂梁1和2發生受迫振動，振動位移分別記為x1和x2，由于非線性磁力的存在，x1和x2互相耦合卻不線性相關。本文僅考慮懸臂梁1和2發生在一階固有頻率附近的振動，即振型為一階模態振型，結合振動力學理論，該結構可以等效成二自由度非線性受迫振動系統。結構的等效模型如圖1(b)所示，一對非對稱懸臂梁分別等效成質量mi彈簧Ki阻尼Di(i= 1, 2)系統并集成有壓電元件。環境振動源直接作用于系統基礎框架上，非線性磁力作用于質量塊mi上。

由于磁力的計算公式受永磁體形狀、磁場分布等因素的影響十分復雜，為簡化計算非線性磁力，結構中的永磁體將被近似看成磁矩分別為m1和m2的磁偶極子，結合文獻[12]，可得簡化后磁偶極子2作用在磁偶極子1上的作用力FB：

(1)

式中：μ0為真空磁導率；r為向量r21的模。建立圖 1所示的直角坐標系，式(1)中各個向量可以寫成如下形式：

m1=m1v1cosθ1i+m1v1cosθ1j

(2)

m2=-m2v2cosθ2i+m2v2cosθ2j

(3)

r21=-di+(x1-x2)j

(4)

式中：mi，vi分別為對應永磁體的磁化強度和體積，d為磁偶極子在i方向上的磁間距，磁偶極子與i方向的夾角θi可根據幾何關系給出近似表達式：

(5)

(6)

根據文獻[13]給出的結論，懸臂梁在振動過程中，j方向的磁力影響遠遠大于i方向的磁力影響，因此式(1)可作進一步簡化，結合式(2)～(6)，忽略i方向上的向量分量，最終得到僅在j方向上的磁力FB，大小記為FB。對于給定的壓電能量回收結構，磁力FB僅與懸臂梁的振動位移x1和x2有關，由于振動位移在mm級別，對FB在x1=0,x2=0處作二元泰勒展開，最終可得磁力的近似表達式，如下：

(7)

對于給定的機電耦合結構，式中a1，a2，b1，b2，c1，c2為常數，僅與懸臂梁梁長L1，L2和磁間距d有關。通過式(7)可知，一對懸臂梁必須是非對稱設計，確保非線性磁力FB在理論上不恒等于0，且非對稱性主要體現在懸臂梁的梁長上。假設磁偶極子2不發生振動，即x2=0，式(7)即等于眾多文獻在單自由度非線性動力學模型中簡化的非線性磁力。

根據牛頓定律，式(8)給出了圖1(b)中二自由度非線性系統的動力學方程[14]：

(8)

式中：Mi為系統等效質量；ξi為系統阻尼比；ωi為二自由度系統對應的共振頻率；γ為外界激振加速度；αi為壓電懸臂梁力電耦合因子；Vi為壓電元件輸出電壓。根據壓電效應方程，式(9)給出了壓電機電耦合結構中的機械參數x1，x2和電學參數(I1，V1)，(I2，V2)之間的關系方程[14]。其中Ii，Ci分別為壓電元件的輸出電流和受夾電容。

(9)

2 壓電能量回收結構的實驗裝置及參數

圖2所示為實驗系統結構示意圖及壓電能量回收結構實物圖。振動能量回收實驗系統基于dSPACE實時仿真控制器進行搭建，實時控制器數模轉換端口輸出正弦掃頻激振信號，經功率放大器進入激振器輸入端，使其產生相應頻率的振動。裝置框架上固定有加速度傳感器，將實際激振加速度信號經信號調理儀反饋給實時仿真控制器，控制器計算加速度幅值并與設定的數值進行比較，進而讓閉環系統實時調節輸出增益，確保實際激振加速度幅值保持恒定。

非對稱壓電懸臂梁實物固定在有機玻璃制成的基礎框架上，基礎框架與水平放置的激振器相連，確保懸臂梁沿水平方向振動，抵消了質量塊重力的影響。線性懸臂梁1和2以及末端質量塊的材料均為不銹鋼。為方便調節磁間距d，懸臂梁2可在基礎框架上左右調節。

圖2 實驗系統結構示意圖及壓電能量回收結構實物圖

Fig.2 The schematic of the experimental system and the photo of the piezoelectric energy harvesting structure

在上述閉環實驗系統中首先測定線性條件下(結構中無磁力FB)，兩個懸臂梁各自的結構參數，參照式(10)，最終實驗測得壓電懸臂梁結構的各項參數如表 1所示(永磁體的各項參數根據產品數據手冊直接給出)，其中βi為壓電懸臂梁開路輸出電壓與末端位移的比值，ωsi和ωoi分別為壓電元件短路和開路條件下懸臂梁的共振角頻率，Qi為結構的機械品質因子。

(10)

表1 二自由度非線性系統的相關參數Tab.1 Parameters of the two degree of freedom nonlinear system

3 壓電能量收集器的仿真及實驗研究

3.1 仿真結果及其討論

式(8)和(9)分別給出了二自由度非線性系統動力學和機電耦合部分的微分方程，利用Matlab/Simulink數值仿真分析軟件，采用ODE45求解器，即可仿真得到系統在時域內的動力學響應和壓電元件輸出電壓。

在仿真過程中，激振加速度采用振幅為3 m/s2，頻率為10～60 Hz的正向掃頻信號；磁間距d的變化范圍為20～40 mm；式(11)給出了壓電能量收集器在無接口電路的情況下，產生最大輸出功率所對應的最優負載計算公式[15]，因此計算得到阻值為114 kΩ和707 kΩ的匹配電阻分別接對應的壓電元件1和2，仿真過程中匹配電阻的阻值不再變化。此時計算相應激振頻率下通過電阻的電流值，即可計算得到壓電懸臂梁各自的輸出功率。兩個壓電懸臂梁的輸出功率直接相加，最終可得到壓電能量回收裝置的總輸出功率隨激振頻率變化的仿真關系曲線，如圖3所示。

(11)

圖3 不同磁間距下輸出功率與激振頻率的關系曲線圖

Fig.3 The curves of the output powers as a function of excitation frequency under the different magnetic distances

圖3中實線為壓電能量回收結構在非線性條件下獲得的總輸出功率，即結構存在非線性磁力作用；虛線為兩個線性壓電懸臂梁各自的輸出功率之和，懸臂梁之間不存在磁力作用。為方便比較，激振頻率和輸出功率均作了歸一化處理：激振頻率以線性壓電懸臂梁1的一階固有頻率作歸一化；輸出功率以線性壓電懸臂梁1的最大輸出功率作歸一化。

圖3中的仿真結果可以看出改變磁間距d的大小能夠明顯調節懸臂梁1和2的共振頻率：d越小，結構實際共振頻率越低。利用該現象，實際能量回收結構就可以通過調節磁間距d的大小，讓其中一個或兩個懸臂梁去匹配環境振動源的激振頻率，進而獲得較高的輸出功率。仿真結果可知該非線性能量回收結構共有兩個較寬的工作頻帶：BW1和BW2，上限截止頻率即為線性情況下對應懸臂梁的固有頻率。值得指出的是在工作頻帶BW1和BW2內，能量回收結構的總輸出功率均比對應線性情況下懸臂梁的輸出功率高。

圖4分別給出了兩個壓電懸臂梁在線性與非線性情況下各自的頻響特性曲線，為簡化仿真參數，懸臂梁的振幅以非線性條件下，磁間距d(d=24 mm)的值為參考量作了歸一化處理。

圖4 壓電懸臂梁振幅隨激振頻率變化關系曲線圖(d=24 mm)

Fig.4 The vibration amplitude curves of the piezoelectric beams as a function of excitation frequency (d=24 mm)

通過圖4可以發現當歸一化激振頻率為0.85時，雖然其遠低于線性懸臂梁2的歸一化固有頻率1.61，但在非線性磁力的作用下，非線性懸臂梁2多出了一個振動模態，并在該模態下產生了較高的輸出功率。參考圖5中的振動位移放大圖可以看出在此激振頻率下，懸臂梁1和2的振動位移相位差約為180度。

圖5 非線性情況下壓電懸臂梁振動位移隨激振頻率變化關系曲線圖(d=24 mm)

Fig.5 The vibration displacement curves of the nonlinear piezoelectric beams as a function of excitation frequency (d=24 mm)

當歸一化激振頻率為1.5時，懸臂梁2的受迫振幅明顯大于其在線性條件下的最大振幅，參考圖5中的振動位移放大圖可以看出在此激振頻率下，懸臂梁1和2的振動方向幾乎一致。對于振幅較大的懸臂梁2來說，作用在等效質量塊2上的非線性磁力始終與其振動位移同方向，使其更容易獲得較高地振幅，進而增加了壓電懸臂梁2的機電轉換效率。

3.2 實驗結果及其討論

圖6所示為基于本文所述的閉環實驗系統，壓電振動能量回收結構在加速度幅值恒定的正弦激勵下，通過改變磁間距d獲得的輸出功率頻響曲線圖。其中虛線為磁間距為40 mm時的測試結果，此時磁力FB可忽略，即認為懸臂梁1和2處于線性振蕩狀態；實線為結構處于非線性振蕩狀態下的實驗結果，磁間距在20～32 mm之間變化。

圖6 不同磁間距下實際輸出功率與激振頻率的關系曲線圖

Fig.6 The practical output power as a function of excitation frequency under the different magnetic distances

實驗結果清楚地表明能量回收結構有兩個較寬的工作頻帶BW1和BW2。其中BW1的帶寬為7 Hz，略大于BW2的帶寬6.5 Hz，與仿真結果一致。當外界激振頻率在這兩個工作頻帶范圍內變化時，壓電能量回收結構的總輸出功率均大于2 mW。

需要指出的是，相比于仿真結果，實際結構在工作頻帶BW1和BW2內，總輸出功率并沒有顯著提高。這主要是因為實際結構受到永磁體實際磁場以及加工、裝配精度等因素的影響，磁力的等效作用點沒有嚴格地落在懸臂梁的中性面內。因此對于懸臂梁2，在工作頻帶BW1內，磁力FB所做的功不恒等于0；在工作頻帶BW2內，磁力FB不能始終與壓電懸臂梁2的中性面振動方向一致，導致懸臂梁2的振動不能被有效地激發或提高，大大降低了結構總的輸出功率。

4 結 論

本文介紹了一種基于非線性磁力調節結構共振頻率的壓電振動能量回收結構。建立了理論模型并進行了仿真分析，實驗結果表明：通過改變結構在初始狀態下磁間距d的值，即可實現結構的共振頻率匹配調節功能。由于結構同時具有兩個較寬的工作頻帶，該能量回收裝置特別適用于功率譜密度具有一個或兩個峰值且會在小范圍內隨機緩慢改變的環境振動源。后續研究將設計該裝置的共振頻率自適應匹配系統，并著重優化控制系統的功耗和頻率匹配速度，使所述結構具有更好的實際應用價值。

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A nonlinear piezoelectric vibration energy harvesting device with tunable resonance frequencies

WU Yipeng, JI Hongli, QIU Jinhao, ZHANG Hao

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Vibration energy harvesting technology can convert ambient mechanical vibration energy into electrical energy and then powers micro-power consumption devices, it is an attractive technology for practical application.Here, a novel vibration energy harvesting device was designed based on piezoelectric materials, its electro-mechanical coupled structure was composed of a pair of asymmetric cantilevers, their free ends were glued with magnets.Fortunately, a nonlinear magnetic force caused by magnets was adopted to realize the matching adjustment between the resonance frequency of the cantilever and external excitation frequency.The theoretical model of the device’s structure was proposed.The model was simulated with MATLAB/Simulinke and verified with tests.The results showed that when the external excitation acceleration amplitude is 3 m/s2, the device can be used to realize the frequency matching adjustment within a wider frequency band range, the frequency band range is higher than 6.5 Hz and the maximum harvesting power is higher than 2 mW.

energy harvesting; frequency tuning; piezoelectric; nonlinear

國家自然科學基金(11532006)；江蘇省青年基金(BK20130791)；江蘇省博士后科研資助計劃(1501025C)；中央高?；究蒲袠I務費專項(NE2015001)；江蘇高校優勢學科建設工程；南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室自主研究課題(0515Y02)

2016-01-07 修改稿收到日期：2016-02-20

吳義鵬 男，博士，講師，1986年12月

季宏麗 女，博士，副教授，1983年2月

TB123；TB381

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.003