基于反饋控制的橋梁節段模型干風洞實驗仿真

鄧 智，宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

基于反饋控制的橋梁節段模型干風洞實驗仿真

鄧 智，宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

在風場作用中，針對橋梁結構與風荷載耦合而表現出非自伴隨動力系統的現象，提出了僅具有5個獨立控制參數的橋梁節段主動控制模型來模擬含有8個顫振氣動導數的節段風洞試驗模型。該模型由剛體所受的分布力系可等效為集中力系原則出發，利用PID反饋控制技術所構造，其在數學力學模型方面與風洞試驗模型完全一致。通過幾何變換，干風洞實驗測量的線位移信號可轉換為角位移信號。同時，運用MIMO分析技術可簡單而精確獲取系統完備的頻響函數矩陣，再采用基于復模態理論中左右特征向量的辨識算法識別控制參數。通過數值仿真，驗證了主動控制模型的合理性，同時也顯示了該模型在橋梁風振研究中的應用價值和推廣意義。

橋梁風振； 主動控制； 模態分析； 參數辨識

風對橋梁的作用由于瞬時空氣動力與橋梁風振響應之間存在相位差，使得橋梁有可能從風場中吸取能量而使振幅增大，從而發生顫振。顫振會導致災難性破壞，1940年美國塔科馬大橋因顫振而坍塌就是一個經典實例。因此，顫振分析是現代大跨度橋梁抗風研究的主要內容之一。針對作用在非流線型鈍體上的小振幅條件下的非定常氣動力，SCANLAN等[1]提出了由顫振氣動導數描述的自激勵顫振模型，后又提出了二維橋梁斷面的顫振氣動導數分狀態自由振動辨識方法，從而奠定了橋梁氣動彈性研究的理論基礎。風洞模型試驗是獲取顫振氣動導數的重要手段，主要的試驗方法有強迫振動法和自由振動法——強迫振動法在較低、較高風速下都能獲取穩定的顫振氣動導數，但其試驗裝置較復雜，試驗條件要求和費用較高；自由振動法不適合較高風速及運動響應幅值較大的情況下顫振氣動導數的辨識，且試驗量和試驗難度都較大。

SARKAR[2]提出的基于時域振動模態參數辨識理論的MITD方法，將均勻流和紊流中的氣動導數辨識納入到統一的數學模型，整體辨識所有氣動導數。此后，基于現代參數辨識理論的顫振氣動導數的整體辨識技術成為橋梁抗風研究領域的一個重要課題。GU等[3-4]采用基于自由振動響應的總體最小二乘(ULS)方法，并通過增加模型慣性量成功實現了節段模型在較高風速作用下顫振氣動導數的辨識。BROWNJOHN等[5]運用協方差塊Hankel矩陣法來處理節段模型風洞試驗的二自由度振動衰減響應，通過系統辨識來提取橋梁節段的顫振氣動導數。CHEN等[6]以及CHOWDHURY等[7]分別運用廣義最小二乘(GLS)理論以及最小二乘迭代(ILS)方法整體辨識了三自由度節段模型的顫振氣動導數。關于橋梁顫振氣動導數的辨識理論研究已趨成熟，取得了豐碩的成果[8-11]。受到航空領域地面顫振模擬實驗[12]的啟示，從振動控制理論出發，本文提出了一種基于主動控制的橋梁節段干風洞(Dry Wind Tunnel)實驗模型。以此模型來模擬橋梁節段在風洞模型試驗中的動力學特性；然后采用MIMO分析技術，將外激勵施加于實際測點而非虛擬測點，進而得到完備的頻響函數矩陣；最后采用了ZHANG等[13]提出的一種基于復模態理論中完備左、右特征向量的算法，整體辨識八個顫振氣動導數修正量，再經矩陣運算求得系統的反饋控制參數。

1 橋梁節段風洞試驗模型自激勵模型

橋梁節段在風洞模型試驗中簡化為二自由度動力學方程：

(1)

(2)

(3)

綜合(2)和(3)可得：

(4)

2 干風洞試驗思路

2.1 干風洞概念

干風洞包含數據采集系統和反饋控制系統兩部分(見圖1)。數據采集系統：通過位移或速度傳感器采集得到響應信號，記錄并整理。反饋控制系統：以數據采集系統的結果作為輸入，經過運算得到實時的反饋作用力，并通過激振器作用于橋梁節段。由上述過程建立的試驗系統，稱之為干風洞。

圖1 干風洞示意圖Fig.1 DWT diagram

2.2 橋梁節段主動控制模型自激勵模型

圖2 主動控制模型的實驗示意圖Fig.2 Active control model experiment diagram

(5)

由此可看出，主動控制模型和風洞試驗模型具有完全一致的數學模型和力學模型。

如同式(3)此處將自激力寫為由反饋控制參數表達的矩陣方程：

(6)

綜合和可得：

(7)

至此，原本橋梁節段風洞試驗模型需要8個參數來表示，現在主動控制模型中只需5個控制參數。同時也說明，主動控制模型不僅能夠完全模擬或替代風洞試驗模型，而且還能縮減系統獨立參數的個數。

用主動控制模型中的5個控制參數表示8個顫振氣動導數：

(8)

由式(8)可以看出，顫振氣動導數成對出現且由含有反饋氣動中心的等式相互關聯。因此，只需5個獨立的控制參數即可定義橋梁與風場的耦合作用效果。

2.3 主動控制模型的動力學建模

進一步將橋梁節段模型的動力學方程簡化為

(9)

簡記為

(10)

由于流體激振原理或反饋控制作用，橋梁系統的物理結構發生變化，式(10)所述的阻尼、剛度矩陣不再具有對稱形式，不再遵守Maxwell互易律，形成非經典系統。盡管有非對稱存在，但系統并未同時出現非線性，故疊加原理依然適用。

為方便方程解耦求解，引入幾何變換，用沿主動控制模型寬度方向兩端的法向線位移來表示系統的豎向位移h和扭轉位移θ。假設沿主動控制模型寬度方向兩端點的法向響應分別為x1和x2，偏心距都為B，則有如下幾何變換：

(11)

(12)

3 控制參數辨識

3.1 實驗獲取頻響函數

(13)

由式外激勵產生的響應為

(14)

式(12)的頻域形式經整理可得第i次試驗中有下面關系：

(15)

式(13)和式(14)頻域化處理后，將結果代入式(15)中，并將頻域方程擴展得：

(16)

(17)

將各矩陣的具體形式代入式(17)并取數學期望得：

(18)

由上述過程可求得精確的頻響函數矩陣。

3.2 左右特征向量辨識算法

又頻響函數的具體形式：

(19)

式中：φik,ψjk為系統左右特征向量的元素。

相應地，將頻響函數的留數寫作向量形式：

(20)

做如下的分解，將得到以矩陣的第一行做歸一化的狀態空間特征向量矩陣。

(21)

(22)

(23)

計算式(22)的非對角元素,可得:

(24)

則，

(25)

同理,計算式的非對角元素,可得:

(26)

則，

(27)

從式(25)和式(27)可以看出，阻尼陣和剛度陣是獨立計算而得的，故數值奇異性不會相互疊加，這也保證了辨識結果的精度。

3.3 求取控制參數

(28)

(29)

(30)

又有

(31)

以及

(32)

經過計算即可得到系統的控制參數如下：

(33)

至此，橋梁節段主動控制模型的控制參數已全部通過辨識得到。

4 數值仿真

4.1 數據設定

參考[14]設定主動控制模型自身結構參數如下表：

表1 系統參數Tab.1 System coefficients

表2 頻率預設值Tab.2 Frequency presets

系統的固有頻率能反應系統的某些特性，因此我們先做系統固有頻率隨折減風速變化的分析，結果如圖3。從圖中可以看出，系統的兩階固有頻率隨著折減風速的增大而逐步靠近，當這兩階頻率最終趨于同一頻率時，系統將失去穩定性，發生顫振現象。我們將此臨界狀態所對應的風速稱作臨界風速。由圖4中看到，第一階阻尼比在折減風速6的情況后，開始急速下降，也可分析得出系統趨于臨界狀態，當阻尼比由正變負時，系統發生顫振失穩。圖5中的特征向量表現了隨折減風速變化，系統振型的變化規律。

4.2 參數辨識

在上述推導中，對于主動控制模型所受激振力形式，沒有做出特殊的假定。在主動控制模型的仿真實驗中，我們采用了脈沖激勵對系統施加外激勵。仿真結果都是在采樣頻率128 Hz，采樣時間400 s的采樣條件下得到的。

圖3 固有頻率的變化Fig.3 Eigen frequencies

圖4 阻尼比的變化Fig.4 Damping ratio

(a)第一階振型(b)第一階振型

(c)第二階振型(d)第二階振型

圖5 振型的變化

Fig.5 Different modal

圖6～圖10是參數辨識結果，可以看出，利用本文的辨識方法所得到的控制參數與設定的參數幾乎完全一致，這同時也驗證了主動控制模型的合理性。從圖6～圖9可以看出，隨著折減風速的增大，控制增益不斷增大。圖10表明反饋作用中心隨折減風速增大而逐漸朝橋梁節段邊緣移動。

圖6 Δh的變化Fig.6 Δh and wind speed

圖的變化

圖8 Δθ振型的變化Fig.8 Δθ and wind speed

5 結 論

本文將干風洞的實驗技術路線引入到橋梁節段模型的風洞實驗模擬及參數辨識領域。在橋梁節段模型的剛體假設條件下，導出了通過PID反饋控制實現的與風洞條件下氣動顫振行為保持一致的動力學模型，提出了具有5個獨立控制參數的橋梁節段主動控制模型模擬含有8個顫振氣動導數的節段風洞試驗模型。

圖的變化

圖10 反饋作用中心的變化Fig.10 β and wind speed

進一步設計了仿真實驗技術路線，通過實驗數據獲取系統完備的頻響函數矩陣，導出了基于復模態理論的左、右特征向量的辨識算法。基于文獻[14]給出的風洞實驗數據，重構了數值仿真模型，驗證了本文提出的干風洞實驗思路的可行性和合理性。

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Simulation for a Bridge Section Model’s Wind Tunnel Test Based on Feedback Control

DENG Zhi, SONG Hanwen

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

When a bridge stays in a windy environment, the aerodynamic force makes it act as a non-classic system.For studying this, a five-parameter bridge segment model based on active control was proposed here to simalate a bridge section wind tunnel test model with eight flutter derivatives.According to the principle of equivalent force system, the proposed model constructed with the signal feedback technique coincided with the wind tunnel test model in the aspects of mathematics and mechanics.With a geometric transformation, the linear displacement signals measured in the wind tannel test could be transformed into the angular displacement signals.Meanwhile, the system’s FRF matrix was obtained with the MIMO analysis technique simply and accurately.Then the control parameters were identified with the left-right eigenvectors identification algorithm based on the complex modal theory.Through simulations, the rationality of the proposed model was validated.The results revealed the application prospect of the proposed model in bridge wind-induced vibration study.

wind-induced vibration; active control; modal analysis; parametric identification

國家自然科學基金(11272235)

2015-11-26 修改稿收到日期：2016-02-22

鄧 智 男，碩士生，1989年生

宋漢文 男，教授，博士生導師，1962年生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.019