高速旋轉柔性梁剛柔耦合動力學分析

周蘭偉, 陳國平, 孫東陽

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094;2.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室, 南京 210016;3.重慶大學 航空航天學院, 重慶 400044)

高速旋轉柔性梁剛柔耦合動力學分析

周蘭偉1, 陳國平2, 孫東陽3

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094;2.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室, 南京 210016;3.重慶大學 航空航天學院, 重慶 400044)

基于一次近似理論對繞縱軸高速旋轉的柔性梁進行動力學分析，考慮了軸向與橫向振動之間的耦合作用以及由偏心產生的離心力作用；采用Hamilton原理導出了旋轉柔性梁在恒定轉速下動力學方程，并采用假設模態法對所得動力學方程進行分析，得出恒定轉速下柔性梁一次近似模型與零次近似模型動力學響應。二者對比表明柔性梁在低速旋轉時剛柔耦合項影響較小，可以忽略，可采用零次近似模型；而在高速旋轉時剛柔耦合項影響較大，不可以忽略，應采用一次近似模型以得到較為精確的結果。

高速； 旋轉柔性梁； 一次近似； Hamilton原理;假設模態法

繞自身縱軸旋轉梁是工業中應用極為廣泛的一種基本機械元件，在航空領域、工業生產中都有著極為廣泛的用途，如航空、航天等高科技領域內的旋轉飛行器、衛星支撐臂及機械中的微型旋轉部件等都可以用旋轉梁來模擬其運動狀態及動態特性。隨著科學技術的發展及工作環境的變化，旋轉結構的應用領域越來越廣泛，如在飛行過程中需要較高的轉速來保證飛行穩定性的高速旋轉飛行器[1]、橫軸旋翼機等；此外對旋轉機構的旋轉速度的要求也越來越高，相應地對于高速甚至超高速工作狀態下部件的安全性、穩定性要求亦隨之增高。因此此類柔性旋轉結構動力學特性也受到越來越多研究者的關注。

旋轉梁的動力學特性研究最早可追溯到20世紀60年代，DIMENTBER[2]采用經典Euler-Bernoulli梁模型推導出了簡支條件下旋轉梁的特征方程； SHEU[3]以Rayleigh梁為基礎研究了不同邊界條件下旋轉梁的渦動速度、臨界轉速、模態陣型等動力學特性； SLOETJES[4]采用主動模態阻尼及主動模態平衡方法對柔性轉軸的振動控制進行了研究； MAMANDI[5]研究了恒定轉速下Timoshenko梁在三向力作用下的非線性動力學響應；國內大量學者也對此作了全新的研究工作，錢新等[6-7]研究了旋轉Rayleigh梁在重力作用下的動態特性，通過理論分析和數值模擬研究了激勵頻率、陀螺效應、轉動慣量、長細比對渦動頻率、臨界速度和模態振型的影響及旋轉Rayleigh梁在不同邊界條件下線性和非線性模型下不同的動力學特性。

圖1 橫軸旋翼機中的旋轉梁Fig.1 Spinning beam in cyclogyro

目前研究大都忽略了旋轉梁的剛柔耦合項，在低速旋轉情況下可以得到較為接近的結果，但是在高速旋轉情況下采用此類分析方法所得到的結果往往與實際不符。在變形場描述中忽略由橫向變形引起的軸向縮短效應的方法稱為零次近似方法，反之，如果變形場描述中考慮這一項，則稱之為一次近似方法[8]。一次近似方法在首先應用在以直升機旋翼為研究對象的旋轉梁中，本文以橫軸旋翼機中橫軸為研究對象，如圖1所示，采用一次近似Rayleigh梁模型對高速旋轉柔性梁進行剛柔耦合動力學分析，采用廣義Hamilton原理推導其動力學方程，并采用假設模態法分析相應的動力學響應，得到了不同轉速下動力學響應并分別與零次近似模型進行了比較。

1 旋轉柔性梁一次近似模型

高速旋轉柔性梁，如圖2所示，繞自身縱軸以恒定轉速Ω旋轉，梁長L，密度ρ，矩形截面。假設旋轉時梁上某點的位移為D=uix+viy+wiz，則梁的實際軸向變化量根據連續介質力學原理[9]可寫為

(1)

故D={s+wc}ix+viy+wiz

(2)

式(2)中積分項反映了由于橫向變形引起的軸向縮短，將在變形場描述中忽略這一項的方法稱為零次近似方法，反之，如果變形場描述中考慮這一項，則稱之為一次近似方法。零次近似理論直接套用了結構動力學的小變形假設，忽略了此積分項，在低速情況下可以得到近似的結果，但是在高速旋轉情況下可能導致錯誤的結論。

圖2 旋轉梁示意圖Fig.2 Schematic diagram of spinning beam

通過將式(1)對x求導可得

(3)

根據Euler-Bernoulli梁假設，梁上任意一點的軸向正應變為

(4)

將式(3)代入式(4)得

(5)

2 旋轉柔性梁動力學方程

旋轉柔性梁的總動能可以由下式表示[5]T=Ts+Te，其中Ts和Te分別表示因轉動和偏心引起的動能：

(6a)

(6b)

旋轉梁勢能可以寫為

(7)

外力做功的變分為

(8)

式中：P表示梁兩端所受軸力；Fx，Fy及Fz表示作用于旋轉梁上的外力。

e(x)ρAΩ2cosθ1sin(Ωt+φ1(x))

(9a)

e(x)ρAΩ2cosθ2sin(Ωt+φ2(x))

(9b)

e(x)ρAΩ2cosθ3sin(Ωt+φ3(x))

(9c)

3 假設模態法

為了計算的簡便，忽略了式9(a)～9(c)中部分變形耦合項wc及附加質量部分。旋轉梁上任意一點軸向變形s及橫向位移v,w可以寫為

s(x,t)=Φs(x)qs(t)

(10a)

v(x,t)=Φv(x)qv(t)

(10b)

w(x,t)=Φw(x)qw(t)

(10c)

其中

Φsj(x)，Φvj(x)及Φwj(x)可以表示為[10-11]：

j=1,2,3,……n

(11)

將式10(a)～10(c)代入式9(a)～9(c)可得

Fxδ(x-l1)+e(x)ρAΩ2cosθ1sin(Ωt+φ1(x))

(12a)

Fyδ(x-l2)+e(x)ρAΩ2cosθ2sin(Ωt+φ2(x))

(12b)

Fzδ(x-l3)+e(x)ρAΩ2cosθ3sin(Ωt+φ3(x))

(12c)

式12(a)～12(c)左右兩邊分別乘以Φsj(x)，Φvj(x)，Φwj(x)可得:

Fxχ(t)aj(x1)+ρAΩ2Κ1

(13a)

Fyχ(t)bj(x2)+ρAΩ2Κ2

(13b)

Fzχ(t)cj(x3)+ρAΩ2Κ3

(13c)

式中:Mij等可由Φsj(x)，Φvj(x)及Φwj(x)得到。其中：

式13(a)～13(c)經過簡化可得：

(14a)

Fyχ(t)bj(x2)+ρAΩ2Κ2

(14b)

Fzχ(t)cj(x3)+ρAΩ2Κ3

(14c)

式中：aj(l1)=Φsj(l1)，bj(l2)=Φvj(l2)，cj(l3)=Φwj(l3)。

采用MATLAB中龍格-庫塔法對上述方程進行數值分析，可分別得到qsj(t)、qvj(t)、qwj(t)，將其代入式10(a)～10(c)中即可得到高速旋轉柔性梁的動力學響應。

4 算例分析

柔性梁的主要物理參數為：柔性梁的材料密度ρ為2 000 kg/m3，橫截面積A為4×10-6m2，長度l為0.6 m，慣性矩Id為1.33×10-12m4，極慣性矩Ip為2.66×10-12m4，彈性模量E為1×1010N/m2，軸力P為0 N，假設偏心引起的三個方向的離心力載荷分別為

Fex=ρAΩ2K1=0.01ρAΩ2sin(Ωt+0.5π)，

Fey=ρAΩ2K2=0.005ρAΩ2sin(Ωt+0.1π)，

Fez=ρAΩ2K3=0.005ρAΩ2sin(Ωt+0.1π)。

所受外載荷方向及位置見圖3

Fy=0.05sin(6πt)，Fx=Fz=0

為了考察零次近似與一次近似響應曲線，建立旋轉柔性梁響應相似度：

(15a)

圖3 旋轉柔性梁加載示意圖Fig.3 Load applied to spinning beam

(15b)

式中：v0，w0表示使用零次近似方法得到梁上某點的橫向位移響應，v1，w1表示該點使用一階近似方法得到的橫向位移響應。當RV，RW為1時表示使用兩種不同模型得到的橫向位移響應完全相同，當值為0時表示橫向位移響應完全不同。一次近似模型與零次近似模型所得到的位移響應曲線差異越大，則RV，RW越小。圖4～圖6分別表示不同轉速下旋轉柔性梁在離心力引起的載荷及外載荷作用下的橫向位移曲線。從圖4可以看出，在旋轉速度為50 rad/s時一次近似模型與零次近似模型所得到的位移響應曲線差異較小，說明在低速旋轉時剛柔耦合項對梁的動力學特性影響較小，可以忽略，此時采用零次近似模型即可較好地描述低速旋轉柔性梁動力學特性；旋轉速度為220 rad/s時兩種模型得到的橫向位移具有明顯差異，如圖5所示；圖6表示在270 rad/s時，所得橫向位移差別很大，說明零次模型此時已經不能準確描述旋轉梁的動力學特征。從圖7可以看出兩種模型所得到的橫向位移曲線的差異隨著轉速的增加逐漸增大，在480 rad/s時兩種模型得到的位移相似度僅為0.9，說明高速旋轉時剛柔耦合項對梁的動力學特性影響較大，不可以忽略，此時零次近似模型已不適用于高速旋轉柔性梁的建模，而一次近似模型由于考慮了軸向位移對橫向振動的影響，能更準確地描述高速旋轉柔性梁動力學特性。

5 結 論

本文詳細推導了基于一次近似模型繞縱軸高速旋轉柔性梁的剛柔耦合動力學方程，并采用假設模態法對柔性梁動力學響應進行了分析。

算例結果表明，旋轉柔性梁低速旋轉時采用一次近似模型所得到的動力學特性與零次近似模型存在較小差異，而高速旋轉時兩種模型表現出較大差異，說明忽略了軸向變形對橫向變形影響的零次近似模型不能準確地描述高速旋轉柔性梁的動力學特性，而采用一次近似模型方法可以得到更為準確的結果。

[1] 朱懷亮.高速旋轉飛行器彎—扭—軸向變形耦合與拍振[J].振動與沖擊, 2002, 21(2): 32-35.

ZHU Huailiang.Dynamic analysis of sinning flexible missiles with coupled lateral-torsional-axial vibrations[J].Journal of Vibration and Shock, 2002, 21(2): 32-35.

[2] DIMENTBERG F M.Flexural vibrations of spinning shafts[Z].Butterworths Press, London, 1961.

[3] SHEU G J, YANG S M.Dynamic analysis of a spinning Rayleigh beam[J].International Journal of Mechanical Sciences, 2005, 47(2): 157-169.

[4] SLOETJES P J, DE BOER A.Vibration reduction and power generation with piezoceramic sheets mounted to a flexible shaft[J].Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2008, 19(1): 25-34.

[5] MAMANDI A, KARGARNOVIN M H.Nonlinear dynamic analysis of an axially loaded rotating Timoshenko beam with extensional condition included subjected to general type of force moving along the beam length[J].Journal of Vibration and Control, 2012,19(16):2448-2458.

[6] QIAN X, DU X.Dynamic characteristics of spinning Rayleigh beams[J].Lixue Xuebao/Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(3): 635-640.

[7] FRANK PAI P F, QIAN X, DU X W.Modeling and dynamic characteristics of spinning Rayleigh beams[J].International Journal of Mechanical Sciences, 2013,68:291.

[8] 董興建，孟光，蔡國平,等.旋轉柔性梁的動力學建模及分析[J].振動工程學報, 2006, 19(4): 488-493.

DONG Xingjian, MENG Guang, CAI Guoping, et al.Dynamic model ling and analysis of a rotating flexible beam[J].Journal of Vibration Engineering, 2006, 19(4): 488-493.

[9] YOO H H, RYAN R R, SCOTT R A.Dynamics of flexible beams undergoing overall motions[J].Journal of Sound and Vibration, 1995, 181(2): 261-278.

[10] LEE H P.Dynamic response of a rotating Timoshenko shaft subject to axial forces and moving loads[J].Journal of Sound and Vibration, 1995, 181(1): 169-177.

[11] OUYANG Huangjiang, WANG Minjie.A dynamic model for a rotating beam subjected to axially moving forces[J].Journal of Sound and Vibration, 2007, 308(3): 674-682.

Rigid-flexible coupled dynamic analysis for a high-speed spinning flexible beam

ZHOU Lanwei1, CHEN Guoping2，SUN Dongyang3

(1.School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing, 210094;2.State Key Lab of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016，China;3.College of Aerospace Engineering，Chongqing University，Chongqing 400044, China)

Here, rigid-flexible coupled dynamic properties of a high-speed spinning flexible beam around its own longitudinal axis were studied.Using the first-order approximation model, the coupling effect of axial vibration and transverse one of the beam was considered.Besides, the centrifugal forces caused by eccentricity were also considered.The beam’s governing coupled partial differential equations of motion under a certain spinning speed were derived using Hamilton’s principle, and the assumed mode method was used for discretization.For different spinning, speeds, the transverse vibration response of the beam’s zero-order approximate model was compared with that of its first-order approximation model.The simulation results indicated that the zero-order approximate model is valid for the dynamic description of the flexible beam spinning at a lower speed since the effect of the rigid-flexible coupled terms is small and can be neglected; but when the beam spins at a higher speed, the first-order approximate model can account for the larger effect of the rigid-flexible coupled terms to obtain the beam’s more accurate dynamic response.

high-speed; spinning flexible beam; first-order approximation; Hamilton principle; assumed mode method

江蘇高校優勢學科建設工程資助項目(PAPD)

2015-10-19 修改稿收到日期：2016-02-21

周蘭偉 男，博士生，1988年2月生，

陳國平 男，博士，教授，1956年7月生，E-mail：gpchen@nuaa.edu.cn

O327; O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.022