高中函數最值問題的求解方法分析

?羅廣睿

高中函數最值問題的求解方法分析

?羅廣睿

高中數學是高中三大主科之一，函數是高中數學學習的重要板塊，其中函數的最值問題可考查學生對于導數、向量、不等式、解析幾何、線性規劃等知識的掌握情況，以及學生應用函數與方程、數形結合、轉化與規劃等數學思維分析問題和解決問題的能力，在高中數學試題中屢有涉及。本文根據自己的學習理解，對函數題型特點進行分析總結，探討如何求解函數最值這一問題。

高中數學；函數題型；最值問題

高中數學在高中課程中難度大，對學生的要求很高。通過幾年的數學學習，我認為提高數學成績的關鍵是在平時學習中注意完善數學思想、提升邏輯思維能力。除此之外，還可以對試卷的各類題型進行分析歸納，從不同的角度分析其解題核心，重點與難點，解題思路與方法，完善建模體系，從而對各類題目進行逐個擊破。

一、高中數學函數題型的特點

高中數學試卷中經常出現由函數知識分類引導出的各種題型，如對函數的求導、函數的區間與定義域、用函數思想解決應用題、最值問題的求解等等。對函數最值問題的求解需要了解函數題型的特點，通過分析歸納，總結出以下三點：

1.函數題型涉及到自變量與因變量的關系，是一個不確定范圍。我們在初等數學中常常需要對自然數、有理數等進行求解，這些需要求解的數統稱為常數，是不會隨著其他因素的變化而變化的數。但函數不是一個數，而是數的集合，涉及到函數題型，更多的是建模思想的運用，因變量Y在自變量X的變化下跟隨變化，X可以是定義域上的任何數而不是常數，因此函數是研究變量與變量之間的關系，而非簡單的求解。

2.函數題型需要與圖形結合幫助分析判斷。函數變量之間的轉換關系有無數種，因此在坐標軸上也有無數種圖形作為函數之間的對應關系存在。一元一次函數的對應圖像并不復雜，是一條直線；而二元一次函數對應圖像是拋物線，必須確定這個函數與坐標軸之間是開口向上還是向下的關系，確定對稱軸。高中數學涉及到自變量與因變量的對應通常都較為復雜，學習時一定要畫圖并根據圖形進行正確的分析判斷，使抽象的函數對應關系具象化，從而方便解題。

3.需要一定的建模能力，大膽作出假設。自變量與因變量因為各種對應關系成為函數，因此函數是自變量與因變量在其定義域上的集合，也就是簡單的模型。涉及到多個函數的相交點，或是最值問題的求解時，需要對為數不多的條件進行歸納分析，綜合判斷設定自變量與因變量，建立函數模型，再根據條件反復代入，得出答案。

二、高中數學函數最值問題的求解方法分析

對最值問題的求解經常出現在函數題型中。通過平時的學習總結，對函數最值問題的求解方法分析如下：

1. 作圖，劃分定義域，求解 高中函數問題中涉及到多個自變量與因變量，對應關系多種多樣，總體而言較為復雜，若不在草稿紙上對圖形進行補充將難以求解，因此畫圖是第一步。求解的第二步是根據函數自身特點，對定義域進行定義，定義域是自變量的幾何，根據數學上的概念，對不可能存在的數進行排除，加上題中可能已有函數的定義域，求出二者的交集，得出定義域，作出基本圖形。求解定義域能夠縮小范圍，有利于圖形上直觀的表現出因變量的增加或是減少趨勢，得出大至方向。

2. 連續函數中的求導，直觀分析求出最值 對于連續函數，求導是得出最值的最有效方法。對于劃分好定義域的函數而言，進行簡單的作圖，并對其求導，判斷函數在區間內呈上升趨勢還是下降趨勢。一般而言，求導為零的點的因變量值，或是定義域的邊界點對應的因變量值，很大可能是函數的最值。值得注意的是需要對求導為零的點進行兩段定義域的劃分，再根據上升下降趨勢對導數為零的點進行判斷分析。

3.根據函數對應關系本身特點，進行假設與代入求解 有些函數的對應圖像極為復雜，對應關系在題型中非常罕見，就難以從題型中直觀地看出最值。此時更需要關注題目中所給的條件，如定義域的劃分，或導數的增減。這類題型有些可通過二次求導來解答，有些只能夠大膽的建立模型，再根據建立的模型利用數學公式和定理再次建立兩者間的關系，得出最值。

綜上所述，函數題型在高中數學中的地位不容忽視，函數的最值問題在函數題型中作為一個過渡題目，只有求解出最值才能夠對下一個問題進行求解。求解函數最值問題方法萬變不離其宗，根據作圖與求導等一系列決策得到答案，對一些更為復雜的題目則需要建模等方法進行綜合分析解答。除了要總結各種函數題型的特點外，我們還要在大量的練習中熟悉各種數學思想，提升自身的思維邏輯能力與建模能力，才能提高學習成績。

[1]俞志能.淺談函數最值問題的求解思路與方法[J].數理化解題研究(高中版).2012年第07期

[2]傅欽志．函數最值問題的求解策略[J].中等數學.2012年 第9期

四川省成都石室天府中學 610041)