有理系數多項式的復數根

蔡改香

(安慶師范大學，安徽 安慶 246133)

有理系數多項式的復數根

蔡改香

(安慶師范大學，安徽 安慶 246133)

有理數域上有任意次的不可約多項式，這些不可約的有理系數多項式是沒有有理根的，因此，探討有理系數多項式復數根的一些性質是有意義的。

有理數域;多項式;不可約;復數根

1 研究背景

線性代數和多項式代數是高等代數的基本內容，多項式代數是研究多項式和多項式系統所定義的代數與幾何對象的結構、性質、特征、表示及計算的非線性代數。高等代數中多項式代數所研究的內容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。而多項式的根在判斷多項式整除、互素以及求最大公因式等都有作用。由有理系數多項式不可約的Eistein判別法，我們知道，有理數域上存在任意次的不可約多項式，也就是說這些多項式都不存在有理根。所以研究有理系數多項式的無理根以及復數根是很有意義和必要的。文獻[1-4]給出了有理系數多項式存在無理根的一些結論，文獻[5]研究了有理系數多項式無理根的一些結果。本文研究有理系數多項式復數根的一些相關結論。

定義1[6]設Q是有理數域，x是一個符號，n是一個非負整數，稱表達式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

(ai∈Q,i=0,1,2，…,n)

為系數在有理數域Q中的一元多項式，簡稱為有理數系數多項式，有理數域Q上的一元多項式的全體記為Q[x]。如果an≠0，則n為多項式f(x)的次數，記作?(f(x))=n。

定義2[6]如果f(x)在x=α時的函數值f(α)=0，那么稱α是f(x)的一個根。

定義3[7]設p(x)是數域P上的一個多項式，?(p(x))≥1，如果p(x)不能表示成數域P上的兩個次數比p(x)低的多項式的乘積，則稱p(x)是數域P上的一個不可約多項式，否則稱其為可約多項式。

2 有理系數多項式的復數根

g(x)=x4-2(a-b)x2+(a+b)2∈Q[x]

在有理數域Q上不可約。

綜上，由多項式因式分解的唯一性，g(x)在Q上也不能分解為兩個二次多項式的乘積。

證明 由引理1，g(x)=x4-2(a-b)x2+(a+b)2=(x-α1)(x-α2)(x-α3)(x-α4)在Q上不可約。令h(x)=(x-β1)(x-β2)(x-β3)(x-β4)=g(x-c)，則h(x)=g(x-c)在Q上不可約。設Ψ(x)是Q上以βk(k∈{1,2,3,4})為根的非零多項式中次數最低的多項式，設?(Ψ(x))=m，則m≥1。由帶余式除法，存在q(x),r(x)∈Q[x]，使h(x)=q(x)Ψ(x)+r(x),r(x)=0，或?(r(x))

類同引理1和引理2的證明，我們有下面的結論。

證明 設h(x)=(x-β1)(x-β2)(x-β3)(x-β4)=(x-c)4-2(a-b)(x-c)2+(a+b)2∈Q[x]，由帶余式除法，存在q(x),r(x)∈Q[x]，使f(x)=q(x)h(x)+r(x),r(x)=0，或?(r(x))<4。設βk(k∈{1,2,3,4})是f(x)的根，則f(βk)=f(βk)-q(βk)h(βk)=0。由引理2，r(x)=0。因此，f(x)=q(x)h(x)。所以f(βk)=0,(k=1,2,3,4)。

證明 在定理2中令c=0即得結論。

由引理3和定理2類似的證明得下面的定理。

[1] 朱玉揚.整系數多項式有理根一個新求法的再探討[J].數學的實踐與認識，2005，35(5)：229-232．

[2] 羅永超.一類有理系數多項式無有理根的判別[J].貴州師范大學學報，2006，24(2)：88-91．

[3] 羅永超.一類整系數多項式的不可約性與有理根存在性的判別[J].數學的實踐與認識，2007，37(21)：94-99．

[4] 羅永超.關于整系數多項式無有理根的一個判別法的注記[J].貴州師范大學學報，2011，29(1)：43-47．

[5] 吳捷文，張君敏.關于有理數域上關于多項式無理根的若干結果[J].科技信息，2009，(16)：74．

[6] 胡萬寶，等.高等代數[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2013.

[7] 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].北京:高等教育出版社,2003.

The Complex Root of Rational Coefficients Polynomial

CAIGai-xiang

(AnqingNormalUniversity，Anqing246133，China)

There exists any number of times of polynomials in rational number field, and these irreducible rational coefficients polynomials have no rational root. Therefore, it is of importance to discuss some properties of complex root of rational coefficients polynomial.

rational number field; polynomial; irreducible; complex root

2016-12-15

安徽省2016年高等學校省級質量工程項目教學研究項目(2016jyxm0620)；安徽省2015年高等學校省級質量工程項目教學研究項目(2015jyxm230)

蔡改香(1981-)，女，碩士，安慶師范大學數學與計算科學學院講師， 研究方向：譜圖理論及其應用。

O151.21

A

1674-3229(2017)01-0015-02