巧用數學概念解題的嘗試

摘 要：中職生數學基礎較差，在解題過程中，教師要引導他們靈活運用不同方法，培養學習興趣和數學思想。筆者在教學過程中，引導學生從掌握基本概念、區分概念不同點、挖掘題型中隱含條件、直接利用定義解題、化歸基本題型、用實驗驗證數學概念等方面嘗試做題技巧，并運用數學概念培養學生數學思想，解決實際問題。通過巧用數學概念解題的嘗試，收到良好效果。

關鍵詞：巧用 數學概念 解題

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）02（b）-0162-02

數學中的基本概念、基本運算是數學課的重要組成部分，它在加深學生對數學公式、公理、定理、原理的理解，培養邏輯推理能力，以及解題技巧的訓練方面都起著重要作用。通過加深對基本概念的理解，拓寬解題思路，探究解題方法，以達到提高學生分析問題、解決問題的能力之目的。筆者在引導學生巧用數學概念解題方面進行了有益的嘗試。

1 掌握基本概念，挖掘題型中隱含條件

解題時，我們應注重對基本概念的深刻領會，在一些題型中，所給條件看起來不夠，如果從題型所涉及的基本概念深刻理解，把握要領，就會找到解題的方法，使問題化難為易，迎刃而解。

例如：方程的解集為，求p 和q 的值。

在此題求解中，容易想到將代入方程，這樣就有式（1）：，但仍解不出的值。如果我們通過對解集的分析可知，一元二次方程的解集是一個單元素集，又根據集合元素的無重復性，就隱含著方程有兩個相同的解，即式（2）：，式（1）（2）聯絡方程組，便可求出的值。

又如：如果直線與直線關于對稱，求的值。

此題解法很多，如果從函數概念去分析可知，直線與直線關于對稱，即與互為反函數，而的反函數為，與比較可得，。

2 以本為本，直接利用定義解題

軌跡方程的建立，是學生學習中的一個難點，方法很多，有些從曲線的自身定義去解題，會更簡單明了。

如求以點（-2，5）為圓心，并且過點（3，-7）的圓的方程。根據題意，圓的半徑應為圓心（-2，5）到圓上的點（3，-7）之間的距離，由兩點間的距離公式得知半徑，故所求圓的方程為。

再如“試求過定點與定圓相切的圓的圓心軌跡。”

此題利用其他方法去解比較困難，若注意橢圓定義，就較為簡單。設動點，動圓和定圓相切于（從動點），又知定圓以坐標，半徑為3，則，故點軌跡為一橢圓，且，橢圓方程也隨之解出。

3 追根索源，化歸基本題型

許多題目，可以通過對題型進行分析化歸成幾個基本題型的組合，利用基本要領，找到問題突破口。

如：表示何種曲線。

此題是非標準形，難以從整體上直接辨認，若對式子進行分析可以看出，表示點到定點的距離，表示點到直線的距離，從而，由此化為圓維曲線統一定義，可以判斷為雙曲線。

4 認真審題，區分概念不同點

中職學生數學基礎差，且做事粗糙馬虎，相近或相對的數學概念缺乏深入理解和區別，導致做題錯誤。有一次考試，一個學習成績中上等的學生，遇到一道求等差數列前n項和的考題，由于他審題不認真，或許等差數列與等比數列概念混淆，硬用等比數列公式做了題，做題過程很順利，結果也很簡捷，下了考場，同學之間對答案，他很自信，但聽到大多數同學都與他的答案不相同時，才感覺不大對勁兒，后來發現自己誤用“等比數列前n項和公式”求“等差數列前n項和”。

因此，必須教育學生在做題之前，認真審題，區分概念，加強對知識的理解。

5 分組實驗，鞏固數學概念

在教學過程中，筆者注重實踐能力的培養，引入數學實驗，讓學生感受到數學的直觀，并建立數學模型。如在講“柱、錐及其簡單組合體”，特別是在講旋轉體圓柱、圓錐、球體體積時，筆者利用課余時間將學生分為3組做實驗，要求第一組做半徑為10 cm的半球，第二組做半徑為10 cm、高10 cm的圓錐，第三組做半徑為10 cm、高10 cm的圓柱。然后3組再合作實驗，將圓錐放入圓柱中（錐底向下），用半球裝滿沙子，然后將沙子倒入圓柱中，讓學生觀察，學生發現沙子剛好裝滿圓柱體剩余空間。從而學生得出如下結論：在“球體半徑與圓錐、圓柱半徑相等，且半徑與圓錐、圓柱的高也相等”條件下，半球的體積等于圓柱與圓錐體積之差的結論。設定上述旋轉體半徑和高均為R，V圓柱=πR3，V圓錐=，V球=，由上述公式不難得出：圓錐體的體積是圓柱體體積的1/3，球體體積是圓柱體體積的4/3。三者體積的數量關系通過學生的實驗也得到了驗證。

6 強化概念，確立數學思想

每次在學生做作業前，必須強調學生復習當天所學基本內容，用自己的語言有條理地表達新知識，包括概念、公理、定理、公式、知識的應用、題型、解題的方法技巧等，并以書面形式予以表達。這樣做，一來督促學生復習授課內容，強化對概念的理解；二來聽課時迫使他們認真聽講、主動做好隨堂筆記，提高課堂教學效果。

在掌握數學概念的基礎上，引導學生確立數學思想，運用數學思想解決實際問題。數學思想是在數學的發展史上形成和發展的，它是人類對數學及其研究對象、對數學知識（主要指概念、定理、法則和范例）以及數學方法的本質性的認識。它表現在對數學對象的開拓之中，表現在對數學概念、命題和數學模型的分析與概括之中，還表現在新的數學方法的產生過程中。

數學教學中介紹數學符號帶來數學思維表達的簡單美；邏輯和演繹思想帶來學生思維的嚴謹及表達的準確；極限思想中蘊著由量變到質變的規律；模型思想有利于培養與發展學生系統處理問題的能力；集合的概念有助于學生集體觀念、合作意識的形成；講解排列概念引導學生形成規矩意識，遵規守紀、勤奮學習。

7 結語

用數學概念巧解數學題，用實驗驗證數學公式，建立數學模型，鞏固數學概念的掌握，讓學生通過數學概念的理解，確立數學思想，并運用數學思想處理問題。滲透數學思想，能培養學生的思維品質，提高運用數學知識能力，促進學習遷移。介紹數學史實，講解數學家的故事，能激發學生的求知欲和濃厚學習興趣。通過巧妙運用數學概念解題，學生感受到了數學的美，學習興趣濃厚，學習成績明顯提高，用數學思想解決生活中實際問題的能力明顯增強。

參考文獻

[1] 張勇.數學課堂練習的設計與反饋[J].寧波教育學院報，2006，8（3）：89-90.

[2] 黃智科.學生數學探索能力的培養[J].中國科教創新導刊，2010（6）：34.

[3] 毛敉芝.對課堂練習在職高數學教學中如何發揮作用的幾點思考[J].職業教育旬刊，2015（3）：46-49.

[4] 陳新芳.小議數學課堂自主學習新模式[J].河南教育：職成教版，2015（4）：30.